Théorie de Galois Effective : détermination explicite des sous-corps d un corps de nombres

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1 Théorie de Galois Effective : détermination explicite des sous-corps d un corps de nombres Table des matières 1 Position du problème 2 2 Notion de bloc Définition Une méthode de test Lien avec les sous-corps Factorisations de polynômes et applications Factorisation modulo p Elimination des facteurs carrés Séparation des degrés Factorisaiton finale Le théorème de densité de Chebotarëv Simplification du calcul du critère du théorème Réduction des tailles possibles pour les blocs Factorisation sur le corps de nombres K Factorisation sur Q L algorithme de factorisation sur K Calcul de la décomposition idéale Détails de l algorithme Tailles possibles des blocs Factorisation algébrique Détermination des systèmes de blocs Décomposition idéale Exemple de calcul

2 1 Position du problème Soit K := Q(α) un corps de nombres algébrique de degré d 2 donné par le polynôme minimal f de α sur Q. On peut, sans perdre en généralité, supposer f à coefficients dans Z, ce qui fait de α un entier algébrique. On note F le corps de décomposition de f, Ω := {α =: α 1,..., α d } l ensemble des racines, deux à deux distinctes, de f dans F, et G := Gal(f) = Gal(F/Q) le groupe de Galois de f. Il s agit de déterminer tous les sous-corps L de K contenant Q. Par la correspondance de Galois, on est ramené à trouver tous les sousgroupes de G contenant le stabilisateur Stab G α de α. On construit alors une paire (g, h) de polynômes de Z[X] tels que L = Q(h(α)) et g est le polynôme minimal de h(α). Cette décomposition, que l on note f (g h), est parfois appelée décomposition idéale de f. On commence par introduire la notion de bloc avec un théorème permettant de déterminer si une partition de Ω est, ou non, un système de blocs. On donne ensuite différentes méthodes de factorisation d un polynôme, ainsi que des applications de la factorisation modulo un entier premier pour préciser la structure du groupe de Galois et les tailles possibles des blocs. Enfin, on explicite l algorithme de calcul des sous-corps et on donne un exemple. 2 Notion de bloc 2.1 Définition On se place, dans cette section, d un point de vue général. Soit G un groupe fini opérant transitivement sur un ensemble non vide Ω. On note G le cardinal de G, et (ϕ, ω) G Ω ω ϕ Ω l action de G sur Ω. Définition Une partition B := {B 1,..., B m } de Ω avec 1 m G est un système de blocs pour G si elle est G-invariante, ie que pour tous ϕ G et i {1,..., m}, il existe j {1,..., m} tel que B i ϕ = B j. Un bloc est un élément d un système de blocs. Remarques Un système de blocs est trivial lorsque m {1, G }. Les seuls systèmes de blocs triviaux sont B = {G}, pour m = 1, et B = G, pour m = G. Dans la suite, les systèmes de blocs seront supposés non triviaux ce qui correspond à 1 < m < G. 2. Comme G opère transitivement, un système de blocs B peut être défini par un seul de ses blocs B B, ie B = {B g g G}. On confond donc par la suite un bloc et le système de blocs qu il engendre. 3. Soient B un système de blocs, B B et β B. On déduit directement de la définition que le stabilisateur Stab G β de β fixe B, ce qui montre que B est une réunion d orbites de Stab G β. 2

