Chapitre 1: Cinématique du Point

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1 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 1 Chpitre 1: Cinémtique du Point 1. Position pr rpport à un référentiel ) Repère crtésien (0, i, j, k ) (lié u référentiel) ous utiliserons ce repère si l trjectoire est rectiligne ou prbolique (tir oblique,...) L position du mobile M est repérée pr son ecteur position : OM OM OM ı + ȷ + k b) Repère de Frenet (M,, ) (lié u mobile) L trjectoire doit être connue d nce ous utiliserons ce repère si l trjectoire est circulire/elliptique (stellites, chrges dns un chmp mgnétique,...) L trjectoire est munie d une origine O. Elle est orientée (si possible dns le sens du mouement). L position du mobile M est repérée pr son bscisse curiligne s.

2 1 re B et C 1 Cinémtique du Point Le repère de Frenet est lié u point M. Il comporte deu ecteurs unitires et : est tngent à l trjectoire u point M et orienté dns le sens de l orienttion de l trjectoire. est perpendiculire ( normle) à et dirigé ers l intérieur de l concité de l trjectoire. Si l trjectoire n'est ps plne on joute un troisième ecteur unitire bi-norml k perpendiculire à et.. Vitesse pr rpport à un référentiel ) Définition ¾¾ ¾¾ DOM d OM lim Dt 0 Dt L itesse instntnée est l dériée de l position L itesse eprime l rpidité ec lquelle l position rie. Le ecteur itesse est tngent à l trjectoire. (1) ¾¾ OM pr rpport u temps.

3 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 3 b) Coordonnées crtésiennes Û i + j + k () OM ¾ ¾ Û OM ¾¾ i + j + k (3) d (1) et (3) Þ (i + j + k) d d d i + j + k (4) () et (4) Þ d d d c) Coordonnées de Frenet Û + Comme est tngent à l trjectoire 0 Þ Définition de l itesse : dom lim ΔOM Δt 0 Δt M lim 1 M Δt 0 Δt ec Dt t t 1 s Si : Dt 0 Þ M 1 M s Þ lim Δt 0 Δt ds Finlement : ds Þ et 0

4 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 4 d) Vitesse linéire et itesse ngulire dns le cs du mouement circulire uniforme Un mobile M se déplce à itesse constnte sur une trjectoire circulire de ron R. Origine des temps et des espces: à t 0, M se troue à l'origine O de l trjectoire circulire que l'on oriente dns le sens du mouement. L position du mobile peut être repérée soit pr son bscisse curiligne s, soit pr son bscisse ngulire q qui mesure l'ngle de l rottion depuis l'origine O sur le cercle. A l'instnt t 1, son bscisse curiligne est s 1, à l'instnt t, il est s. Son déplcement pendnt l durée Dt t - t 1 est Ds s - s 1. A l'instnt t 1, son bscisse ngulire est q 1. (C'est l'ngle entre CO et CM 1.) A l'instnt t, il est q. Son ngle de rottion pendnt l durée Dt t - t 1 est Dq q - q 1. L mesure de l'bscisse ngulire q est positie si l trjectoire du point été orientée dns le sens du mouement Cette mesure s'eprime en rdins (rd) dns le Sstème Interntionl d'unités. Reltion entre l rc et l ngle : D s R Dq, où Dq est eprimé en rd Le rdin est donc l'ngle pour lequel l'rc est égl u ron. Pour 1 tour complet, Ds pr. On donc : 1 tour 360 p rd. Vitesse linéire (instntnée) : ds C'est l itesse instntnée de M:. Dns le cs du mouement uniforme Ds (formule ue en clsse de e ) D t

5 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 5 Vitesse ngulire w (instntnée) : C'est l'ngle duquel M tourne pr unité de temps: Dq w dq lim D t 0 D t Dns le cs du mouement uniforme Unité S.I.: 1 rd/s. Dq w Û Dq w D t (formule à retenir) D t Reltion entre itesse linéire et itesse ngulire d'un point : D s R Dq Dq R R w Dt Dt Dt Finlement: R w (formule à retenir) Période de rottion : C'est l durée d'1 tour : D t si Dq p p w Û Période p (formule à retenir) w Fréquence de rottion f : C'est le nombre de tours pr seconde. En secondes il 1 tour En 1 seconde il 1/ tours 1 Fréquence f eprimée en hert (H) (formule à retenir)

6 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 6 3. Accélértion pr rpport à un référentiel ) Définition D d lim (1) D t 0 Dt L ccélértion est l dériée de l itesse pr rpport u temps. L'ccélértion eprime l rpidité ec lquelle l itesse rie. ¾¾ æ ¾¾ ö ¾¾ d OM d ç d OM d OM Comme, ç è ø L ccélértion est l dériée seconde de l position ¾¾ OM pr rpport u temps. b) Coordonnées crtésiennes Û i + j + k () Û i + j + k (3) d (1) et (3) Þ ( i + j + k) d d d i + j + k (4) d d () et (4) Þ ; ; d

