Atelier 3 : «Le boulier chinois» Caroline Poisard 1

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1 Atelier 3 : «Le boulier chinois» Caroline Poisard 1 1. Introduction Projet de recherche Observations Le boulier chinois ou suan-pan Comment ça fonctionne? L addition puis la soustraction La non unicité d écriture Comment faire une multiplication? Situations recherche Enlever des boules Changer la valeur des boules Coller des boules Conclusion Quelques références sur les instruments et les machines à calculer Introduction L objectif principal de cet atelier est d étudier le boulier chinois (ou suan-pan). Cette exploration permettra dans un premier temps de comprendre comment écrire un nombre et faire des opérations sur le boulier. Les questions que nous proposons pour ce travail sont : Comment ça marche? Pourquoi ça marche? A quoi ça sert? Qui s en sert? Pour quoi faire? Ensuite, nous nous poserons de nouvelles questions et nous rentrerons plus précisément dans la démarche des situations recherche que développe l équipe Maths à modeler de Grenoble Projet de recherche Cet atelier s inspire d une thèse en cours en didactique des mathématiques. Pour résumer notre sujet de thèse, nous dirons qu il se bâtit sur une «analyse didactique d une innovation pédagogique». L originalité de la démarche pédagogique étudiée consiste à construire et utiliser des objets mathématiques, à les manier. Une autre particularité essentielle est que nous ne nous situons pas dans le cadre classique des observations en didactique des mathématiques, celui de la classe intra muros. Nous analysons des situations qui vivent en relation avec le milieu de la classe, mais physiquement dans un autre lieu : un centre d animation scientifique et technique qui reçoit des scolaires. L enseignement qui nous intéresse est celui des mathématiques, le niveau celui du cycle 3 du primaire. Notre questionnement touche différentes strates et différents acteurs de ces pratiques d animation, en particulier le temps des animations et leur impact sur l activité cognitive. Quels sont les moments importants pour l apprentissage qui se réalisent au centre? Quand? Comment? En mathématiques 1 Doctorante à l Université de Provence, Laboratoire du Cirade avec le soutien financier de la Région Paca. poisard@unimeca.univ-mrs.fr 2 Grenier D., Payan C., 2003, Situations de recherche en "classe", essai de caractérisation et proposition de modélisation. Les cahiers de laboratoire Leibniz, 92. En ligne sur le site du Laboratoire Leibniz 1

2 ou dans un autre domaine, scolaire ou non? Existe-t-il un lien à faire entre l école et le centre? Qui? Comment? Quand? Quels peuvent être les objets matériels intéressants pour un apprentissage du calcul? Comment caractériser ces objets? Quel est leur effet cognitif? Les contraintes d utilisation? 1.2 Observations Les observations ont porté (d octobre 2003 à mai 2004) sur quatre classes de CM2 qui sont venues au centre d animation sur le thème des instruments à calculer (entretiens enfants, instituteurs, animateurs, questionnaires enfants, films des séances au centre, expression écrite en classe après chaque séance). Cet atelier a été réfléchi en fonction des contraintes du centre et de la thématique à aborder : les mathématiques. Chaque classe vient trois journées au centre, celle-ci est divisée en trois, deux groupes sont avec des animateurs pour construire des instruments avec divers outils (scies, perceuses électriques...) et le troisième groupe travaille avec l instituteur. La réalisation des objets n inclut pas une phase de réflexion sur la conception comme c est le cas pour la démarche de projet en technologie au collège. Le double objectif de l animation scientifique : celui de recherche de plaisir pour les enfants avec une finalité d apprentissage est un des points délicats à produire dans de bonnes conditions. Une grosse part des explications est laissée volontairement à l école, la démarche de l instituteur va donc déterminer l intérêt didactique des séances. L atelier sur les instruments à calculer comporte la fabrication et l étude