3 On conserve les notations de la remarque 3. On construit en fait tous les blocs B contenant β en examinant les orbites de Stab G β. Si Γ est une telle réunion d orbites, on donne une condition suffisante pour que l orbite Γ G := {Γ ϕ ϕ G} de Γ soit un système de blocs. Lemme Soient Γ une partie non vide de Ω et β un élément de Γ tel que Stab G β Stab G Γ, où Stab G Γ désigne le stabilisateur global de Γ. Alors l orbite Γ G de Γ constitue un système de blocs pour G. D après la remarque 3, cette condition est également nécessaire. On applique maintenant ce lemme au cas qui nous occupe. 2.2 Une méthode de test On reprend les notations de la section 1. On écrit f comme un produit de facteurs irréductibles sur K, et deux à deux premiers entre eux puisque les racines de f sont simples, f = f 1...f r avec r 2 et f 1 := X α. Par la correspondance de Galois, le corps K correspond au stabilisateur Stab G α, et chaque facteur f i est un polynôme de K[X] dont les racines (dans F ) constituent une orbite de Stab G α. On considère l ensemble E := {f i1,..., f in } avec 1 =: i 1 <... < i n r. On note B E l ensemble des racines sur F des éléments de E et G E celui des automorphismes ϕ G pour lesquels α ϕ B E. Plutôt que d appliquer les automorphismes ϕ G aux racines de chaque facteur K-irréductible f i, on les applique aux polynômes f i directement précisément on applique leur extension à l anneau F [X] par action sur les coefficients. La situation du lemme devient la suivante : Théorème Soit E l ensemble défini précédemment. Alors, l ensemble B E des racines correspondantes est un bloc pour G si et seulement si pour tous ϕ G E et k {1,..., n}, les racines de f ϕ i k restent dans B E. Pour une démonstration de ce théorème ainsi que du lemme 2.1.3, on peut se reporter à [Hul, lemme 2.1 et théorème 2.2]. On a donc un critère vérifiable pratiquement pour déterminer si un ensemble de parties de Ω est un système de blocs. On verra, dans la section 3.2.1, une simplification des calculs de ce test en transportant les calculs dans un corps F p pour un certain nombre premier p. 2.3 Lien avec les sous-corps On reprend les définitions de E, B E et G E de la section 2.2. On remarque que si E est un bloc, G E est un sous-groupe de G contenant Stab G α. Il lui correspond alors, par la correspondance de Galois, le souscorps L := K G E de K contenant Q. 3

4 Réciproquement, si on se donne un sous-corps L de K contenant Q, on peut écrire L = K H où H est un sous-groupe de G contenant Stab G α. Soient B := {α ϕ ϕ H} et E l ensemble des facteurs irréductibles de f sur K dont une racine est dans B. D après le lemme 2.1.3, B un bloc contenant α. On déduit alors du théorème 2.2.1, on a B = B E et H = G E. On a donc montré que connaître la totalité des blocs revient à connaître toutes les extensions de Q contenues dans K. 3 Factorisations de polynômes et applications L algorithme principal que l on veut décrire nécessite de pouvoir factoriser le polynôme f dans deux cas : modulo un nombre premier, sur le corps de nombres K, ce qui nécessite de factoriser sur Q. On donne également des applications de la factorisation modulo un nombre premier qui seront utiles par la suite. 3.1 Factorisation modulo p Dans la suite, p désignera toujours un entier premier. La factorisation d un polynôme modulo p nous intéresse essentiellement pour deux raisons. C est tout d abord une étape dans la factorisation du polynôme f dans le corps de nombres K. Ensuite, elle donne des renseignements sur la structure du groupe de Galois de f ainsi que sur les tailles possibles des systèmes de blocs. Algorithme 1 (Factorisation modulo p). Soit A F p [X] un polynôme unitaire. Cet algorithme factorise A en produit de puissances de polynômes irréductibles sur F p [X]. 1. Elimination des facteurs carrés : trouver des polynômes A i de F p [X] sans facteur carré, deux à deux premiers entre eux et tels que A = i Ai i. 2. Séparation des degrés : pour tout i, trouver des polynômes A i,n de F p [X] tels que A i,n est le produit des facteurs irréductibles de A i de degré exactement n. 3. Factorisation finale : pour tous i et n, factoriser A i,n en polynômes irréductibles de degré n. 4. Compilation : regrouper les facteurs irréductibles identiques, les ordonner, renvoyer la factorisation et terminer l algorithme Elimination des facteurs carrés Soient F p une clôture algébrique de F p et (α j ) j les racines de A sur F p. On pose A i := j (X α i,j) où les (α i,j ) j sont les racines de A de multiplicité 4

