UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire Mathématiques: Mise à niveau. Séance 10: Fonctions usuelles

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1 UNIVERSITÉ PARIS OUEST NANTERRE LA DÉFENSE U.F.R. SEGMI Année universitaire L Économie Cours de M. Desgraupes Mathématiques: Mise à niveau Séance 0: Fonctions usuelles Table des matières Fonction logarithme. Définition Propriétés Fonction exponentielle 4. Définition Propriétés Fonctions puissance 7 3. Définition Base des logarithmes Fonctions homographiques 8 5 Fonctions trigonométriques 9 5. Définition Propriétés Formules Fonctions réciproques Exercices 9 Fonction logarithme. Définition Définition.. La fonction logarithme est la fonction définie sur l intervalle ]0, + [ dont la dérivée est la fonction x et qui vaut 0 en. On la note en général log(x) ou parfois ln(x) (abréviation de logarithme naturel ou logarithme népérien ).

2 On a donc, par définition : ( ) log(x) = x et log() = 0. Propriétés Le domaine de définition D f du logarithme est l intervalle ]0, + [. Le logarithme n est pas défini pour les valeurs négatives et n est pas défini non plus en 0. On a vu que sa dérivée est x qui est positif sur le domaine D f : le logarithme est donc une fonction croissante. Puisque log() = 0, le logarithme est négatif pour x < et positif pour x >. On a les limites suivantes : lim log(x) = + x + lim log(x) x 0 + Voici la graphe de la fonction logarithme : = Fonction logarithme Exercice Trouver le domaine de définition de la fonction y = log(4x ).

3 Corrigé Il faut que le polynôme 4x soit strictement positif. Il se factorise en: 4x = (x + )(x ) Ses racines sont -/ et /. On a donc : D f =], /[ ]/, + [ On a la relation fondamentale suivante pour deux nombres réels positifs a et b : log(a b) = log(a) + log(b) Le logarithme transforme les produits en sommes. En particulier, on en déduit que : log(a ) = log(a) et plus généralement : log(a n ) = n log(a) La formule précédente reste vraie si n est négatif. En particulier : log ( ) = log(a) a Le logarithme de l inverse d un nombre est parfois appelé son cologarithme (par exemple dans les calculs de ph en chimie). On peut aussi l appliquer pour des exposants fractionnaires : log(a p q ) = p q log(a) Exemple On a les identités suivantes : log( a) log( 3 a) = log(a) = 3 log(a) Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation suivante pour une fonction u de la variable x : ( log ( u )) = u u Exercice 3

4 Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log ( x + ). Corrigé On remarque que f(x) = log ( x + ). On a donc : f (x) = (x + ) x + = x x + = x x + Lorsque, dans un calcul de limite, il y a un conflit entre un logarithme et un polynôme, c est le polynôme qui l emporte. Exemple Calculer la limite lim x + x log(x + x). : Corrigé Le polynôme est équivalent à son terme de plus haut degré. Par conséquent lim x + x log(x + x) = lim x + x log(x ) = lim log(x) x + x Ce dernier quotient conduit à une forme indéterminée mais le polynôme l emporte et la limite est finalement 0. Fonction exponentielle. Définition Définition.. La fonction exponentielle est la fonction réciproque de la fonction logarithme. On la note habituellement exp(x) ou e x. Cette fonction existe car la fonction logarithme est continue et monotone croissante, ce qui assure qu elle a bien une réciproque. Son domaine de définition est R tout entier (c est le domaine d arrivée de la fonction log). La fonction exponentielle et la fonction logarithme sont réciproques l une de l autre, ce qui conduit aux relations : log ( exp(x) ) = exp ( log(x) ) = x ou encore log ( e x) = e log(x) = x 4

