Résolution d équations numériques

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1 Résolution d équtions numériques Dniel PERRIN On présente ici trois méthodes de résolution d équtions : les méthodes de Newton, d interpoltion linéire et, très rièvement, d justement linéire. Pour des compléments sur ces questions on pourr consulter le livre de J.-L. Overt et J.-L. Verley, Anlyse, Vol. 1, Cedic, Chpitre VI 2 (ce livre n est plus disponile en liririe mis l iliothèque en quelques exemplires). 1 Introduction 1.1 Les méthodes Soit f : [, ] R une fonction de clsse C 1 et supposons que f dmette un zéro α entre et (c est le cs si f() et f() sont de signes contrires). Nous supposerons que α est le seul zéro de f dns [, ] (c est le cs si f est monotone sur [, ] et on peut en générl s y rmener en restreignnt l intervlle [, ]). Notre ojectif est de décrire des lgorithmes permettnt de clculer l rcine α. Pour cel, l idée est de remplcer l éqution f(x) = 0 pr une éqution équivlente du type g(x) = x et d utiliser une suite récurrente x n+1 = g(x n ) dont on sit que, si elle converge, c est vers un point fixe de g, donc un zéro de f, c est-à-dire vers α. Il existe toujours de telles fonctions g, pr exemple g(x) = f(x) + x. On même une certine ltitude sur g, on peut prendre, en effet : g(x) = x + µf(x) vec µ 0, ou encore g(x) = x + µ(x)f(x) où µ est une fonction qui ne s nnule ps sur [, ]. Dns tous ces cs on ur ien f(x) = 0 g(x) = x. Il reste à choisir le sclire ou l fonction µ pour que l suite x n+1 = g(x n ) converge effectivement vers α. On sit que cel est lié à l vleur de g (α) : si on g (α) > 1 l suite ne converge ps (suf si elle est constnte à prtir d un certin rng), si on g (α) < 1 elle converge (pourvu que x 0 soit ssez voisin de α) et le meilleur choix est celui qui donne g (α) = 0 et qui ssure une convergence très rpide. Dns le cs présent, si on prend g(x) = x + µf(x) on g (α) = 1 + µf (α), de sorte que le choix optiml serit de prendre µ = 1 f (α). On noter que ce choix n est possile que si f (α) est non nul, c est-à-dire si α n est ps rcine doule de l éqution. De plus, comme α est inconnu, ce choix est en générl imprticle et on se contenter d une vleur pprochée. Il y pour cel plusieurs solutions qui fournissent chcune des lgorithmes de clcul de α : 1) Les méthodes d justement linéire consistent à prendre µ constnt et non nul. Il y deux vrintes très voisines, en prennt µ = 1/λ, donc g(x) = x f(x) λ vec λ = f (β) f(γ) f(δ) vec β ], [, le plus proche possile de α, ou λ = vec γ, δ ], [, voisins γ δ de α, ce qui revient u même puisque, pr le théorème des ccroissements finis, il existe ɛ ]γ, δ[ tel que f(γ) f(δ) = (γ δ)f (ɛ). 1

2 2) L méthode de Newton est du premier type de 1) mis vec λ vrile, λ = f (x) : g(x) = x f(x) f (x). 3) Enfin, l méthode d interpoltion linéire est du second type de 1) vec λ vrile : f(γ) f(x) λ(x) =. γ x Les méthodes d justement et d interpoltion linéire donnent des convergences de type géométrique (i.e. en k n vec 0 < k < 1), celle de Newton donne une convergence rpide (i.e. en k 2n vec 0 < k < 1). 1.2 Le cdre Pour simplifier, nous ferons les hypothèses suivntes : 1.1 Hypothèses et nottions. On considère une fonction f : [, ] R, de clsse C 2, vérifint les conditions suivntes : 1) f ne s nnule ps sur [, ], donc grde un signe constnt, de sorte que f est monotone sur [, ]. 2) f()f() est < 0, de sorte que f dmet un unique zéro α dns ], [. 3) f grde un signe constnt sur [, ] (donc f est concve ou convexe). L fonction f étnt continue et non nulle sur [, ] dmet une orne inférieure que nous noterons m. L fonction f étnt continue sur [, ] dmet une orne supérieure que nous noterons M. 1.2 Remrques. 1) On noter que les hypothèses ci-dessus peuvent toujours être rélisées en restreignnt suffismment l intervlle [, ], suf si on f (α) = 0 (α rcine doule de f) ou f (α) = 0 (α point d inflexion de f). 2) On peut toujours se rmener u cs où f et f sont positives, c est-à-dire où f est croissnte et convexe. En effet, si f est croissnte et concve (resp. décroissnte et convexe, resp. décroissnte et concve), il suffit de remplcer l éqution f(x) = 0 pr f 1 (x) = 0 (resp. f 2 (x) = 0, resp f 3 (x) = 0) vec f 1 (x) = f( x) (resp. f 2 (x) = f( x), resp. f 3 (x) = f(x)). 2 L méthode de Newton Comme on l dit, l méthode de Newton consiste, pour clculer α, à introduire l fonction : g(x) = x f(x) f (x). L interpréttion géométrique de g est l suivnte : on écrit l tngente u grphe de f en le point (x, f(x)), c est l droite d éqution Y f(x) = f (x)(x x) et on coupe cette droite pr l xe des x, Y = 0, on otient lors X = g(x) qui ser une vleur pprochée de α. On réitère l opértion pour otenir une suite x n qui converge vers α, voir figures ci-dessous. 2

