TS Exercices sur les nombres complexes (3)

Transcription

1 TS Exrccs sur ls ombrs complxs () Détrmr u écrtur trgoométrqu ds ombrs complxs suvats : ; 7 ; 5 ; ; 5 ; Écrr sous form trgoométrqu ls ombrs complxs suvats : cos s ; cos s ; cos s O pos cos s 5 5 ) Écrr sous form xpotll ) Calculr sous form algébrqu O pos 8 Calculr sous form algébrqu 5 O pos,, ) Écrr,, sous form algébrqu ) Calculr sous form xpotll ; dédur cos t s O pos Écrr sous form algébrqu 7 Sot u rél das l trvall ; Détrmr u écrtur xpotll du ombr complx ta 8 Sot u rél qulcoqu das l trvall ; O pos Calculr ; dédur sous form xpotll cos s 9 Sot u rél qulcoqu O pos s cos t cos s Écrr sous form xpotll ls ombrs complxs t Das tous ls xrccs d à, l pla complx P st mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v O cosdèr ls pots, 5 t C 5 Far u graphqu C Calculr Z sous form xpotll À l ad du modul t d u argumt d Z, détrmr la atur d C O cosdèr ls pots, t C Mêm qusto qu à l xrcc Détrmr u équato paramétrqu complx du crcl C d ctr t d rayo 5 Qul st l smbl E ds pots M d affxs lorsqu décrt? Qul st l smbl E ds pots M d affxs cos s lorsqu décrt? 5 À tout ombr complx, o assoc l ombr Z ) Détrmr pour qull valur d o a Z ) Sot u ombr complx dstct d t d O ot M so mag das l pla complx P mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v O ot égalmt t ls pots d P d affxs rspctvs t Démotrr qu M ; M arg Z () ) Détrmr t rpréstr sur u mêm graphqu ( prat u ctmètr ou u «gros» carrau pour uté graphqu) : l smbl E ds pots M d affx tls qu Z sot rél ; l smbl F ds pots M d affx tls qu Z sot magar pur O rappll qu : * Z arg Z () ; Z * arg Z () ) Démotrr qu pour tout rél x, o a : s x s x cos x cosx x x x x Idcato : o écrra s xs x ) E dédur s x s x dx x x 7 ) Dévloppr où x st u rél qulcoqu E dédur qu s x cos x cos x 8 8 ) E dédur s x dx

2 8 Démotrr qu, pour tout rél x, o a : cos x s x cos 5x cos x cos x 8 9 O pos u ) Écrr u sous form xpotll ; dédur u écrtur xpotll d u ) Pour tout tr aturl, o pos S u u À l ad du ), démotrr qu S ) Pour qulls valurs d a-t-o cos où st u rél qu l o précsra S?

3 Corrgé Ls solutos détallés ds xrccs à 5 fgurt à la f du documt 5 5 cos s ; 7 cos s ; 5 cos s ; 5 5 cos s ; 5 cos s ; cos s cos s ; 5 5 cos s ; cos s Touts ls écrturs doés rssmblt à ds forms mas quad o ls rgard d plus près o s aprçot qu c sot pas ds écrturs trgoométrqus Il faut utlsr ls formuls trgoométrqus pour trasformr ls écrturs Pour s cos s O s arrêt là car o a détrmé u écrtur trgoométrqu d Pour, o utls ls formuls cos cos t s, o utls ls formuls cos cos t s s 5 5 cos s cos s cos s cos cos s s 7 O put auss écrr : cos s Pour, o utls ls formuls cos cos t s cos s s cos s 5 5 ) ) 5 5 cos s O rst avc la form xpotll Esut, o pass d la form xpotll à la form trgoométrqu O pass f d la form trgoométrqu à la form algébrqu 5 ) ; ; ) cos t s Écrvos sous form algébrqu + Méthod : écrr t sous form xpotll (so l y aurat trop d calculs) O pass par l écrtur xpotll avat d rvr à la form algébrqu O utls cs dux résultats pour ffctur l calcul d 8 O rmarqura l utlsato d la «plus bll formul ds maths» ( ) lors du calcul du umératur O utls égalmt