5 exactement i. Comme l action du groupe de Galois de F p /F p conserve la multiplicité des racines, les polynômes A i sont à coefficients dans F p. De plus, il est clair que ces polynômes satisfont aux conditions du point 1. Reste à les déterminer. On construit par récurrence deux suites de polynômes (T k ) k et (V k ) k : T 1 := (A, A ) et T k+1 := T k /V k+1 V 1 := A/T 1 et V k+1 := (T k, V k ) si p k et V k+1 := V k si p k. On en déduit facilement que pour tout k 1, on a : V k = A i et T k = A i i. i k,p i i>k,p i A j k i Il en découle directement que pour tout k tel que p k, on a A k = V k /V k+1. Ensuite, si k est tel que V k = 1, alors T k 1 = p i Ai i. Si T k 1 = 1, on a fini. Sinon, on écrit donc T k 1 (X) := U p (X) = U(X p ) et on recommence tout l algorithme d élimination des facteurs carrés. On en déduit la formulation suivante de l algorithme : Algorithme 2 (Elimination des facteurs carrés). Soit A F p [X] un polynôme unitaire. Cet algorithme calcule les polynômes A i, produits des facteurs irréductibles de A de multiplicité exactement i, et renvoie les couples (i, A i ) pour lesquels A i n est pas constant. 1. Initialisation : faire T 0 A, m 1 et L. Si T 0 est constant, renvoyer T 0 et terminer l algorithme. 2. Initialisation de la boucle : faire T (T 0, T 0 ), V T 0/T et k Critère de boucle : Si V = 1, T est de la forme T (X) = p j t jx j, faire T 0 p j t jx j/p, m pm et retourner au point 2. Faire k k Cas particulier : Si p k, faire T T/V et k k Calcul de A mk : faire W (T, V ), poser A mk := V/W, faire V W et T T/V. Si A mk 1, faire L L A mk. Retourner au point Séparation des degrés Cette factorisation se base sur la remarque suivante. Un polynôme irréductible de F p [X] de degré exactement n divise X pn X, et tout diviseur de X pn X qui ne divise pas X pm X pour m < n est de degré exactement n. On en déduit l algorithme. Algorithme 3 (Séparation des degrés). Soit A F p [X] un polynôme unitaire sans facteur carré. Cet algorithme donne le produit A n des facteurs irréductibles de A de degré exactement n, pour tout n tel que et renvoie ceux qui ne sont pas constants. p i 5

6 1. Initialisation : faire V A, W X, n 0 et L. 2. Critère d arrêt : faire m deg(v ). Si n + 1 m/2, faire n n + 1, W W p (mod V ) et passer au point suivant. Si n + 1 > m/2, alors si m 0, poser A m := V, faire L L A m, renvoyer L et terminer l algorithme. 3. Calcul de A n : poser A n := (V, W X). Si A n 1, faire L L A n, V V/A n et W W (mod V ). Retourner au point Factorisaiton finale Les points 1 et 2 de l algorithme 1 permettent de se placer dans le cas où A F p [X] est unitaire, sans facteur carré et dont les facteurs irréductibles ont le même degré n. Il est clair que deg(a) est un multiple de n, et si deg(a) = n, A est irréductible sur F p. On donne deux algorithmes de factorisations. Le premier, dû à Cantor et Zassenhaus, factorise A pour p 2, et le second donne le cas p = 2. On commence par le cas p > 2. Proposition Si A est défini comme précédemment, alors pour tout polynôme T F p [X] on a l identité : A = (A, T ) (A, T (pn 1)/2 + 1) (A, T (pn 1)/2 1). On peut montrer qu en prenant pour T un quelconque polynôme unitaire de degré inférieur à 2n 1, alors (A, T (pn 1)/2 1) est un facteur non trivial de A avec une probabilité proche de 1/2. Donc en calculant (A, T (pn 1)/2 1) pour un nombre suffisant de polynômes T vérifiant la condition précédente, on peut déterminer les facteurs irréductibles de A sur F p, ce que propose l algorithme suivant : Algorithme 4 (Cantor-Zassenhaus). Soit A F p [X] un polynôme unitaire sans facteur carré dont les facteurs irréductibles ont tous même degré n. Cet algorithme donne ces facteurs irréductibles. 1. Initialisation : faire k deg(a)/n. Si k = 1, renvoyer A et terminer l algorithme. 2. Essai avec un T : choisir aléatoirement T F p [X] unitaire de degré inférieur à 2n 1 et faire B (A, T (pn 1)/2 1). Si deg(b) {0, deg(a)}, retourner au point Récursivité : factoriser B et A/B avec le présent algorithme et terminer l algorithme. Reste le cas p = 2. Dans ce cas, on a une situation analogue à celle de la proposition : 6

