loi de probabilité à densité

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1 loi de probabilité à densité Table des matières 1 loi de probabilité à densité activités activité 1 : (loi à densité sur un intervalle) corrigés activités corrigé activité 1 : (loi à densité sur un intervalle) à retenir exercices corrigés exercices loi uniforme activité activité 1 : (loi uniforme sur un intervalle) activité 2 : (loi uniforme sur un intervalle) corrigés activités corrigé activité 1 : (loi uniforme sur un intervalle) à retenir exercices loi mormale activités Activité 1 : loi normale centrée réduite : N(;1) Activité 2 : une loi normale, non centrée non réduite : N(m;σ) Activité 3 : programme calculatrice et loi normale à retenir exercices évaluations évaluation corrigé évaluation

2 1 loi de probabilité à densité 1.1 activités

3 1.1.1 activité 1 : (loi à densité sur un intervalle) Un responsable de station service reçoit de quatre fournisseurs de carburant des informations concernant les heures possibles de livraison C fa heure C fb heure.15 C fc.15 C fd heure Fournisseur A : f A (x) = 1 pour x [2;1] et sinon ( densité de Loi Uniforme) 8 Fournisseur B : f B (x) =,2x,24 pour x [12;22] et sinon ( densité de Loi affine) Fournisseur C : f C (x) = x x pour x [12;2] et sinon ( densité de Loi Polynomiale de degré 2) 8 16 D : f D (x) = π e 2 (x 8 ) 3 2 ; x ] ;+ [ ( densité de Loi Normale de moyenne = 8 et d écart type σ = 3) Principe : Soit X une "variable aléatoire" dont la "loi de probabilité" est définie par une "fonction de densité de { probabilité" f ( f définie sur un intervalle I) Quels que soient les réels a < b dans I, p(a X b) = aire sous la courbe de f entre a et b 1. Soit X l heure de livraison (pour chaque question, on suppose que la loi de probabilité de X est donnée par le principe précédent) (a) Fournisseur A heure i. déterminer la probabilité p(6 X 1) que le fournisseur A passe entre 6h et 1h (3 méthodes) ii. calculer les probabilités qu il passe exactement à 1h, exactement à 6h puis p(6 < X < 1) iii. calculer la probabilité qu il passe avant midi (b) Fournisseur B i. vérifier que p(12 X 22) = 1 et interpréter le résultat ii. déterminer la probabilité qu il passe après 17h (c) Fournisseur C i. est-il du matin? donner le plus petit intervalle I tel que p(x I) = 1 (justifier) ii. sans calcul, estimer les probabilités p(x > 16),p(X 16) puis vérifier par calcul pourp(x 16) (d) Fournisseur D i. est-il du matin? (justifier) ii. estimer puis déterminer (à la calculatrice) les probabilités suivantes puis interpréter A. p(x [5;11]) B. p(x [2;14])

4 1.2 corrigés activités

5 1.2.1 corrigé activité 1 : (loi à densité sur un intervalle) Un responsable de station service reçoit de quatre fournisseurs de carburant des informations concernant les heures possibles de livraison.2.15 C fa Soit X l heure de livraison (a) Fournisseur A i. méthode 1 : Graphiquement : heure p(6 X 1) = aire sous la courbe entre 6 et 1 p(6 X 1) = aire du rectangle hachuré p(6 X 1) = longueur largeur p(6 X 1) = (1 6) 1 8 = =,5 méthode 2 : Algébriquement : p(6 X 1) = aire sous la courbe entre 6 et 1 p(6 X 1) = p(6 X 1) = p(6 X 1) = [ 1 8 x]1 6 6 f A (x)dx 1 8 dx p(6 X 1) = = 4 8 =,5 méthode 3 : Numériquement : (programme calculatrice) p(6 X 1) = aire sous la courbe entre 6 et 1 1 p(6 X 1) = f A (x)dx 6 p(6 X 1) =,5 1 f A (x)dx = F A (1) F A (1) = 1 de même, la probabilités qu il passe exactement à 1h exactement à 6h = ii. probabilités qu il passe exactement à 1h = p(x = 1) = p(6 < X < 1) = p(6 X 1) p(x = 1) p(x = 6) = p(6 X 1) p(6 < X < 1) = p(6 X 1) iii. probabilité qu il passe avant midi = p(x 12) = (1 2) 1 8 = 1