4 Vrso u pu plus détallé : O pos t r cos s cos s D où k k cos s r cos s cos s D où k k cos s 7 ta Détrmos u écrtur xpotll d La méthod habtull pour détrmr u écrtur xpotll du ombr complx srat ormalmt d calculr l modul t u argumt d O va cpdat procédr autrmt trasformat l écrtur algébrqu d s Rappl : ta cos s cos s ta cos s cos cos cos cos cos Or ; doc cos d où cos Par coséqut, l égalté θ do u form xpotll du ombr complx cos utr méthod (u pu plus logu, t doc à décosllr) : O put calculr ta cos cos cos 8 (car t cos s ) cos s O put auss far : 8 Vrso u pu plus détallé : valurs absolus oblgators cos car ; Détrmos u écrtur xpotll du ombr complx ta ( ; ) ta s cos cos s cos cos cos s cos θ cos Or ; doc cos d où cos

5 cos θ st doc b u form xpotll du ombr complx 8 Soluto : ; π Z ; C st rctagl socèl Soluto détallé : 5 C5 Calculos ; dédusos- sous form xpotll 5 cos (formul d Eulr) cos O a doc : cos Il faut dr pourquo cos v O u 5 Or ; par hypothès Doc ; O dédut qu cos O put doc dr qu l o a détrmé u form xpotll d cos s 9 s cos cos s ( qulcoqu) Écrvos sous form xpotll ls ombrs complxs t cos s θ θ Far u fgur comm l éocé l dmad Il srat avs d prdr pour échll «gros» carrau ou cm C Calculos Z sous form xpotll Méthod : o commc par calculr la form algébrqu d Z Z C C cos s Or Z (o put mttr ou )

6 O aurat auss pu utlsr u calculatrc mod complx À l ad du modul t d u argumt d Z, détrmos la atur d C π Z ; C st équlatéral Modul d Z : D u part, Z (car ) Soluto détallé : C D autr part, Z C C C Doc C d où C O dédut qu l tragl C st socèl rgumt d Z : D u part, arg Z arg () D autr part, C arg Z arg, C O a doc, C () Par sut, C c qu sgf qu l agl C st drot C v O u O dédut qu l tragl C st rctagl Cocluso : L tragl C st rctagl socèl Rmarqus : À la f d l xrcc, ous pouvos ajoutr l codag sur la fgur (codag d l agl drot, codag ds côtés d mêm loguur) Il y aurat évdmmt u autr méthod pour démotrr qu l tragl C st rctagl socèl O pourrat calculr ls loguurs ds tros côtés (calculs d moduls) c qu prmttrat d obtr mmédatmt qu C st socèl O applqurat sut la récproqu du théorèm d Pythagor pour démotrr qu l tragl C st rctagl C st cpdat pas ctt méthod qu st attdu c Il srat avsé d prdr pour échll «gros» carrau ou cm O réals u fgur approché ( utlsat u valur approché d ) La réalsato d u fgur xact st cpdat possbl utlsat la costructo xact d u sgmt d loguur O calcul Z d abord sous form algébrqu pus form trgoométrqu, t f form xpotll

7 C Calculos Z sous form xpotll Z C cos s (par défto, cos s ) À l ad du modul t d u argumt d Z, détrmos la atur d C Modul d Z : D u part, D autr part, Z Z (car C C C ) Rmarqus : Il y aurat évdmmt d autrs méthods pour démotrr qu l tragl C st équlatéral O pourrat calculr ls loguurs ds tros côtés (calculs d moduls) c qu prmttrat d obtr mmédatmt qu C st équlatéral O pourrat calculr ls msurs d dux agls (calculs d argumts) c qu prmttrat d obtr mmédatmt qu C st équlatéral C st cpdat pas ctt méthod qu st attdu c C st cpdat pas cs méthods qu sot attdus c pusqu l éocé gud dfférmmt Détrmos u équato paramétrqu complx du crcl C d ctr t d rayo 5 L crcl C a pour équato paramétrqu complx 5 Doc C d où C O dédut qu l tragl C st socèl O put far u fgur rgumt d Z : C D u part, arg Z arg () D autr part, C arg Z arg, C Doc, C () c qu prmt d écrt C v O u O dédut qu l tragl C a u agl d radas Cocluso : Or s u tragl admt u agl géométrqu d t dux côtés d mêm loguur alors c tragl st équlatéral Doc l tragl C st équlatéral