7 Proposition Soient U := X + X X 2n 1 et A défini comme précédemment. Alors pour tout polynôme T F p [X] on a l identité : A = (A, U T ) (A, U T + 1). Ainsi, il est possible de donner un algorithme similaire à l algorithme 4. Néanmoins, dans ce cas particulier, on peut faire mieux que de choisir T aléatoirement. Algorithme 5 (Factorisation pour p = 2). Soit A F 2 [X] un polynôme unitaire sans facteur carré dont les facteurs irréductibles ont tous même degré n. Cet algorithme donne ces facteurs irréductibles. 1. Initialisation : faire k deg(a)/n. Si k = 1, renvoyer A et terminer l algorithme. Sinon faire T X. 2. Test : faire C T, répéter n 1 fois C T + C 2 (mod A) et faire B (A, C). Si deg(b) {0, deg(a)}, faire T T X 2 et retourner au point Récursivité : factoriser B et A/B avec le présent algorithme et terminer l algorithme. Pour des preuves des propositions et une justification de l algorithme 5, voir [Coh, section 3.4]. 3.2 Le théorème de densité de Chebotarëv On adopte les notations de la section 1. On note également D d l ensemble des partitions de d et on considère l application δ : D d D d {0, 1} définie par δ(p 1, P 2 ) = 1 si P 1 = P 2 et δ(p 1, P 2 ) = 0 si P 1 P 2. Il est à remarquer que la donnée (ordonnée) des degrés des facteurs irréductibles de f modulo un nombre premier p et celle des longueurs des cycles de l action sur Ω d un élément g G, notées respectivement cycle(p) et cycle(g), réalisent une partition de Ω = d. Théorème (Chebotarëv). Pour tout entier premier p ne divisant pas le discriminant de f, il existe g G tel que cycle(p) = cycle(g). De plus, pour tous n 2 et P D d, on pose : λ n (P ) := 1 P n p P n δ(p, cycle(p)) la fréquence d appartion de P dans l ensemble P n des nombres premiers inférieurs à n. Alors λ n converge lorsque n tend vers +, vers la fréquence d apparition de P dans la structure des cycles de G, soit : lim λ n(p ) = 1 n + G δ(p, cycle(g)). g G 7

8 3.2.1 Simplification du calcul du critère du théorème D après le théorème de Chebotarëv, il existe au moins un nombre premier p tel que f se décompose modulo p en un produit de facteurs linéaires. En effet, il suffit de prendre p vérifiant cycle(p) = cycle(id) où id est l élément identité de G, et il existe au moins un tel p, puisque la fréquence d apparition de la structure cyclique de id est 1/(d!) 0 avec d! = G. Par le lemme de Hensel, on peut relever cette décomposition dans Q p, soit f =: (X ρ 1 )...(X ρ d ) avec ρ 1,..., ρ d Q p deux à deux distincts. On obtient ainsi d plongements différents µ 1,..., µ d : Q(α) Q p tels que : i {1,..., d}, µ i (α) = ρ i. On considère également le morphisme de corps µ : F Q p tel que pour tout i {1,..., d} on ait µ(α i ) = ρ i. Si, pour i {1,..., d}, ϕ i G est un automorphisme envoyant α sur α i, le diagramme suivant commute : ϕ i Q(α) Q(α i ) µ i µ Q p Pour tout polynôme e Q[X], on a donc e(α) ϕiµ = e(α ϕiµ ) = e(α µ i ). Ainsi, on peut remplacer le test de ϕ i par celui du plongement µ i. En particulier pour l ensemble E défini à la section 2.2, si i {1,..., n}, plutôt que de tester f ϕ i k pour ϕ G E, on teste f µ j i k pour j tel que α j B E. Cette manipulation permet de se ramener a priori dans Q p. Mais, comme f est unitaire à coefficients entiers, les racines sont des entiers algébriques et les calculs ont en fait lieu dans l anneau de valuation Z p. De plus, vu que f est sans facteur carré modulo p, la manipulation reste valable une fois projetée sur F p. Finalement, on peut se contenter, sans perdre en efficacité, de tester le critère du théorème dans F p Réduction des tailles possibles pour les blocs On veut obtenir des conditions nécessaires sur les structures des cycles des éléments de G et donc sur les tailles possibles des blocs pour restreindre le nombre de blocs potentiels à tester. Une première remarque évidente est que si G admet un bloc de taille m, alors m divise d. Cette condition, simple à vérifier pour des degrés raisonnables, permet néanmoins de diminuer considérablement les possibilités. De plus, en examinant les factorisations de f modulo p, où p ne divise pas le discrminant de f, on peut également réduire les tailles possibles pour 8