5 . Propriétés Le nombre e dans la notation e x est exp().78. C est une valeur approchée : avec une plus grande précision, il s écrit e = Puisque le logarithme est la réciproque de l exponentielle, on a log(e) =. L espace d arrivée de la fonction exponentielle est ]0, + [, autrement dit l exponentielle d un nombre est toujours strictement positive. La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e x ) = e x Cette dérivée est donc toujours positive et l exponentielle est une fonction croissante. Voici le graphe de la fonction exponentielle : Fonction exponentielle e 0 On a les limites suivantes : lim x + lim x exp(x) = + exp(x) = 0+ On a la relation fondamentale suivante : exp(a + b) = exp(a) exp(b) La fonction exponentielle transforme les sommes en produits. 5

6 La relation s écrit aussi : En particulier, on en déduit que : e a+b = e a e b ( exp(a) ) = exp(a) et plus généralement : ou encore : ( exp(a) ) n = exp(n a) ( e a ) n = e n a Cette formule est valable avec des exposants négatifs ou fractionnaires. Par la formule de dérivation des fonctions composées, on obtient la relation suivante pour une fonction u de la variable x : ( exp ( u )) = exp(u) u ou encore ( e u) = e u u Exercice Calculer la dérivée de la fonction f(x) = exp ( x ). Corrigé On trouve f (x) = exp ( x ) ( x ) = exp ( x ) x Les graphes des fonctions logarithme et exponentielle sont symétriques par rapport à la ère bissectrice : 6

7 Fonctions logarithme et exponentielle e 0 e logarithme exponentielle 0 4 Exercice Calculer la limite lim x + log(e x + ). x Corrigé En +, e x + est équivalent à e x. On a donc : log(e x + ) log(e x ) x lim = lim = lim x + x x + x x + x = Lorsque x est très petit, on peut utiliser les équivalents suivants (déjà vus dans la séance 8) : exp(x) + x 0 log( + x) x 0 Exercice log(e x ) Calculer la limite lim. x 0 x Corrigé 7

8 On a, par équivalents : ( ) log(e x ) log ( + x) lim = lim x 0 x x 0 x log( + x) x = lim = lim x 0 x x 0 x = 3 Fonctions puissance 3. Définition Partons de la formule log (a n ) = n log(a) où a est un nombre réel strictement positif. Si on prend l exponentielle des deux membres, on obtient : a n = e n log(a) Cette dernière relation permet de généraliser la définition des puissances à n importe quel nombre réel x. On pose par définition : a x = e x log(a) avec a > 0 et x R. C est une quantité toujours positive strictement. Exercice On considère la fonction f(x) = x x. a) Quel est son domaine de définition? D après la définition précédente (en prenant a = x), il faut (et il suffit!) que x > 0. On a donc D f = R +. b) Calculer sa dérivée. ( ) On écrit f(x) = x x = e x log(x) et on applique la formule e u = e u u. On a donc : f (x) = e x log(x) ( x log(x) ) = e x log(x) ( log(x) + x ) = x x ( log(x) + ) x 3. Base des logarithmes Définition 3.. La fonction réciproque de la fonction a x s appelle le logarithme en base a de x. 8

9 On note cette fonction log a. En particulier, dans le cas où a = 0, on obtient le logarithme décimal. Le logarithme décimal d un nombre x est un nombre y tel que 0 y = x. Par exemple log 0 (00) = et log 0 (000) = 3. Le logarithme naturel (népérien) est un logarithme en base e. Les logarithmes en base a sont définis sur ]0, + [. Ils vérifient la relation fondamentale : log a (x y) = log a (x) + log a (y) On a la relation suivante entre le logarithme en base a et le logarithme naturel (noté ici ln pour éviter les confusions) : log a (x) = ln(x) ln(a) Par exemple, le logarithme naturel est obtenu en fonction du logarithme décimal en multipliant par ln(a).3. 4 Fonctions homographiques Définition 4.. Les fonctions homographiques sont les fonctions de la forme f(x) = ax + b cx + d Lorsque c 0, le domaine de définition est D f = R\ { } d c. Si c = 0, la fonction est un polynôme de degré et est donc définie sur tout R. Dans la suite, on supposera c 0. La fonction y = est un cas particulier de fonction homographique. x La dérivée est f ad bc (x) = (cx + d) Dans le cas particulier où ad bc = 0, la fonction est donc constante. Autrement, son sens de variation est celui dicté par le signe de la quantité ad bc. Le graphe d une fonction homographique est une hyperbole équilatère, qui admet pour asymptotes les deux droites d équation x = d et y = a c c. Ces asymptotes sont orthogonales entre elles et la courbe est constituée de deux branches. Le point d intersection des deux asymptotes est un centre de symétrie pour le graphe. Exemple 9