3 f' >0, f">0 x 2 x 1 =x 0 f'<0, f"<0 f'<0, f">0 f'>0, f"<0 2.1 Théorème. Soit x 0 [, ]. On suppose que x 0 vérifie l condition f(x 0 )f (x 0 ) > 0 (règle de Fourier). Alors, si on définit l suite (x n ) pr l reltion de récurrence x n+1 = g(x n ), l suite (x n ) est monotone, elle converge vers α et on l mjortion : ( ) x n α 2m M 2 n M 2m x 0 α. Démonstrtion. On peut supposer f et f positives. On lors f() < 0, f() > 0 et l règle de Fourier impose f(x 0 ) > 0, c est-à-dire x 0 > α. 2.2 Lemme. L intervlle J = [α, ] est stle pr g et on, pour x J, g(x) x. Démonstrtion. Les fonctions f et f étnt positives sur J, on déjà g(x) x. Pour voir que g reste supérieur à α, on étudie l fonction g(x) α = x α f(x) ou encore f (x) l fonction u(x) = (x α)f (x) f(x). On u (x) = (x α)f (x) 0, de sorte que u est croissnte sur J. Comme elle s nnule en α, elle est positive, donc ussi g(x) α. Comme J est stle pr g, l suite (x n ) est ien définie et elle est est minorée pr α. De plus, l inéglité g(x) x montre qu elle est décroissnte. Elle est donc convergente, et s limite est l unique point fixe de g, qui est α. Les mjortions résultent du lemme suivnt : 2.3 Lemme. On suppose f, f positives. Pour x [α, ] on g(x) α M 2m (x α)2. 3

4 Démonstrtion. On g(x) α = (x α) f(x) f (x) = f (x)(x α) f(x) f (x) et on mjore cette frction en minornt le dénominteur pr m et en mjornt le numérteur u(x) = f (x)(x α) f(x) + f(α). On u (x) = f (x)(x α) et on mjore u(x) = u(x) u(α) (u(α) est nul cr f(α) l est) pr l formule de l moyenne : u(x) u(α) = x α x f (t)(t α)dt M (x α)2 (t α)dt = M. 2 Le lemme 2.3 ppliqué à x n 1 donne l inéglité x n α M récurrence sur n, donne l formule nnoncée : x n α ( M ) n 1 (x 2m 0 α) 2n. α 2m (x n 1 α) 2 qui, pr 2.4 Remrque. Lorsque l quntité ( M x 2m 0 α ) est < 1, l convergence de x n vers α est une convergence rpide. On noter que, puisque x n converge vers α, cette condition est rélisée pourvu qu on remplce x 0 pr x n pour n ssez grnd. Dns l prtique, on constter que l méthode de Newton converge vec une rpidité stupéfinte. 3 L méthode d interpoltion linéire Cette méthode porte de nomreux utres noms : méthode des cordes, de fusse position, de Lgrnge, des prties proportionnelles. Pour simplifier, nous supposerons f et f positives, ce qui implique f croissnte, convexe et f() < 0, f() > 0. Le cs générl est nlogue, muttis mutndis. Nous urons esoin de quelques propriétés des fonctions convexes : 3.1 Rppels. On suppose f convexe, c est-à-dire f 0. 1) L coure représenttive de f est u-dessus de ses tngentes, c est-à-dire qu on, pour tout c ], [ et tout x dns [, ] : f(x) f(c) + (x c)f (c). f(x) f(y) 2) Si x et y sont distincts, l pente p(x, y) = p(y, x) = x y pour x fixé), une fonction croissnte de x (resp. de y). est, pour y fixé (resp. Démonstrtion. 1) On étudie l différence δ(x) = f(x) f(c) (x c)f (c). 2) On se rmène u point 1) en dérivnt p(x, y) pr rpport à x. On considère les points B = (, f()) et M = (x, f(x)) du grphe de f. L pente de l droite (MB) est p(x, ) et on peut écrire l éqution de l droite (MB) sous l forme 4