9 les blocs. En effet, on peut se faire une idée des fréquences d apparition de certaines structures dans les cycles des éléments de G à l aide du théorème de Chebotarëv. Bien que cette information soit asymptotique, elle est utile puisque l on peut quantifier l erreur comise voir [Lag-Odl]. On considère un bloc B pour G de taille m et on suppose connu un élément π G de structure cyclique (d 1,..., d k ). Comme B est un bloc, il existe un entier r 1 tel que : j {1,..., r 1}, B πj B = et B πr = B. Ainsi, si un cycle de π de longueur d i contient un élément de B, alors r divise d i et le cycle contient exactement d i /r éléments de B. En applicant ce résultat à tous les blocs composant le système de blocs dont B fait partie, on met en évidence une partition de {1,..., k} selon les valeurs de r. Plus précisément, on écrit {1,..., k} =: I 1... I s et pour tout t {1,..., s}, il existe un entier r t 1 tel que : i I t, r t d i et mr t = i I t d i. On peut donc restreindre le champ des possibles en examinant les différentes structures cycliques des premiers p pour lesquels on a factorisé f. 3.3 Factorisation sur le corps de nombres K L algorithme de factorisation dans K[X] que l on donne nécessite de savoir factoriser sur Q puisque l on y factorise la norme du polynôme Factorisation sur Q Pour P C[X] tel que P = i p i, on pose P := ( i p2 i )1/2. On commence par donner une borne pour les coefficients des diviseurs d un polynôme de Z[X]. Proposition Soient A, B Z[X] des polynômes unitaires tels que B divise A. On écrit B = i b ix i et on note n := deg(b). Alors, on a pour tout i : ( ) ( ) n 1 n 1 b i A +. j j 1 Factoriser sur Q peut se ramener à factoriser sur Z en multipliant par un entier approprié. On donne donc un algorithme de factorisation sur Z : Algorithme 6 (Factorisation sur Z). Soit A Z[X] un polynôme unitaire non constant. Cet algorithme donne la factorisation complète de A sur Z. 9