10 Représenter graphiquement la fonction homographique y = x x. La dérivée est f (x) = 3 (x ). f(x) = x x Hyperbole 5 Fonctions trigonométriques 5. Définition Les fonctions cosinus et sinus se définissent sur le cercle de centre 0 et de rayon, appelé le cercle trigonométrique. Si on prend un point M quelconque sur ce cercle et qu on appelle θ son angle polaire, c est-à-dire l angle que fait le rayon OM avec l axe horizontal, alors l abscisse et l ordonnée du point M son respectivement le cosinus et le sinus de l angle θ. On a donc : { cos(θ) sin(θ) = x M = y M 0

11 Cercle trigonométrique M sin(θ) θ 0 cos(θ) 5. Propriétés Les angles sont mesurés à partir de l axe horizontal en tournant dans le sens contraire des aiguilles d une montre. En analyse, ils sont mesurés généralement en radians, c est-à-dire comme des fractions de. L angle correspond à un tour complet du cercle : radians = 360. Les fonctions cosinus et sinus sont périodiques de période. On écrit : { cos(θ + ) = cos(θ) sin(θ + ) = sin(θ) Les angles 0, /6, /4, /3 et / sont dits remarquables et les valeurs de leur cosinus et de leur sinus se calculent facilement :

12 Angles 0 sin 0 cos Angles remarquables On utilise aussi sin() = 0 et cos() = Fonction cosinus Période

13 Fonction sinus Période Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur tout R. Elles sont continues et dérivables : ( cos θ) = sin θ ( sin θ) = cos θ Les valeurs de ces fonctions sont comprises entre - et. On a donc toujours les inéquations : { { cos θ cos θ sin θ sin θ 5.3 Formules Le théorème de Pythogore conduit à la relation fondamentale suivante : cos θ + sin θ = La similitude des courbes suggère qu il existe des relations simples entre le cosinus et le sinus d un angle. Par des considérations géométriques sur le cercle, on obtient les relations suivantes : { cos( θ) = cos θ sin( θ) = sin θ 3

14 Cela signifie que la fonction cosinus est paire tandis que la fonction sinus est impaire. En décalant d un angle, on obtient les relations suivantes : cos(θ + ) sin(θ + ) cos( θ) sin( θ) = cos θ = sin θ = cos θ = sin θ En décalant d un angle, on obtient les relations suivantes : ( cos θ + ) = sin θ ( sin θ + ) = cos θ ( ) cos θ = sin θ ( ) sin θ = cos θ Les identités qui suivent permettent de calculer le cosinus et le sinus d une somme : { cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b Dans le cas particulier où a = b = θ, on obtient les formules de l angle double : cos(θ) = cos (θ) sin (θ) = cos (θ) = sin (θ) sin(θ) = sin(θ) cos(θ) Une autre fonction trigonométrique importante est la fonction tangente définie comme le rapport entre le sinus et le cosinus : tan θ = sin θ cos θ Cette fonction n est pas définie pour les valeurs qui annulent le cosinus, donc pour θ = + k. La tangente est périodique de période. l intervalle ], [. C est une fonction impaire sur 4

15 On a les limites suivantes : lim tan θ = + θ lim tan θ θ + = Fonction tangente Période La dérivée de la fonction tangente est : ( ) tan θ = + tan θ = cos θ Elle est toujours positive, donc la fonction est croissante sur l intervalle ], [. La tangente d une somme peut se calculer selon la formule : tan(a + b) = tan a + tan b tan a tan b L inverse de la fonction tangente s appelle la fonction cotangente. C est le rapport entre le cosinus et le sinus : cot θ = cos θ sin θ Cette fonction n est pas définie pour les valeurs qui annulent le sinus, donc pour θ = k. Elle est périodique de période. 5

