TP 7 : écriture en base deux et exponentiation rapide

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Véronique Fortin
il y a 6 ans
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1 TP 7 : écriture en base deux et exponentiation rapide 1 Ecriture en base deux On va écrire un algorithme itératif (boucle while) permettant d obtenir l écriture en base deux d un nombre entier n. Deux méthodes sont possibles. (M1) Des poids forts vers les poids faibles : Mettons qu on veuille savoir comment s écrit 54 en base deux. On commence par se demander entre quelles puissances de deux il est : ici 32 et 64. On sait alors quel est le premier chiffre (en partant de la gauche, celui qu on appelle le chiffre de poids fort) de son écriture en base deux : comme 32 = 2 5, 54 = (54 32) = On fait le même travail pour 22, etc. (M2) Des poids faibles vers les poids forts : L idée de départ est que si n = b r 2 r + +b 1 2+b 0 alors en particulier n = 2B + b 0 où B est un entier et b 0 {0, 1}. Donc b 0 est le reste de la division euclidienne de n par 2. Donc on sait calculer b 0, le dernier chiffre de l écriture de n en base 2 (le chiffre de poids le plus faible). On a bien sûr b 0 = si n est pair et b 0 = si n est impair. Pour 54 ce chiffre fait donc. On peut ensuite appliquer la même méthode au quotient B de cette division euclidienne. A partir de l écriture de départ, B = b r 2 r 1 + b b 1 et ceci permet d obtenir b 1 etc... Illustration sur un exemple : 24 = b 0 = 0, 12 = b 1 = 0, 6 = b 2 = 0, 3 = b 3 = 1, 1 = b 4 = 1. Question 1 : Implémenter un algorithme suivant la méthode (M2). On notera base2poidsfaibles la fonction correspondante, prenant un entier naturel n en argument, et renvoyant la liste [b r, b r 1,..., b 0 ] de ses chiffres en base deux (dans cet ordre!). Remarque : penser aux cas particuliers. Question 2 : Ecrire une fonction puissance2inf qui pour chaque entier n 1 renvoie le plus grand entier r tel que 2 r n et renvoie 0 si n = 0. Question 3 : En déduire l écriture d un algorithme suivant la méthode (M1) (plus compliquée). 2 L algorithme d exponentiation rapide Le but de cette algorithme est de calculer la puissance N-ième x N d un nombre x qui peut être un entier ou un flottant, avec un minimum d opérations. L intérêt de cet algo. ne se limite pas aux entiers. Si on l introduit ici, c est qu ensuite on l appliquera aussi dans les anneaux de congruences, où il est encore plus efficace, et qu on s en servira pour des problèmes d arithmétiques... a) L idée essentielle : Si N = a 0 + a a n 2 n, écriture en base deux, avec a i {0, 1} alors : x N = x a0 (x 2 ) a1... (x 2n ) an. Ensuite deux points de vue possibles, cela dépend si on connait déjà l écriture en base 2 de N ou pas. 1