6 (b) Fournisseur B.15 C fb i. méthode 1 : Graphiquement : heure p(12 X 22) = aire sous la courbe entre 12 et 22 p(12 X 22) = aire du triangle base hauteur p(12 X 22) = = (22 12),2 2 2 Le livreur B passe à coup sur entre 12h et 22h = 1 méthode 2 : Algébriquement : p(12 X 22) = aire sous la courbe entre 12 et 22 p(12 X 22) = p(12 X 22) = f B (x)dx (,2x,25)dx p(12 X 22) = [,1x 2,25x] p(12 X 22) = (,1 22 2,25 22) (,1 12 2,25 12) p(12 X 22) =,44 (,144) p(12 X 22) = 1 ii. probabilité qu il passe après 17h méthode 2 : Algébriquement : p(x 17) = p(12 X 22) = aire sous la courbe entre 17 et 22 p(x 17) = p(x 17) = f B (x)dx (,2x,25)dx p(x 17) = [,1x 2,25x] p(x 17) = (,1 22 2,25 22) (,1 17 2,25 17) p(x 17) =,75

7 (c) Fournisseur C.15 C fc i. il n est pas du matin car p(x [12;2]) = 1 heure méthode 2 : Algébriquement : p(12 X 2) = aire sous la courbe entre 12 et 2 p(12 X 2) = p(12 X 2) = f C (x)dx ( x x )dx p(12 X 2) = [ x x x]2 12 p(12 X 2) = ( ) ( ) p(12 X 2) = 1 ii. sans calcul, par symétrie de la courbe, on estime que p(x > 16) = p(x 16) =,5 méthode 2 : Algébriquement : p(12 X 16) = aire sous la courbe entre 12 et 2 p(12 X 16) = p(12 X 16) = f C (x)dx ( x x )dx p(12 X 16) = [ x x x]2 12 p(12 X 16) = ( ) ( ) p(12 X 16) =,5

8 (d) Fournisseur D.15 C fd.1.5 heure i. il est du matin car p(x 12), 9 (graphiquement) ii. estimer puis déterminer (à la calculatrice) les probabilités suivantes puis interpréter A. p(x [5;11]),7 (graphiquement) méthode 3 : Numériquement : (programme calculatrice) p(5 X 11) = aire sous la courbe entre 5 et p(5 X 11) = f D (x)dx 5 p(5 X 11) =,68 B. p(x [2;14]),9 (graphiquement) méthode 3 : Numériquement : (programme calculatrice) p(2 X 14) = aire sous la courbe entre 2 et p(2 X 14) = f D (x)dx 2 p(2 X 14) =,95

9 1.3 à retenir définition 1 : (variable aléatoire continue et loi de probabilité à densité ) la variable aléatoire X est "continue" et a pour "loi de probabilité à densité" la fonction f définie sur I R si et seulement si Aire = 1 UA C f (1) f(x) quel que soit x I (f est positive sur I) (2) l aire sous la courbe de f vaut 1 pour x I Aire = p(c X d) C f quels que soient les réels c d appartenant à I (3) p(c X d) = aire sous la courbe de f entre c et d a b x a c d b x Remarques : i. pour une fonction f continue sur I, on a : p(c X d) = f(x)dx = F(d) F(c) c ii. p(c X c) = p(x = c) = pour tout c I iii. p(c X d) = p(x = c)+p(c < X < d)+p(x = d) = +p(c < X < d)+ = p(c < X < d) soit : p(c X d) = p(c < X < d) ( < et donnent la même valeur de probabilité ) définition 2 : (espérance d une variable aléatoire continue) Soit la variable aléatoire X de "loi de probabilité à densité" la fonction f définie et continue sur [a; b] R Le nombre noté E(X) et appelé l espérance de X est tel que : E(X) = Remarque : i. E(X) est aussi appelé "valeur moyenne" de X d b xf(x)dx a 1.4 exercices exercice 1 : La durée de vie d une marque d ampoules en centaines d heures est modélisée par la variable aléatoire X où X a pour densité de probabilité f(x) =,5e,5x pour x 1. justifier que f est positive pour x > 2. montrer que pour tout a >, x > vaut 1 a f(x)dx = 1 e,5a et en déduire que l aire sous la courbe de f pour 3. calculer la probabilité que la durée de vie d une ampoule de la marque précédente soit de moins de 4 centaines d heures 4. en déduire la probabilité que la durée de vie d une ampoule de la marque précédente soit d au moins 4 centaines d heures 5. déterminer la plus petite durée α à 1 heure près, telle qu une ampoule ait une chance sur 2 de durer moins de α heures exercice 2 : La durée de l arrêt du bus à la station "Euler" (en minutes) est modélisée par la variable aléatoire T où T a pour densité de probabilité f(t) = 1 pour t [1;e] t 1. vérifier que f est positive et que l intégrale vaut 1 sur [1;e] 2. calculer la probabilité que l arrêt soit compris entre 1 et 2 minutes 3. déterminer la plus petite durée α à,1 minute près, telle qu un arrêt ait une chance sur 2 de durer moins de α minutes 4. calculer la durée moyenne d un arrêt à 1 seconde près