8 Détrmos l smbl E ds pots M d affxs lorsqu décrt E st l crcl d ctr O put far u fgur t d rayo 5 ) E st la drot prvé du pot ; F st l crcl d damètr [] prvé du pot Soluto détallé : À tout ombr complx, o assoc l ombr Z M ) Détrmos tl qu Z Z v O u u ) t M : mag d das l pla complx P mu d u rpèr orthoormé drct O, u, v Démotros qu M ; M arg Z () Détrmos l smbl E ds pots M d affxs cos s lorsqu décrt cos s cos s O rcoaît u équato paramétrqu complx d crcl Doc E st l crcl d ctr () t d rayo O put far u fgur arg Z arg arg Z arg arg ar rg arg Z g a arg Z u, M u, M arg Z u, M M, u ar g Z M, u u, M arg Z M, M (rlato d Chasls pour ls agls ortés) arg Z M, M (proprété sur ls agls ortés d vcturs : v, w v, w ) v O u O put auss s y prdr ss cotrar ) Détrmos l smbl E ds pots M d affx tls qu Z sot rél E M P / Z O put déjà dr d mblé qu l pot appartt pas à E E fft, s M alors Or Z st pas déf pour Rchrch ds pots d E autrs qu t : Sot M u pot du pla dstct d t (doc t ) Das c cas, o sat qu Z xst t qu Z

9 * M E Z M E arg Z () M E M, M () M E M t M sot coléars M E,, M sot algés Exam ds pots partculrs : L pot appartt à l smbl E car pour, Z qu st rél Cocluso : O rassmbl ls dux résultats E st la drot () prvé d E \ O écrt : O put déjà dr d mblé qu l pot appartt pas à F E fft, s M alors Or Z st pas déf pour Rchrch ds pots d F autrs qu t : Sot M u pot du pla dstct d t Das c cas, o sat qu Z xst t qu Z M F Z * M F arg Z () M F M, M () M F M t M sot orthogoaux Exam ds pots partculrs : E v O u L pot appartt à l smbl F car pour, Z qu st magar pur Cocluso : F st l crcl d damètr prvé d Far u fgur O xclut l pot d l smbl E au moy d dux ptts arcs Détrmos l smbl F ds pots M d affx tls qu Z sot magar pur F M P / Z

10 F F v O u v O u O xclut l pot d l smbl F au moy d dux ptts arcs Caractérsato agular d u crcl : Das l atquté, Eucld das so traté «Ls Elémts» do la défto suvat d u crcl : «L crcl d damètr [] st l lu ds pots M d où l o vot l damètr sous u agl drot» Il st curux d costatr qu la défto d u crcl comm smbl ds pots stué à u dstac fx d u pot st pas utlsé par ls Grcs Ctt proprété put êtr asémt tradut à l ad ds agls ortés Das tout ct xrcc, o rpass pas x y

11 ) Démotros qu pour tout rél x, o a : s x s x cos x cos x x x x x Idcato : o écrra s x s x Formuls d Eulr pour l sus t l cosus cos s cos s s x s x x x x x + s x s x x x x x x x x x + s xs x s xs x x x x x x x x x cosx cos x s x s x s x s x cos x cosx ) Dédusos- sx s x dx s x s x dx cos x cos x dx s x s x s xs x dx s s s s s x s x dx s x s x dx s x s x dx s xs x dx 7 ) Utlsr la formul du bôm d Nwto t l tragl d Pascal ; l s agt d u léarsato d xprsso trgoométrqu x x x x x x O utls sut l tragl d Pascal ) s x d x 8 Soluto détallé : ) Dévloppos x x ( x qulcoqu) Dédusos- qu s x cos x cos x 8 8 O fat l tragl d Pascal a b : Grâc aux coffcts d la drèr lg, o put écrr l dévloppmt d a b a a b a b ab b (formul du bôm d Nwto)

12 s x x x 8 Démotros qu x cos x s x cos 5x cos x cos x 8 x x x x x x x x s x s x x x x x s x x x x x s x cos x cosx s x cos x 8cos x s x x x x x x x x x cos x cos x s x 8 ) Dédusos- s x dx s x x cos x cos x s d d x x x 8 d cosx cos x dx 8 8 s x s x s x dx 8 x s s s s s x dx 8 s x dx 8 * s x dx 8 x x x x cos x s x cos x s x cos xs x cos x s x x x x x 8 x x x x x x x x x x x x x x x x + + x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x cos x s x cos x s x 5x x x x x x x x x x x 5x 5x 5x x x x x cos5x cos x cos x cos x s x cos x s x cos5x cosx cos x 8 s x d x 8 * O put évtullmt tracr u crcl trgoométrqu au broullo pour lr ls valurs d s t s