2 b) 1ère méthode (des poids faibles vers les poids forts) En lisant le développement en base deux de droite à gauche si N = (a n... a 0 ) [2] : c est le plus souvent comme cela que l algorithme est présenté, car dans ce cas, on peut aussi obtenir les chiffres successifs du développement en base 2 à chaque étape par l algorithme des poids faibles déjà vu plus haut : pas besoin d avoir fait le calcul du dév. en base 2 avant! Pour mettre en oeuvre l algorithme on utilise trois variables qu on va appeler res et aux comme résultat et auxiliaire et la variable N qui au départ contient comme valeur l exposant N et qui va permettre à chaque étape de calculer le chiffre du développement en base 2 de N. De manière pas complètement formelle, à l étape i : On stocke dans aux la valeur de x 2i, obtenue comme carré de x 2i 1 obtenu à l étape précédente. En même temps, on divise à chaque étape N par 2 pour connaître le i-ème chiffre a i de son écriture en base 2. i.e. on itère N =N//2. Le a i est le reste de la division euclidienne de N par 2. Enfin toujours à l étape i, si a i = 1, on multiplie res par x 2i c est-à-dire la valeur de aux à l étape i, sinon on ne change pas res. Exercice à faire : implémenter cette idée d algorithme en Python. Rappel l algo. de dév. en base deux des poids faibles vers les poids forts illustré sur un exple : 24 = a 0 = 0, 12 = a 1 = 0, 6 = a 2 = 0, 3 = a 3 = 1, 1 = a 4 = 1. c) 2ème méthode (des poids forts vers les poids faibles) En lisant l écriture en base 2 de gauche à droite : cette méthode évite l utilisation d une variable auxiliaire, mais nécessite d avoir calculé le développement en base 2 de N : ce qui n est pas un gros problème pratique en Python, mais jouerait sur les questions de coût. L idée astucieuse, qui est utile dans d autres contextes (algorithme de Hörner), est d écrire : x N = ((... (x an ) 2 x an 1 ) 2... )x a1 ) 2 x a0 Par exemple avec 24 qui s écrit en base 2 : x 24 = (((x) 2.x) 2 ) 2 ) 2 ). On lit donc l écriture en base 2 de N de gauche à droite, on part de res:= 1 et à chaque étape s il y a un 1 dans le développement de N en base 2 on remplace res par (res*res)*x, sinon on prend juste le carré i.e. on remplace res par (res*res). Exercice à faire : implémenter cette idée d algorithme en Python d) Montrer que si N s écrit avec n+1 chiffres en base 2, alors cet algorithme permet de calculer x N avec au plus 2n multiplications. e) Comparer la vitesse de vos fonctions avec celle de la fonction pow(x,n) de Python qui utilise ce même algorithme d exponentiation rapide. 2

3 Solutions pour le TP 7 : écriture en base deux 1 Ecriture en base deux Question 1 : Bien comprendre comment on fabrique la boucle : à chaque étape, on prend le reste de la division euclidienne de n par 2, qu on doit stocker dans une liste, et on remplace n par n//2. Une fois qu on a compris cela, on a compris la boucle en régime de croisière, il ne reste plus qu à initialiser et mettre la condition d arrêt. ## Ecriture Base 2 en commençant par les poids faibles def base2_poids_faible(n): liste=[] liste=[0] # Cas à mettre à part car n entre pas dans la boucle qui suit else : while (n>0): a=n%2 liste=[a]+liste # du bon c^oté... n=n//2 # quotient de la div. eucl. return liste Question 2 : Ce que j ai vu en général ressemblait à : def puissance2inf1(n): while 2**i <n: i+=1 if 2**i==n: return i else : return i-1 Ce code illustre bien la différence entre ce qui se passe si notre nombre est pile une puissance de 2 ou pas. Mais on peut éviter les deux cas à la fin, avec un test 2**i<=n plus malin (beaucoup vu aussi) : def puissance2inf2(n): while 2**i <=n: i+=1 return i-1 # rattrapage final... Informatiquement, les deux codes précédents ont un gros défaut : le calcul de 2**i à chaque étape. Il est préférable de créer un accumulateur qui est multiplié par 2 à chaque étape. C est ce qu on fait dans la v.3 ci-dessous. 3

4 def puissance2inf3(n): acc=1 while acc <=n: i=i+1 acc=2*acc return i-1 On peut aussi penser le problème en sens inverse. def puissance2inf4(n): r=0 while n>1: r = r+1 n = n//2 return r Question : Expliquer pourquoi ce quatrième script donne aussi le bon résultat. 4

5 Question 3 : def poids_fort(n): #création d une liste auxiliaire avec la bonne longueur liste=[0] r=puissance2inf(n) liste=[1]+[0]*r l=r+1 # la longueur de la liste # on a créé une liste du bon format, on va continuer à la remplir n=n-2**r # while n!=0: r=puissance2inf(n) liste[l-1-r]=1 n=n-2**r return liste Remarque : L algo. des poids forts, au départ plus intuitif pour un humain est : plus difficile à programmer, et surtout plus lent (facteur 5 pour un test avec time). On peut bien sûr essayer de l optimiser un peu. Par exemple le n=n-2**r est très mauvais : on recalcule 2**r. Pour éviter cela, on pourrait modifier puissance2inf pour lui faire renvoyer non seulement l exposant r, mais la valeur de 2 r, puisque il est facile de la faire calculer à moindre coût par cette fonction : inutile de la calculer deux fois. Mais même ainsi l algo. reste plus lent. La division euclidienne est une arme très efficace! 5

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