10 1.5 corrigés exercices corrigé exercice 1 : 1. {,5 > e,5x > en tant qu exponentiel donc,5e,5x > donc f(x) > pour tout x > 2. a f(x)dx = a (,5e,5x )dx = [,5 1,5 e,5x ] a = [ e,5x ] a = ( e,5a ) ( e,5 ) = 1 e,5a aire sous la courbe de f pour x > = lim a (1 e,5a ) = 1 e,5 (+ ) = 1 e = 1 = 1 3. p(x < 4) = p( < X < 4) = 4 4. p(x > 4) = 1 p(x < 4) 1,865,135 f(x)dx = 1 e,5 4 = 1 e 2, on cherche la plus petit valeur de α telle que p(x < α) =,5 p( < X < α) =,5 1 e,5a =,5 1,5 = e,5a,5 = e,5a ln(,5) =,5a ln(,5),5 = a a 1,39 soit 139 heures

11 corrigé exercice 2 : 1. pour t [1;e], f(t) = 1 t est positif e 1 f(x)dx = e 1 ( 1 x )dx = [lnx]e 1 = lne ln1 = 1 = 1 2. p(1 < T < 2) = 2 1 f(x)dx = [lnx] 2 1 = ln2 ln1 = ln2,69 3. on cherche la plus petit valeur de α telle que p(x < α) =,5 p(1 < X < α) =,5 [lnx] a 1 = lna =,5 a = e,5 1,65 4. durée moyenne d un arrêt à 1 seconde près = E[X] = e 1 1,718 minutes e 1 xf(x)dx = e 1 x 1 e x dx = 1dx = [x] e 1 = 1

12 2 loi uniforme 2.1 activité

13 2.1.1 activité 1 : (loi uniforme sur un intervalle) 1. Quatre choix de garages son possibles pour la réparation d une voiture. Les durées de réparations sont décrites ci dessous : Garage A : entre 1h et 5h Garage B : entre 4h et 5h Garage C : entre 3h et 8h Garage D : entre 1h et 8h Pour chacun des garages on considère que la durée de réparation X en heures suit une loi uniforme sur l intervalle donné (a) représenter la loi de densité de X dans des repères pour chacun des garages et donner la formule de cette fonction (f A (x),f B (x),...) (b) calculer les probabilités p(x 4) et p(x < 4) pour chacun des garages (c) dans quel garage est-il le plus probable que la durée de la réparation dure moins de 4h? (d) si X suit une loi uniforme sur [a;b], montrer que la valeur moyenne de X est E[X] = a+b 2 en déduire E[X] pour chacun des garages et interpréter la valeur la plus petite (e) on souhaite que la réparation dure entre 2h et 3,5h, dans quel garage est-il le plus probable que cela soit le cas? (justifier) (f) si X suit une loi uniforme sur [a;b], exprimer en fonction de a,b,c et d de la probabilité p(c < X < d) où [c;d] est inclu dans [a;b]

