12. Matrices symétriques et matrices définies positives

Transcription

1 12. Matrices symétriques et matrices définies positives Sections 6.4 et 6.5 MTH1007 J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2017 (v1) MTH1007: algèbre linéaire 1/22

2 Plan 1. Matrices symétriques 2. Matrices définies positives MTH1007: algèbre linéaire 2/22

3 1. Matrices symétriques 2. Matrices définies positives MTH1007: algèbre linéaire 3/22

4 Valeurs et vecteurs propres Une matrice est symétrique si A = A. Si A est une matrice symétrique alors ses valeurs propres sont réelles. Les vecteurs propres d une matrice symétrique qui correspondent à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. On peut donc choisir les vecteurs propres comme étant orthonormaux. MTH1007: algèbre linéaire 4/22

5 Vecteurs propres d une matrice symétrique 2x2 [ ] a b Avec A = et ses deux valeurs propres λ b c 1 et λ 2, on a les [ ] [ ] b λ2 c deux vecteurs propres x 1 = et x λ 1 a 2 =. b MTH1007: algèbre linéaire 5/22

6 Valeurs propres et pivots Les valeurs propres d une matrice sont très différentes des pivots. Le seul lien est : déterminant = produit des pivots = produit des valeurs propres. Pour les matrices symétriques, les pivots et les valeurs propres ont le même signe. MTH1007: algèbre linéaire 6/22

7 Diagonalisation Si A R n n est symétrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A = SΛS 1 avec S, Λ R n n. Λ est la matrice diagonale des valeurs propres réelles. La matrice des vecteurs propres S contient des vecteurs orthonormaux : C est une matrice orthogonale que l on notera Q afin d avoir A = QΛQ 1 = QΛQ (c est le théorème spectral). MTH1007: algèbre linéaire 7/22

8 Théorème spectral Une matrice A est symétrique si et seulement si elle peut être factorisée sous la forme A = QΛQ 1 = QΛQ où Q est orthogonale et Λ est la matrice diagonale des valeurs propres. MTH1007: algèbre linéaire 8/22

9 Exemple Illustrer le théorème spectral avec [ ] 1 2 A = 2 4. MTH1007: algèbre linéaire 9/22

10 Décomposition en somme de matrices de projection Avec A R n n symétrique, on a A = QΛQ = λ 1 [ ] λ 2 x1 x 2... x n... λn x 1 x 2. x n = λ 1 x 1 x 1 + λ 2x 2 x λ nx n x n. Et donc A = λ 1 P 1 + λ 2 P λ n P n avec P i = x i x i R n n la matrice de projection (de rang 1) sur le vecteur propre x i, i {1, 2,..., n}. MTH1007: algèbre linéaire 10/22

11 Exemple Illustrer la décomposition en somme de matrices de projection avec [ ] 1 2 A =. 2 5 MTH1007: algèbre linéaire 11/22

12 1. Matrices symétriques 2. Matrices définies positives MTH1007: algèbre linéaire 12/22

13 Définitions Une matrice symétrique A est définie positive si toutes ses valeurs propres sont strictement positives. Une matrice symétrique peut être : Définie positive. Semi-définie positive. Définie négative. Semi-définie négative. Non-définie. MTH1007: algèbre linéaire 13/22

14 Valeurs propres et pivots pour une matrice symétrique 2x2 [ ] a b Soit A = une matrice symétrique de taille 2 2. A b c est définie positive si ses valeurs propres sont strictement positives. Les valeurs propres de A sont strictement positives : 1. Si et seulement si a > 0 et ac b 2 > Si et seulement si les pivots sont positifs : a > 0 et ac b2 a > 0. Sinon, si a < 0 et A = ac b 2 > 0, A est définie négative. Sinon A est non-définie (ou indéfinie). MTH1007: algèbre linéaire 14/22

15 L énergie d une matrice A est définie positive si x Ax > 0 pour tout vecteur non nul x : x Ax = [ x y ] [ ] [ ] a b x = ax 2 + 2bxy + cy 2 > 0. b c y x Ax est donc strictement positif pour tout x non nul. Ce nombre est l énergie de A. MTH1007: algèbre linéaire 15/22

16 Exemples [ 1 2 Quelle est la nature des matrices A 1 = 2 1 [ ] [ ] A 2 = et A =? 2 6 ], Si A est (symétrique) définie positive, alors l équation x Ax = ax 2 + 2bxy + cy 2 = 1 représente une ellipse dont les axes pointent dans la direction 1 des vecteurs propres et dont les longueurs sont 1 λ1 et λ2. MTH1007: algèbre linéaire 16/22

17 Sous-matrices principales Si A = [a ij ] R n n, ses n sous-matrices principales sont : A 1 = [a 11 ] [ ] a11 a A 2 = 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 13 A 3 = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 et A n = A.. A k =. a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k... a k1 a k2 a kk MTH1007: algèbre linéaire 17/22

18 Remarques Si A et B sont symétriques définies positives, alors A + B l est aussi. Tout matrice carrée symétrique n n peut se décomposer en A = R R avec R R m n. Décomposition de Cholesky : Si A est symétrique et définie positive, alors elle peut se décomposer en avec L triangulaire inférieure. A = LL MTH1007: algèbre linéaire 18/22

19 5 énoncés équivalents pour caractériser une matrice définie positive Pour une matrice symétrique A de taille n n, les énoncés suivants sont équivalents : 1. Les n pivots de A sont strictement positifs. 2. Les n déterminants des sous-matrices principales de A sont strictement positifs. 3. Les n valeurs propres de A sont strictement positives. 4. x Ax > 0 pour tout vecteur x 0. C est la définition basée sur l énergie. 5. A = R R, où R a des colonnes linéairement indépendantes. MTH1007: algèbre linéaire 19/22

20 Matrices semi-définies positives La matrice symétrique A est semi-définie positive si un des énoncés suivants est vrai : Son déterminant est 0. Sa plus petite valeur propre est 0. Son énergie est nulle. ATTENTION : Ce n est pas la définition usuelle. Il est plus courant de voir : A est semi-définie positive si x Ax 0 pour tout x R n (et alors toute matrice définie positive est également semi-définie positive). MTH1007: algèbre linéaire 20/22

21 Matrices définies négatives, semi-définies négatives, et non-définies La matrice symétrique A est définie négative si son opposée A est définie positive. La matrice symétrique A est semi-définie négative si son opposée A est semi-définie positive. Une matrice symétrique qui n est ni définie positive, semi-définie positive, définie négative ou semi-définie négative, est non-définie (ou indéfinie). MTH1007: algèbre linéaire 21/22

22 Application : Optimisation Soit f(x, y) une fonction de R n dans R. Les points stationnaires de f sont les points (x ) tels que f(x ) = 0. Si 2 f(x ) (la matrice hessienne en x ) est : semi-définie positive : x est un minimum local de f. semi-définie négative : x est un maximum local de f. non-définie : x est un point de selle. Si 2 f(x), pour tout x, est : semi-définie positive : f est convexe et x est un minimum global de f. semi-définie négative : f est concave et x est un maximum global de f. (avec la définition usuelle de la semi-définie positivité/négativité). MTH1007: algèbre linéaire 22/22