7 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 7 d d Or Þ d d d De même pour et Þ ; ; c) Coordonnées de Frenet Û + L ccélértion eprime l rpidité ec lquelle rie en norme et en direction. Accélértion d un mobile en mouement rectiligne : Þ cr 0 Déterminons D lim t 0 Dt - lim Dt 0 Dt D lim Dt 0 Dt d D Finlement : 1 d et 0 L coordonnée tngentielle de l'ccélértion eprime l rpidité ec lquelle l norme de l itesse rie. et de même sens Û norme ugmente Û mt de plus en plus rpide et de sens opposé Û diminue Û mt de plus en plus lent (freinge)

8 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 8 Accélértion d un mobile en mouement circulire uniforme Méthode 1 M effectue un mouement uniforme de itesse sur une trjectoire circulire de ron R. A l instnt t 0, l position du mobile M 0 est donnée pr le ecteur position OM 0 et pr l bscisse ngulire q 0 0. Soit un repère crtésien (O, i, j) tel que l e O soit colinéire à OM 0. j O i R M (t) M0 (t0) A l instnt t, le ecteur position est OM et l bscisse ngulire q. L reltion Dq w D t du mouement circulire uniforme s écrit ici : qw t. Eprimons les coordonnées des ecteurs position, itesse et ccélértion Vecteur position : Vecteur itesse : OM dom OM cos θr cos (ω t) OM sin θr sin (ω t) d - ω R sin (ωt) d ω R cos (ωt) (1) Vecteur ccélértion : d d - ω R cos (ωt) - ω d - ω R sin (ωt) - ω () (1) et () Þ - ω L OM Þ est de même direction que OM (colinéire à ) Comme -w < 0, est de sens contrire à celui de OM centripète orme de : w OMw R Coordonnées de : w w ( Rw) R 0 et R L cordonnée normle de l'ccélértion eprime l rpidité ec lquelle l direction de l itesse rie.

9 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 9 Méthode M effectue un mouement uniforme de itesse sur une trjectoire circulire de ron R. d constnt Þ 0 et Déterminons D lim t 0 Dt D * Signe de : Dt 0 Þ D 0 Þ direction et sens de D direction et sens de Donc : de même direction et de même sens que Û > 0 Û est centripète * Vleur de : D lim Dt 0 Dt lim Dt 0 D Dt Dt 0 Þ Dq 0 Þ corde AB rc AB Dq lim D t 0 Dt Dq lim D t 0 D t w (Dq entre 1 et bscisse ngulire entre les ecteurs positions OM 1 et OM ) Comme Rw Rw w R Þ D AB Dq ou ( 1 )

10 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 10 Conclusions: 1. Au cours d'un mouement circulire uniforme de ron R et de itesse (de itesse ngulire w), l'ccélértion est centripète et de norme : Rw R Coordonnées de : 0 ; Rw R. L coordonnée normle de l'ccélértion eprime l rpidité ec lquelle l direction de l itesse rie. d) Remrque : mouement curiligne quelconque Dns le cs générl d'un mouement circulire non uniforme, l ccélértion s écrit : U + W d U L + r Cette epression reste même lble pour un mouement curiligne quelconque. Ici r désigne lors le ron de courbure de l trjectoire qui peut rier durnt le mouement. Ce n'est que pour un mouement circulire que le ron de courbure r est constnt. Eemples : > 0 ngle entre et igu umente mt de plus en plus rpide > 0 ngle entre et obtus diminue mt de plus plus lent(freinge) 0 si ngle rectngle entre et constnt mt circulire et uniforme 0 si 0 constnt mt rectiligne et uniforme

11 1 re B et C 1 Cinémtique du Point Mouements rectilignes ous les étudions dns un repère crtésien comportnt un seul e O prllèle u mouement. ous étblirons les formules ues en clsse de e beucoup plus isément à l'ide des reltions ec les dériées. ) Mouement rectiligne uniforme (MRU) C'est un mouement à ecteur ccélértion nul * Conditions initiles (C.I.) t 0 Þ 0 (1) * Accélértion 0 Þ 0 "t 0 () * Vitesse d Þ (K constnte d'intégrtion) (3) 0 K Déterminons K : t 0 : () Þ 0 D'où : K 0 Finlement : 0 "t (3) Þ K * Position d Þ t+ K' (K' constnte d'intégrtion) (4) Or 0 0 Déterminons K' : t 0 (1) Þ 0 (4) Þ K D'où : K' 0 Finlement : 0t + 0 "t

12 1 re B et C 1 Cinémtique du Point 1 b) Mouement rectiligne uniformément rié (MRUV) C'est un mouement à ecteur ccélértion constnt * Conditions initiles (C.I.) t 0 Þ 0 (1) 0 () * Accélértion constnt Þ constnt "t * Vitesse d constnt Þ t + K (K constnte d'intégrtion) (3) Déterminons K : t 0 : () Þ 0 (3) Þ K D'où : K 0 Finlement : t + "t (4) 0 * Position d 1 Or t+ 0 Þ t + 0t+ K' (K' constnte d'intégrtion) (5) Déterminons K' : t 0 (1) Þ 0 (5) Þ K' D'où : K' 0 1 Finlement : t + 0t + 0 "t (6) En éliminnt t entre (4) et (6) on obtient une reltion entre les itesses et les bscisses : - ( ) Û D ( ) D 0-0