10 1. Elimination des facteurs carrés : faire U A/(A, A ) et réduire éventuellement encore le degré de U en utilisant un algorithme similaire à l algorithme 2. Dans ce cas, travailler comme suit avec chaque facteur. 2. Factorisation sans facteur carré modulo p : pour chaque p calculer (U, U ) sur F p jusqu à ce que (U, U ) 1 (mod p). Pour ce p, factoriser U modulo p avec l algorithme Utilisation de la borne : trouver, avec la proposition 3.3.1, une borne B pour les coefficients des facteurs de U de degré inférieur à deg(u)/2. Choisir un entier m minimal tel que p m > 2B. 4. Relèvement de la factorisation : relever la factorisation obtenu au point 2 en une factorisation modulo p m par un relèvement de Hensel, ce qui donne U U 1...U n (mod p m ) où les U i sont unitaires, et faire k Essai des combinaisons : pour toute combinaison de facteurs V := U i1...u ik avec i 1 = 1 si k = n/2, calculer l unique polynôme V Z[X] dont les coefficients sont dans [ p m /2, p m /2[ et tel que : { V V (mod p m ) si deg(v ) deg(u)/2 V U/V (mod p m ) si deg(v ) > deg(u)/2. Si V divise U dans Z[X], renvoyer le facteur V et son exposant dans A, faire U U/F et enlever les facteurs U i correspondant de la liste des facteurs de U modulo p. Si k > n/2, renvoyer U et terminer l algorithme. 6. Critère d arrêt : faire k k + 1. Si k n/2 retourner au point 5. Sinon, renvoyer U et terminer l algorithme L algorithme de factorisation sur K On note σ 1,..., σ d les différents plongements de K dans C. On peut étendre naturellement ces plongements à l anneau K[X] en agissant sur les coefficients. On définit alors la norme d un polynôme A K[X] par N (A) := σ 1 (A)...σ d (A) et, par la théorie de Galois, on a N (A) Q[X]. On donne des résultats justifiant l algorithme. On peut trouver une preuve de ces résultats dans [Coh, section 3.6.2]. Lemme Si A K[X] est un polynôme irréductible, alors N (A) est la puissance d un polynôme irréductible sur Q. Lemme Si A K[X] est un polynôme sans facteur carré, il n existe qu un nombre fini de rationnels k pour lesquels N (A(X kα)) n est pas sans facteur carré. On en déduit la proposition suivante : Proposition Soient A K[X] et N (A) Q[X] des polynômes supposés sans facteurs carrés. Si N (A) = i N i est la factorisation de N (A) en un produit de facteurs irréductibles sur Q, alors A = i (A, N i) est une factorisation de A en un produit de facteurs irréductibles sur K. 10

11 Cette proposition permet de justifier l algorithme. Algorithme 7 (Factorisation sur K). Soit A K[X] un polynôme non nul. Cet algorithme donne la décomposition complète de A sur K 1. Elimination des facteurs carrés : faire U A/(A, A ) et réduire éventuellement encore le degré de U en utilisant un algorithme similaire à l algorithme 2. Dans ce cas, travailler comme suit avec chaque facteur. 2. Initialisation : former G(X, Y ) Q[X, Y ] tel que G(X, α) = U(X). 3. Norme sans facteur carré : faire N(X) R Y (T (Y ), G(X ky, Y )) où R Y désigne le résultant par rapport à la variable Y pour k 0 jusqu à avoir (N, N ) = Factorisation de la norme : factoriser N sur Q en N =: i N i avec l algorithme Détermination des facteurs : pour tout i, poser A i := (U(X), N(X+kα)), renvoyer A i et l exposant de A i (obtenu en remplaçant A par A/A i tant que A i A). Terminer l algorithme. 4 Calcul de la décomposition idéale On étudie maintenant l algorithme permettant de déterminer tous les sous-corps de K contenant Q en donnant les différentes décompositions idéales de f. 4.1 Détails de l algorithme On donne l algorithme ainsi qu une rapide justification de ses étapes. Pour d autres précisions sur cet algorithme, se reporter par exemple à [?]hul. Algorithme 8 (Calcul des sous-corps). On considère un polynôme f à coefficients dans Q de degré d 1. Cet algorithme détermine la décomposition idéale, notée f (g h), de tous les systèmes de blocs. 1. Simplification de f : si f n est pas unitaire à coefficients dans Z, le remplacer par le polynôme a d f(x/a), où a est un diviseur suffisament grand du ppcm des dénominateurs des coefficients de f, qui est un polynôme unitaire à coefficients dans Z. 2. Tailles possibles des blocs : factoriser f modulo divers entiers premiers pour déterminer les tailles possibles des systèmes de blocs. 3. Corps de nombres : former le quotient Q[X]/(f) qui est isomorphe à K := Q(α) où α est une racine de f correspondant à la classe X + (f). 4. Factorisation algébrique : factoriser f sur K pour obtenir les facteurs irréductibles f 1,..., f k avec f 1 = X α. 11

