Les Fonctions. Les domaines de définitions : Les limites : Les asymptotes : 1 0 ; > 0 ; ) Formes indéterminées ; + ; 0

Transcription

1 Les Fonctions Les domaines de définitions : 0 ; > 0 ; 0 ; 0 0 > 0 ; 0 Les limites : ) Formes indéterminées ; 0 ; + ; 0 0 ) Formes déterminées = ; + ) ) = 0 ) Référence = 0 ; 0 = ) Limites à l ininie Factoriser le de plus haut degré. Exemple lim = lim = lim = lim 3 = + ) Limite en un chiffre Introduire ce chiffre dans le umérateur et le énominateur Si on a 0 on factorise le et le ain de simpliier la fonction puis on réintroduit le chiffre 0 Si on a 3 0 on recherche la limite à droite et à gauche du chiffre. Pour cela, s aider d un tableau de signe de Les asymptotes : ) symptote orizontale lim ) = 3 alors = 3 est l équation d une ) symptote erticale lim ) = alors = 3 est l équation d une ) symptote blique = + est l équation d une à la courbe au voisinage de + si lim ) + ) = 0 Utiliser la forme = + + dénominateur La position de la courbe par rapport à une droite est donnée par l étude du signe de courbe droite) Intersection d une courbe d équation avec : ) axe des abscisses ; résoudre = 0 ) axe des ordonnées ; remplacer dans l équation par 0 ) une droite d équation ; résoudre = Tangente en un point : = ) ) ou = ) ) + ) Centre de symétrie ; ) ) + + ) = Axe de symétrie = ) = + ) Fonction continue par définition : ; ; ln ; ; ) ) ) ) + h) ) Dérivabilité en un point x lim = lim = ou lim = h ) ) Si lim = alors ) admet une tangente verticale en Si une fonction est dérivable en, elle est continue en, la réciproque n étant pas obligatoirement vraie.

2 Une fonction admet en un point d abscisse une tangente parallèle à la droite Δ = + 3. Cela veut dire que ) = coeficient directeur = Si, en un point, la dérivée à gauche et à droite est différente, il y a un point anguleux avec deux demitangentes de coefficients directeurs les valeurs trouvées. détermine décrit/admet ; sur ) ; ) Une fonction une bijection de est/induit ; sur lim ; lim si dérivable et strict. croissante réalise Si est décroissante, alors il s agit d une bijection de ; dans lim Logarithme népérien et Exponentielle : ; lim Si ln = ln alors =,7 ln = ln = 0 ln = et = Le domaine de définition : L expression derrière le ln doit être > 0 ln > 0 Les calculs : ln ) = ln + ln ln = ln ln ln = ln La fonction est définie sur R = = ) = Les limites : lim ln = + ; lim ln = 0 lim lim ln = ; lim ln + ) lim lim ln = 0 lim = + ; lim = 0 = lim = 0 ln = 0 lim Les dérivées et les primitives : ln ) = et = + ; lim ln = + = 0 Pr = ln ) = et Pr ) = Les fonctions Log de base a : Les fonctions puissances : ln log = ln = =

3 Les Dérivées et les Intégrales Dérivées : 3) = 0 ) = ) = ) = ) = ) = + + ) = + = = Les différentes écritures : 3 = 3 ; = ; 3 = 3 ; = ; = Les primitives : Pr ) = + Pr ) = + Pr = Pr = ln Pr ) = Pr = Pr sin ) = cos Pr cos ) = sin Pr cos = Pr + tan ) = tan + Pr sin = Pr + tan + = tan + Méthode pour intégrer : ) Faire apparaître devant la fonction à primitiver de manière à utiliser Pr ) = + Exemple Pr3 ) = 3 Pr33 ) = 3 ) 3 ) + Cste = + Cste 3 4 ) ) Si on obtient alors il faut penser à utiliser Pr = ln 0 Exemple Pr = Pr ) ) = ) 0 ) Enin, s il est impossible d avoir ou, alors ntégration ar arties )) = )) ) ) donc la primitive est ln ou simplement = Le problème : trouver qui est et qui est ; pour cela, est toujours le ier rencontré suivant l ordre : «TEPLOUC» T : Trigonométrie ; E : Exponentielle ; P : Puissance ; LO : Logarithme Exemple : Pour ln cos ), on choisira ) = cos et ) = ln Problème d aire : L aire de la surface comprise entre deux courbes ) > ) est donnée par ) ) Les propriétés : constante ) = ) + = + + =

4 Les Suites SUITE ARITHMETIQUE = + SUITE GEOMETRIQUE = Raison : = Raison : = 3 Premier terme : = Premier terme : = Donner le terme général d une suite ou exprimer en fonction de ier terme : ier terme : ier terme : ier terme : = = = = = + = + = = = + = + = = = + = + ) = = ARITHMETIQUE Démontrer qu une suite est : GEOMETRIQUE = = ARITHMETIQUE Somme des termes d une suite : GEOMETRIQUE = terme + dernier terme nbr de terme = terme ARITHMETIQUE Limite d une suite : GEOMETRIQUE > 0 : suite divergente + > : suite divergente ± = 0 : suite convergente < < : suite convergente 0 < 0 : suite divergente < : suite divergente sans limite Sens de variation d une suite : Etude du signe de = Si > 0, la suite est croissante Si < 0, la suite est décroissante Si = 0, la suite est constante Raisonnement par Récurrence : ) Montrer que est vraie pour le ier terme. ) Supposons que est vraie pour le terme d un certain rang. Recopier l énoncé) 3) Démontrer qu alors est vraie pour le rang +.