du boulier chinois, des bâtons à multiplier (Néper et Genaille-Lucas) et de la règle à additionner (règle à calcul pour l addition et la soustraction). Le temps des animations constitue un moment important de l apprentissage où les enfants sont fortement valorisés par la réalisation d une œuvre personnelle. Même si, l utilisation rapide des objets pendant les animations ne semble pas permettre aux enfants une appropriation des modes de fonctionnement des instruments, ces moments sont décrits par les enfants comme «héroïques» lors des entretiens où chaque détail est mentionné et où le déroulement des séances est repris point par point ce qui montre bien une activité extraordinaire c est à dire qui sort de l ordinaire. Lors des séances avec l instituteur, nous avons choisi d étudier les instruments en posant aux enfants la question : Comment ça marche? Pourquoi ça marche? L hypothèse est que l exploration produit une activité qui s organise bien autour d un enseignement de mathématiques. Dans l atelier, nous allons mettre au travail les participants autour de ces mêmes questions. 2. Le boulier chinois ou suan-pan On estime que l usage du boulier chinois remonte au 13 ème siècle. Il constitue un instrument portatif (à l inverse des abaques), d usage simple et efficace pour les opérations élémentaires. Pour nous, le boulier est un support d activité en mathématiques, l utilisation que nous montrerons ici n est pas obligatoirement celle d une utilisation courante, machinale comme c est le cas lorsqu on apprend à l utiliser en Chine ou au Japon depuis l enfance. Le but est de comprendre pourquoi un tel objet est efficace pour faire des calculs et non pas d apprendre par cœur les règles de son utilisation. 2.1 Comment ça fonctionne? 2

3 On posera cette question aux participants avec un boulier chacun. Après un temps de réflexion et une mise en commun des résultats on poursuivra sur quelques exemples intéressants. Dans chaque tige le boulier chinois possède 2 quinaires (qui valent chacune cinq) et 5 unaires (qui valent chacune un) et chaque tige représente une position du système décimal : unités, dizaines, centaines, etc. en partant de la droite vers la gauche. La position zéro s obtient lorsque les boules sont vers le cadre extérieur c est à dire que pour marquer un nombre on ramène les boules vers le cadre intérieur afin de déplacer les unaires et les quinaires en un seul mouvement. L enjeu est de revisiter des savoirs en explorant le mode de fonctionnement du boulier et de se poser de nouveaux problèmes qui sortent du cadre strict de son utilisation. Regardons cet exemple : Comment lire ce nombre écrit sur le boulier? Comment écrire autrement 12 centaines? Combien de possibilités a- t-on sur le boulier chinois? 2.2 L addition puis la soustraction Comment réaliser une addition puis une soustraction sur le boulier? On proposera des opérations sans puis avec retenues. Ces opérations s effectuent par dessus, on ne garde pas de trace des calculs intermédiaires, on lit directement le résultat. Avec le boulier on voit le passage des retenues car on l effectue à la main. Par exemple, le passage de 10 dizaines en une centaine se fait par l'échange de 10 dans la tige des dizaines avec une dans celle des centaines. Le boulier comporte une très bonne gestion des retenues, on peut commencer une opération par la gauche pour avoir un ordre de grandeur du résultat, sans avoir de soucis de retenue. Les nombres sont inscrits (ou codés) et cette inscription est dynamique, ce qui est impossible avec papier et crayon. On peut l écrire de cette manière : Ou encore : Peut-on réaliser 12,56+34,129? Oui, il est alors nécessaire d établir une convention pour placer les unités, par exemple la quatrième tige en partant de la droite, ce qui laisse 3 chiffres inscriptibles après la virgule. On peut donc aussi travailler avec les décimaux sur le boulier. 2.3 La non unicité d écriture Pour aborder ce point, nous proposerons aux participants d inscrire 10 de trois manières différentes et de réfléchir sur la manière la plus économique. Comment et pourquoi la définir? On rencontre une situation similaire avec les fractions que l on apprend à écrire de façon irréductible, on a bien plusieurs manières pour écrire un 3