12 5. Détermination de p 0 : trouver un entier p 0 premier tel que f se décompose modulo p 0 en un produit de facteurs linéaires. Un tel nombre premier a probablement déjà été déterminé au point Systèmes de blocs possibles : former les combinaisons des f i contenant f 1 dont la répartion des degrés est compatible avec les tailles possibles déterminées au point Détermination des systèmes de blocs : tester si une combinaison est un système de blocs par le critère déduit du théorème Décomposition idéale : pour chaque système de blocs, calculer la décomposition idéale f (g h) et faire h h(ax) avec a = 1 si f n a pas été modifié au point Compilation : renvoyer la liste des couples (g, h) et terminer l algorithme. On développe les points clés de l algorithme Tailles possibles des blocs On factorise f modulo divers entiers premiers grâce à l algorithme 1. Pour chaque factorisation, on conserve la partition cycle(p) que l on sait correspondre à la partition cycle(g) d un élément g G, d après le théorème de Chebotarëv. On arrête les factorisations lorsque l on a trouvé un nombre premier, noté p 0, pour lequel f se décompose en un produit de facteurs linéaires. D une part, cet entier sera utile au point 7, et d autre part le théorème de Chebotarëv assure qu un tel entier n apparaît en moyenne que tous les G = d! nombres premiers puisque seule l identité de G admet la structure correspondante ce qui en fait le premier entier pour lequel on peut espérer avoir déterminé toutes les structures cycliques possibles. On utilise ces informations pour réduire les tailles possibles des blocs de la manière exposée à la section Factorisation algébrique On utilise l algorithme 7. Il sert généralement pour de petits problèmes. En effet, cette étape est déterminante pour le temps de calcul. Plus particulièrement, le point crucial est le point 4 de l algorithme 6. Le coût de ce point est, dans le pire des cas, qui correspond à U irréductible, de l ordre de O(2 n/2 ), ce qui limite en fait le degré de f à 11, puisque c est la norme de f que l on factorise sur Q Détermination des systèmes de blocs Généralement, le polynôme f se décompose sur K en un petit nombre de facteurs irréductibles. Un quelconque algorithme naïf de combinaison des 12

13 facteurs peut être utilisé au point 6 pour former tous les blocs dont les tailles sont compatibles avec les possibilités du point 2. Pour chaque bloc potentiel, on applique le critère du théorème dans F p0 de la manière vue à la section Décomposition idéale Soit s {1,..., r} tel que, quitte à changer de numérotation, l ensemble E := {f 1,..., f s } correspond à un bloc. On forme les ensembles B E et G E comme vu à la section 2.2. On considère le polynôme : e = X m + e m 1 X m e 0 := s f i. Ses coefficients sont des polynômes symétriques élémentaires en les éléments de B E, et sont donc invariants par l action des éléments de G E. Ainsi, e est défini sur le sous-corps L de K contenant Q, correspondant à G E dont on note m la taille. Les coefficients de e étant les polynômes symétriques en les éléments de B E, e n est défini sur aucun sous-corps strict de L, et donc L est le corps de nombre défini par les coefficients de e : L = Q(e 0,..., e m 1 ). On veut déterminer un élément primitf de L. On considère une combinaison arbitraire γ := z j e j avec z 0,..., z m 1 Z. Comme γ est un polynôme en α, on pose h(α) := γ et on calcule le polynôme minimal g de γ en déterminant une combinaison linéaire des puissances de γ qui soit nulle. Si deg(f) = deg(e) deg(g), alors γ convient et g est le polynôme minimal de ce sous-corps, ce qui donne la décomposition idéale f (g h). Sinon, on recommence avec une autre combinaison linéaire. En pratique, le premier choix pour γ convient. 4.2 Exemple de calcul On considère le polynôme f := X 8 10X Comme ce polynôme est unitaire et à coefficients entiers, le point 1 est inutile. Point 2. Le degré de f est d := 8 ce qui ne laisse que deux tailles possibles pour les blocs : 2 et 4. Par ailleurs, avec les factorisations modulo p, on obtient p 0 := 97. Points 3 et 4. On pose par exemple α := ( ) 1/4 et on forme i=1 13