5 Y = f(x) + p(x, )(X x) ou Y = f() + p(x, )(X ). Cette droite coupe l xe des x u point (g(x), 0) vec : g(x) = x f(x) p(x, ) = f() p(x, ). On otient insi l vleur pprochée g(x) de α. On réitère l opértion pour otenir une suite x n qui converge vers α, voir figure ci-dessous. B B x g(x)! =x 0 x 1 x 2 x 3! M A 3.2 Théorème. On suppose f et f positives. Soit x 0 [, ], x 0 < α. L suite (x n ), définie pr l reltion de récurrence x n+1 = g(x n ), est croissnte, elle converge vers α et on l mjortion : [ x n α 1 p(x ] n 0, α) x 0 α. p(α, ) Démonstrtion. On commence pr un lemme : 3.3 Lemme. L intervlle I = [, α] est stle pr g et on, pour x I, g(x) x. x Démonstrtion. Soit x I. On g(x) = x f(x) f() f(x), négtive sur I, montre g(x) x. Pour montrer g(x) α on clcule α g(x) = ce qui, comme f est u(x) f() f(x), vec u(x) = (α x)(f() f(x)) + f(x)( x) et il s git de montrer que cette quntité est positive. On u (x) = f() + ( α)f (x), donc u (x) = f (x)( α) 0. L fonction u est donc croissnte sur [, α] et en α elle vut u (α) = f() + ( α)f (α) = f(α) f() + ( α)f (α) qui est 0 en vertu de Il en résulte que u est décroissnte et, comme elle est nulle en α, elle est positive sur [, α]. On peut lors revenir u théorème. Comme I est stle pr g, l suite (x n ) est ien définie, mjorée pr α et croissnte. Elle converge donc vers l unique point fixe de g, à svoir α. L mjortion est otenue pr récurrence à prtir du lemme suivnt : [ 3.4 Lemme. Pour x [, α], on 0 α g(x) (α x) 1 p(x ] 0, α). p(α, ) Démonstrtion. Un clcul immédit donne, en tennt compte de f(α) = 0 : [ ] p(x, α) α g(x) = (α x) 1. p(x, ) 5

6 On otient l mjortion en minornt p(x, α) pr p(x 0, α) et en mjornt p(x, ) pr p(α, ) en vertu de Remrque. Lorsqu on ne suppose plus f et f positives, le choix de x 0 et celui de l extrémité fixe des cordes dépendent de l monotonie et de l concvité de f. L règle est l suivnte : on suppose que x 0 vérifie l condition f(x 0 )f (x 0 ) < 0. Soit e l extrémité ( ou ) telle que α soit entre x 0 et e. On construit le point x n+1 comme intersection de l droite qui joint le point le point d scisse x n de l coure et le point (e, f(e)). 4 L méthode d justement linéire Nous en donnons seulement un ref perçu. On pose g(x) = x f(x) où λ est un λ sclire non nul et on définit l suite (x n ) pr récurrence, à prtir de x 0 [, ], pr x n+1 = g(x n ). Attention, il fut vérifier que l suite est ien définie, c est à dire que les x n ne sortent ps de [, ]. On prt d un point P n = (x n, f(x n )) du grphe de f. On trce l droite de pente λ pssnt pr P n qui pour éqution y f(x n ) = λ(x x n ). Cette droite coupe l xe des x u point d scisse x n+1, cf. figure ci-dessous, vec x n+1 = x n f(x n) λ = g(x n ). Lorsqu on itère ce procédé on trce donc des sécntes toutes de pente λ d où le nom de méthode des sécntes prllèles donné prfois à cette méthode. Pour fixer les idées supposons f et f positives, donc f croissnte et convexe. Comme le sclire λ doit être le plus proche possile de f (α), nous prendrons λ > 0. On sit que l monotonie de l suite (x n ) dépend du signe de g (α). Ici, on g (α) = 1 f (α)/λ et donc g (α) > 0 λ > f (α) et g (α) < 0 λ < f (α). On ur donc pour l suite (x n ) un comportement en esclier si et seulement si l pente λ est plus grnde que l pente de l tngente u grphe de f en α et un comportement en escrgot sinon. x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4! x 0 x 2 x 5! x 4 x 1 6