4 même nombre : 10/2=5 ou 18/12=3/2. C est le cas des radicaux et aussi des entiers, 0,9999 =1! Enfin, une opération du type , montre que comme en algèbre, sur le boulier il est parfois nécessaire de décomposer une écriture pour arriver au résultat. Par exemple il faut parfois passer par (a+b)²=a²+2ab+b² c est à dire l inverse de la factorisation pour trouver un résultat. 2.4 Comment faire une multiplication? La méthode classique s écrit sur une feuille : 3 7 x Avec le boulier le calcul se décompose de telle manière que l on n a pas de retenue (le «je retiens 3» de précédemment). Ce qui est intéressant avec cette méthode c est que l on voit mieux le décalage, on remonte au sens mathématique. Pour écrire la seconde ligne, on se place dans la tige de dizaines, on laisse la tige des unités vide car on va multiplier 5 unités par 3 dizaines. 3 7 x x x Comment extraire une racine carrée avec le boulier? Calculer 25. On utilise la propriété que la somme des n premiers nombres impairs est égale à n², c est à dire : n 1 i = 0 2i + 1= n 2 Dans cet exemple, =25=5². Pour ce calcul sur le boulier, on effectuera des soustractions successives en notant le nombre des soustractions effectuées : 25-1=24, on inscrit une boule à gauche. Total de soustractions = =21, on rajoute une boule à gauche. Total = =16, total = = 9, total = =0, total = 5. Le résultat est un nombre entier et c est Situations recherche On dit à l oral ou dans sa tête : «5 fois 7 : 35 je pose 5 et je retiens 3. 5 fois 3 15 et 3 : 18» 3.1 Enlever des boules On répondra à la première question : Combien peut-on enlever de boules au maximum par tige pour pouvoir calculer à la manière traditionnelle? Ce qui peut aussi se formuler : Peut-on avoir une écriture unique de tous les nombres en base 10? Cette recherche nous fait (re)découvrir le boulier japonais ou soroban qui possède le nombre de boules minimales c est à dire 4 unaires et 1 quinaire. Son apprentissage nécessite beaucoup plus de dextérité. Cette amélioration du suan-pan date des années En fait si on pousse le raisonnement du nombre minimum de 4

5 boules, il suffit d une boule par tige pour pouvoir inscrire n importe quel nombre en binaire! Ensuite, on formera deux groupes de travail avec une question de recherche chacun : 1- Quelles valeurs peut-on donner aux boules pour que l on puisse écrire tous les nombres? Etudier tous les cas. 2- Si certaines boules sont collées entre elles, peut-on encore utiliser le boulier? Sous quelles conditions? Si on a le choix, où peut-on placer ces boules coller pour perdre le moins de nombres possible? Etudier tous les cas. Dans les deux points suivants, nous ne donnerons que quelques pistes de recherche afin de permettre la recherche personnelle du lecteur. 3.2 Changer la valeur des boules Piste de recherche : Pour le suan-pan, on peut donner les valeurs 2 à 6 pour les boules du bas en gardant 1 en bas. Peut-on changer la valeur des boules du bas? Oui, on peut leur donner la valeur 2 ou 3 et 1 pour celles du haut. Quand on change de valeurs : quel est le nombre maximum inscriptible? Quels sont ceux dont l écriture est unique? 3.3 Coller des boules Piste de recherche : On prendra le cas du boulier-compteur avec 9 boules par tige. Coller 2 boules équivaut à enlever une boule. Perd-on autant de nombres si cette boule est dans les unités ou dans les dizaines? Oui, ce phénomène n est pas proportionnel à la taille du nombre comme on peut le penser en première analyse! Ainsi, sur une tige on écrit 10 chiffres (de 0 à 9). Donc pour k tiges, on écrit 10 k nombres et on compte de 0 à 10 k -1. Raisonnons avec les nombres qu on peut encore écrire puis on calculera la perte. Pour n boules collées dans une même tige ; avec k tiges au total, on peut inscrire 10 k-1 x (10-(n-1)), donc on perd : 10 k - 10 k-1 x (10-(n-1)) nombres. Est-ce qu il vaut mieux perdre les boules dans toutes les tiges ou en pénaliser une seule? Avec 3 tiges et 4 boules collées entre elles, dans une même tige, on inscrit 10x10x7=700 nombres et on en perd =300. En effet, si on colle 4 boules, on perd l écriture de 3 nombres, il en reste donc bien 7 dans une des tiges. Par contre, 2 boules collées dans 2 tiges, on peut inscrire 10x9x9=810 et on en perd 190. Il vaut donc mieux répartir les pertes dans les tiges. 