14 K := Q(α). La factorisation de f sur K est la suivante : f 1 := X α f 2 := X + α f 3 := X α α 3 f 4 := X + α 7 10α 3 f 5 := X 2 + α 2 f 6 := X 2 α α 2. Point 5. On a déterminé p 0 = 97. Comme f(2) 0 (mod p 0 ), on suppose par exemple α 2 (mod p 0 ). On a alors les racines des différents facteurs de f dans F p0 : f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f , 44 11, 11. Point 6. On peut former au total 10 combinaisons de tailles 2 ou 4 contenant f 1. On les donne avec leur ensemble de racines associé : F 1 := {f 1, f 2 } B 1 := { 2, 2} F 2 := {f 1, f 3 } B 2 := { 48, 2} F 3 := {f 1, f 4 } B 3 := {2, 48} F 4 := {f 1, f 2, f 3, f 4 } B 4 := { 48, 2, 2, 48} F 5 := {f 1, f 2, f 5 } B 5 := { 44, 2, 2, 44} F 6 := {f 1, f 2, f 6 } B 6 := { 11, 2, 2, 11} F 7 := {f 1, f 3, f 5 } B 7 := { 48, 44, 2, 44} F 8 := {f 1, f 3, f 6 } B 8 := { 48, 11, 2, 11} F 9 := {f 1, f 4, f 5 } B 9 := { 44, 2, 44, 48} F 10 := {f 1, f 4, f 6 } B 10 := { 11, 2, 11, 48}. Point 7. Pour chaque F i, on substitue chaque élément de B i à α. Alors, B i constitue un bloc si et seulement si B i reste invariant pour toutes ses substitutions. Par exemple, pour F 1, on pose α 2 (mod p 0 ) et on s aperçoit que B 1 demeure inchangé, donc B 1 est un bloc. Par contre, pour F 7, si α 48 (mod p 0 ), alors f 5 admet 11 pour racine et 11 / B 7, donc B 7 n est pas un bloc. De même pour les autres. Finalement, la liste de toutes les combinaisons des f i associées à des blocs est la suivante : F 1, F 2, F 3, F 4, F 5, F 6. Point 8. On explicite le cas de F 1. On forme e 1 := X 2 α 2, donc h 1 (α) := α 2 et g := X 4 10X conviennent. On procède de manière 14

15 identique pour les autres blocs, on obtient finalement : h 1 (α) := α 2 g 1 (X) := X 4 10X h 2 (α) := α 7 10α g 2 (X) := X 4 + 4X 2 8 h 3 (α) := α 7 10α 3 1 g 3 (X) := X 4 4X 2 8 h 4 (α) := α 6 11α 2 g 4 (X) := X 2 12 h 5 (α) := α 4 g 5 (X) := X 2 10X + 1 h 6 (α) := α 6 9α 2 g 6 (X) := X 2 8. On a ainsi déterminé tous les sous-corps de K contenant Q. Références [Coh] [Dix] [Hul] H. Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 4, Springer, J. D. Dixon, Computing subfields in algevraic number fields, Journal of the Australian Mathematical Society (series A), vol. 49, , A. Hulpke, Block Systems of a Galois Group, Experimental Mathematics 4 no. 1, 1-9, [Lag-Odl] J. C. Lagarias et A. M. Odlyzko, Effective Versions of the Chebotarev Density Theorem, Algebraic Number Fields (L-functions and Galois properties), Academic Press, London, [Len] A. K. Lenstra, Factoring Polynomials over Algebraic Number Fields, Computer Algebra : EUROCAL 83, Lecture Notes in Computer Science, 162, Springer, [Poh-Zas] M. Pohst et H. Zassenhaus, Algorithmic Algebraic Number Theory, Cambridge University Press, [Wei-Rot] P. J. Weinberger et L. P. Rothschild, Factoring Polynomials over Algebraic Number Fields, ACM Transactions on Mathematical Software 2, no. 4, ,