5 Les Nombres Complexes Généralités : = ; ) est l image du nombre complexe d affixe = + Le conjugué de est = Egalité de deux nombres complexes : réel pur si : imaginaire pur si : = si Re = Re Im = Im Im = 0 Re = 0 Calculs dans C : = ; = ; + = + ; = Ecriture de sous formes géométriques : = module de = = = + = = argument de = arg = ; = cos sin = Les différentes écritures de : = + = cos + sin ) = = ; Formule de MOIVRE cos + sin ) = cos + sin Formules d EULER cos = + et sin = Soient, et les affixes respectives de, et. ; = arg = arg ) arg ) Soient et tels que = ; et = ;. = ) = ) = Les transformations : Rotation de centre Ω) et d angle : = ) ou = ) + Translation de vecteur d affixe : = + Homothétie de centre Ω) et de rapport : = ) ou = ) +

6 L Espace Coordonnées du milieu d un segment : + ; + ; + Produit scalaire :. = + + ;. = cos ; ) Distance entre deux points dans un repère : = =, ) = ) + ) + ) Vecteur normal à un plan : C est un vecteur orthogonal au plan. Soit un vecteur normal au plan d équation = 0. Alors : Distance d un point à un plan : Soit ; ; ) et soit le plan d équation = 0, ) = Déterminer l équation d un plan de vecteur normal et passant par :. = 0 Points coplanaires : Les points,, et sont coplanaires si il existe et tel que : = + Equation paramétrique d une droite dans l espace : = +.,, ) si il existe un réel tel que : = +. = +. où,, ) est un point de la droite et où est un vecteur directeur de Le barycentre : On appelle le barycentre du système, ) ;, ) ; ;, ) avec 0 le point tel que : = 0 Pour tout point de l espace : = et ; ;

7 La Trigonométrie cos + sin = cos + ) = cos cos sin sin cos ) = cos cos + sin sin sin + ) = sin cos + sin cos sin ) = sin cos sin cos tan + tan tan + ) = tan tan tan tan tan ) = + tan tan cos + ) + cos ) = cos cos cos + ) cos ) = sin sin sin + ) + sin ) = sin cos sin + ) sin ) = sin cos sin = sin cos + cos = cos cos = sin cos = cos sin sin = sin cos tan = tan tan cos 3 = 4 cos 3 cos sin 3 = 4 sin + 3 sin + cos cos = + tan = cos = + tan cos sin = + tan = sin = + cotan tan = ; cos = + ; sin = + cos = côté adjacent hypoténuse ; sin = côté opposé hypoténuse ; tan = sin cos ; cotan = tan Equations trigonométriques : cos = cos = + = + sin = sin = + = + tan = tan = + Pour résoudre les équations du type sin = cos : Transformer le sin en cos sin = cos puis résoudre cos = cos

8 Les Probabilités Remarques : 0 ; Ω) = ) = 0 ; = ) ; = OU = + ; = ET = Successivement (avec ordre) avec remise sans remise ) ) = ) + ) ) Tirage de éléments parmi Simultanément (sans ordre) ) + ) =!! )! Probabilités conditionnelles C est la probabilité de réalisation d un événement sachant qu un événement s est produit : ) ) ) = ) ) = ) ) ) ) ) Deux événements et sont indépendants si : ) = ) ) c'est-à-dire si : ) = ) Formule des probabilités totales Exemple : et forment une partition de Ω donc ) = ) + En général : Soient,,, des événements disjoints deux à deux dont la réunion est Ω, alors : ) = ) + ) + + ) Schéma de Bernoulli ou loi binomiale Une expérience est tenté fois de façon indépendante. On veut = réussites de l événement de probabilité. Alors : = ) = ) Espérance mathématique : ) = ) Le jeu est équitable si ) = 0, favorable si > 0 Variance : ) = ) ) Ecart-type : = ) Valeurs loi binomiale de paramètre et : ) = ; ) = )

9 Les Lois Continues La densité : On appelle densité de probabilité sur un intervalle une fonction satisfaisant aux conditions suivantes : continue et positive sur ; ) = Lois continues à densité : ; ) = ) Cas où = ; + et ) = ) Remarques : ; ) = ; ) = ; ) = ; ) = ) = 0 = ; + ) = ) = lim ) = ) Lois uniformes sur ; On appelle loi uniforme sur ; la loi continue de probabilité dont la densité est telle telle que ) = pour ; Conséquence : la probabilité d un intervalle ; ; est : ; ) = ) = = = Cas particulier : Si ; = 0 ;, la loi a pour densité = 0 = Et ) = 0) = et ) = Lois exponentielles de paramètre sur R (loi de durée de vie sans vieillissement) = Il s agit d une loi exponentielle de paramètre de densité ) = Conséquence : la probabilité d un intervalle ; est : 0 ; ) = ; ) = Et ) = lim = = = = = et ) = lim =