4. Conclusion Le boulier pour qui? Pour des élèves en difficultés, il apparaît un support adéquat pour dédramatiser le rapport aux mathématiques afin de comprendre les techniques de calcul males maîtrisées. Certains orthophonistes l utilisent d ailleurs pour traiter des problèmes de dyscalculie. Pour des élèves qui maîtrisent les techniques opératoires usuelles ou pour des adultes (instituteurs ) il est un moyen pour retrouver le sens mathématique qui se cache derrière une technique devenue routinière. Le boulier pour quoi? Il est adapté pour un atelier d animation en mathématiques (ou pour la classe) et peut-être étudié sous différents angles, trois en particulier : l étude des techniques opératoires, l approche pluridisciplinaire ou l histoire du calcul. Une étude peut s envisager sur l analyse des techniques opératoires disponibles pour le calcul : calcul mental, calcul posé (ou papier-crayon), avec une approche 5

6 historique sur la numération et les techniques de calcul, du boulier à la calculatrice. On peut aussi imaginer une approche pluridisciplinaire c est à dire technologie et mathématiques avec la production d instruments à calculer (boulier, réglettes à multiplier, règle à additionner) puis leur étude en classe de mathématiques. Enfin, on peut partir de questions d histoire : Comment faisait-on sans calculatrice avant? On développe ainsi l histoire du calcul par les instruments à calculer en touchant en particulier les notions de calcul approché (avec la règle à calcul des ingénieurs) et calcul exact (avec le boulier des marchands ou les besoins des comptables). Dans tous les cas l idée est de permettre d explorer le boulier : Comment ça marche? Pourquoi ça marche? A quoi ça sert? Qui s en sert? Pour quoi faire? Quels sont les calculs que l on peut réaliser, ceux qu on ne peut pas? C est à dire d insister sur le questionnement de départ pour permettre de «créer des œuvres» 3, puis se poser de nouveaux problèmes. D autre part, ce travail s inscrit dans une définition des mathématiques comme une science expérimentale qui se construit autour d expériences, de réalisations matérielles, des manipulations, d observations et de mesures comme c est le cas en sciences physiques et en sciences de la vie et de la terre. Notre objectif est de déterminer les contraintes pour qu un travail expérimental soit aussi un travail mathématique. 5. Quelques références sur les instruments et les machines à calculer Aymé N., 1997, «Le boulier chinois» in Actes du colloque d histoire des sciences : L Océan Indien, au carrefour des mathématiques arabes, chinoises, européennes et indiennes, IUFM de La Réunion. En ligne : Barbin E, Le Goff J.-P., 2000, Si le nombre m était conté, ellipses, Paris (Commision Inter Irem, épistémologie et histoire des mathématiques) Chabert J.-L., Barbin E., Guillemot M., et al, 1994, Histoires d algorithmes : du caillou à la puce, Belin, collection Regards sur la science, Paris. Cumin J., Hossenlopp J., 1994, Le boulier : initiation, Chiron, Paris. Cumin J., Hossenlopp J., 1998, Le boulier : perfectionnement, Chiron, Paris. Ifrah G., 1981, réed 1994, Histoire universelle des chiffres, Robert Laffont, Paris. Lucas E., 1893 rééd 1979, Récréations mathématiques III, A. Blanchard, Paris. (En ligne sur ) Lucas E., 1891 rééd 1991, Théorie des nombres, Gauthier Villars, Paris. (En ligne sur ) Marguin J., 1994, Histoire des instruments et machines à calculer : trois siècles de mécanique pensante, , Hermann éditeurs des sciences et des arts, Paris. Martzloff J.-C., 1987, Histoire des mathématiques chinoises, Masson, Paris. 3 Chevallard Y., 2001, Les TPE comme problème didactique, Séminaire National de Didactique des mathématiques, en ligne sur le site de l IUFM d Aix-Marseille : 6