16 On a les limites suivantes : lim cot θ θ = lim cot θ = + θ 0 + La dérivée de la fonction cotangente est : ( ) cot θ = cot θ = sin θ Fonction cotangente Période Il y a une interprétation géométrique du cosinus et du sinus dans un triangle rectangle ayant un angla θ comme sur la figure suivante : 6

17 B c a A θ b C En désignant par a, b et c les longueurs des côtés opposés aux sommets A, B et C et par θ l angle au sommet A, on a les définitions suivantes : sin θ = a c cos θ = b c tan θ = a b avec a b c la longueur du côté opposé la longueur du côté adjacent la longueur de l hypoténuse 5.4 Fonctions réciproques La fonction cosinus, si on la restreint à l intervalle [0, ], admet une fonction réciproque appelée la fonction arc cosinus et notée arccos. On a donc l équivalence, pour un angle θ [0, ] : c = cos θ θ = arccos c De la même manière, la fonction arc sinus (notée arcsin) est la réciproque de la fonction sinus restreinte à l intervalle ], [. s = sin θ θ = arcsin s 7

18 Enfin, la fonction arc tangente (notée arctan) est la réciproque de la fonction tangente restreinte à l intervalle ], [. t = tan θ θ = arctan t Les fonctions arc cosinus et arc sinus sont définies sur l intervalle [0, ]. La fonction arc tangente est définie sur R tout entier et prend ses valeurs dans l intervalle ], [. Les trois fonctions sont dérivables : ( arcsin x) = x ( arccos x) = x ( ) arctan x = + x Fonction arc cosinus

19 Fonction arc sinus Fonction arc tangente Comme les dérivées de arccos et arcsin sont opposées l une de l autre, leur somme est nulle. Donc la somme arccos(x)+arcsin(x) est constante. En prenant, par exemple, la valeur en 0, on obtient la relation suivante : arccos(x) + arcsin(x) = 9

20 La figure suivants montre la forme comprée des graphes des fonctions arccos et arcsin. Les deux courbes se coupent au point d abscisse qui correspond à l angle 4. On a aussi les équations fonctionnelles suivantes concernant la fonction arctan : arctan x + arctan x = x R + arctan x + arctan x = x R Fonctions arc sinus et arc cosinus 4 0 arcsin arccos 6 Exercices Exercices complémentaires Exercice Déterminer le domaine de définition de la fonction y = log( x). Exercice Calculer la dérivée de la fonction f(x) = log ( (x + )(x ) ). Exercice 3 ( Calculer la limite lim exp ). x 0 x Exercice 4 0

21 Calculer la dérivée de la fonction f(x) = x. Exercice 5 Calculer les limites suivantes : a) lim x + x log(x4 + x + ) b) lim x 0 x log(x) c) lim x + x log(x + x) log(x + ) d) lim x + log x Exercice 6 Monter que la composée de deux fonctions homographiques est homographique. Exercice 7 a) Représenter graphiquement la fonction homographique y = 3x 8 x 3. b) Montrer qu elle possède deux points fixes. Exercice 8 a) Montrer, en étudiant tan(x) autour de 0, que 0 x tan(x). b) Montrer, en étudiant sin(x) autour de 0, que 0 sin(x) x. b) En déduire que cos(x) < sin(x) x <. c) Appliquer le théorème des gendarmes pour trouver la limite de sin(x)/x en 0. Exercice 8 Déterminer la période des fonctions f(x) = cos(x), f(x) = sin(3x), f(x) = tan(4x). Exercice 9 En posant t = tan(x/), démontrer les formules suivantes, dites de l angle

22 moitié : cos(x) = t + t sin(x) = t + t tan(x) = t t Exercice 0 Démontrer la relation suivante pour tout x R + : arctan x + arctan x =