13 9 u ) Écrvos u sous form xpotll ; dédusos- u écrtur xpotll d u Rappl : cos x x k k * O utls la règl du produt ul : «U produt d facturs st ul s t sulmt s l u au mos ds facturs st ul» u u u (o a préalablmt calculé l modul d u : u avat d l mttr factur) cos s π Cocluso : Ls trs aturls tls qu S sot ls trs d la form k avc k π O dédut qu u ( fft, d après l cours, o a : r pour rél ; l y a doc pas d ouvau calcul à ffctur) ) S u u ( ) Démotros qu S cos avc r avc r t rél qulcoqu S S S S S cos cos S (formul d Eulr : cos) O dédut qu S cos avc ) Détrmos pour qulls valurs d o a S cos * ( fft ) k avc k k avc k k avc k

14 Solutos détallés Écrtur trgoométrqu d ombrs complxs Rappls : 5 x y ( r x y x ; y ) t ' O x r cos y r s r st l modul d st u argumt d ' 5 O dédut qu k k Calcul du modul r 5 5 cos s r Calcul d u argumt utr rédacto (plus sèch) : x r cos O sat qu : y r s cos O a doc s ( posat x R t y Im ) cos d où s cos cos O chrch tl qu sot s s 5 O trouv k k 5 5 O put doc écrr : cos s

15 utr rédacto possbl : Calcul d u argumt Sot r l modul d Sot u argumt d cos O a s doc cos s 7 7 Calcul du modul r r 7 7 Calcul d u argumt 5 O dédut qu k k 5 5 cos s cos O a 7 s sot cos s O dédut doc qu k k 7 cos s Calcul du modul r 5 r5 5 Calcul d u argumt cos cos 5 5 O a doc s 5 s 5 Calcul du modul r r 5 5 Calcul d u argumt 5 O dédut qu 5 k k cos s 5cos O a 5 5s doc cos s O dédut qu k 5 cos s k Calcul du modul r r Calcul d u argumt Calcul du modul r r 8 cos O a s (vor xplcato c-après)

16 5 O dédut qu k k 5 5 cos s (autr écrtur possbl : cos s ) Complémt : cos O a s Ls dux valurs qu s approcht l plus sot (o rgard das l tablau ds valurs rmarquabls) : O put auss procédr par la tchqu d ms factur forcé (factorsato forcé par l modul, calculé d têt) utrmt dt, o cach tous ls calculs Écrtur trgoométrqu d ombrs complxs cos s st pas u écrtur trgoométrqu à caus du dvat l O sat qu cos cos t s cos cos s s cos s s t Mas là, o a l sus qu st égal à O rgard doc sur l crcl trgoométrqu cos s st pas u écrtur trgoométrqu à caus du dvat l cos s O sat qu cos cos t s cos cos s s s ' O 5 5 cos s cos s ' O sat qu cos cos t s cos cos s s s

17 cos s Form xpotll cos s 5 5 ) Form xpotll d Form xpotll 8 Calculos 8 8 cos s + cos s 5 5 proprété du cours défto d cos s O utls la formul 5 ) Calcul d cos s O utls la formul du cours 5 5 cos s 5 5 cos s 8 8 cos s + 5,, ) Écrvos,, sous form algébrqu cos s cos s 5 5 Pour l calcul d sous form algébrqu, o utls ls forms algébrqus trouvé précédmmt pour t (O rprd ls résultats obtus précédmmt)

18 O multpl l umératur t l déomatur par (o utls la quatté cojugué du déomatur) U élèv m a dt qu o procèd par «assmlato», trm corrct qu l faut rmplacr par «dtfcato» Part réll d cos Part magar d s Pour c typ d calcul, l srat térssat d utlsr u calculatrc fasat du calcul forml ou u logcl d calcul forml ) Calculos sous form xpotll ; dédusos- cos t s O utls ls forms xpotlls qu sot doés das l éocé pour défr t cos s O rprd l résultat d la qusto ) Paul Moroux : «O rprd l résultat trouvé just avat» E dtfat ls parts réll t magar d (par ucté d l écrtur algébrqu d u ombr complx), o obtt t Im s ) ( cos R cos t s

19 Rappls d formuls d trgoométr x 5 cos x s x ta x cos s x cos x cos x cos x cos x x s x s x s x s cos x cos x s x x s x s x cos x cos x s x s x cos x cos a b cos acosb s asb cos a b cos a cos b s asb s a b s acosb sbcosa s a b s a cos b sbcos a cos a cos a s a cos a cos a cos a s a s a s a cos a cos a cos a cos a s a cos a cos a s a cos a cos a cos b s t sulmt s a b k s a s b s t sulmt s a b k k ou k ou k ' k ' a b k ' a b k '