14 2.1.2 activité 2 : (loi uniforme sur un intervalle) Une personne attend la livraison d un article commandé sur internet. Le livreur passe toulours entre 1h et 15h et la variable aléatoire égale à l heure de livraison est notée X où X [1;15].2 C f sans intégrale heure (a) on suppose que chacune des heures entre 1h et 15h ([1; 11[,[11; 12[,[12; 13[,[13; 14[,[14; 15] ) a la même probabilité "de voir" le livreur passer. i. déterminer (en justifiant), la probabilité que le livreur passe dans l intervalle [1;11[ cette probabilité est notée p(1 X < 11) ou encore p(x [1; 11[) ii. en terme d aire, comment représenter la probabilité précédente sur le graphique? (la colorier ci contre) iii. donner le valeur de p(x [1; 15]) et interpréter le résultat iv. représenter sur le graphique, déterminer la valeur de p(13 X 15) et interpréter le résultat v. on cherche la probabilité que a livraison arrive entre 11h3 et 12h15, en raisonnant "avec les aires" déterminer la valeur suivante et conclure p(11, 5 X 12, 25) vi. en raisonnant "avec les aires", donner les valeur respectives de : p(x = 1), p(x = 11) et p(x = 12,15), quelle est la probabilité d une valeur isolée? vii. en raisonnant "avec les aires" donner deux notations (avec inégalités puis avec intervalles) ainsi que la valeur de la probabilité que le livreur passe "avant 11h ou après 13h" viii. déterminer l intervalle centré en 12 dont la probabilité est de 5% et interpréter le résultat cela revient à trouver la valeur de t pour que p(x [12 t;12+t]) =,5 2. avec intégrale (a) retrouver les trois derniers résultats précédents à l aide de calculs d intégrales (b) intuitivement, quelle devrait être l heure moyenne d une livraison avec ce livreur? (c) calculer E(X) = 15 1 xf(x)dx où f(x) =, 2 et comparer au résultat précédent 3. si le livreur passe toujours entre 8h et 18h, représenter ci dessous la courbe de la fonction f qui permettrait de déterminer les probabilités d intervalles et donner la formule de f (appelée "densité de probabilité") (a) calculer p(12 < X < 15) 4. si le livreur passe toujours entre a heure et b heure, quelle est alors la formule de f? on définit ainsi une loi... sur l intervalle... heure

15 2.2 corrigés activités

16 2.2.1 corrigé activité 1 : (loi uniforme sur un intervalle) 1. Quatre choix de garages son possibles pour la réparation d une voiture. Les durées de réparations sont décrites ci dessous : Garage A : entre 1h et 5h Garage B : entre 4h et 5h Garage C : entre 3h et 8h Garage D : entre 1h et 8h (a) C fb C fa.3 C fc C fd.1 heure.1 heure.1 heure.1 heure f A (x) = = 1 4 =,25 f B (x) = = 1 1 = f C (x) = = 1 5 =,2 f D (x) = = 1 7 (b) p(x 4) et p(x < 4) pour chacun des garages i. garage A : p(x 4) = aire sous la courbe entre 4 et 5 = hauteur largeur = (5 4) = 1 4 =,25 p(x < 4) = 1 p(x 4) = 1,25 =,75 ii. garage B : p(x 4) = aire sous la courbe entre 4 et 5 = hauteur largeur = (5 4) = 1 1 = 1 p(x < 4) = 1 p(x 4) = 1 1 = iii. garage C : p(x 4) = aire sous la courbe entre 4 et 8 = hauteur largeur = (8 4) = 4 5 =,8 p(x < 4) = 1 p(x 4) = 1,8 =,2 iv. garage D : p(x 4) = aire sous la courbe entre 4 et 8 = hauteur largeur = (8 4) = 4 7,57 p(x < 4) = 1 p(x 4) = = 3 7,43 (c) il est le plus probable que la durée de la réparation dure moins de 4h dans le garage A avec une probabilité de 75%

17 (d) si X suit une loi uniforme sur [a;b] b b E[X] = xf(x)dx = x 1 dx = [x2 a a b a 2 1 b a ]b a = (b2 2 1 b a ) (a2 2 1 b a ) E[X] = b2 a 2 2(b a) = (b a)(b+a) = a+b 2(b a) 2 i. garage A : E[X] = a+b = ii. garage B : E[X] = a+b = iii. garage C : E[X] = a+b = iv. garage D : E[X] = a+b = (e) i. garage A : = 3 heures = 4,5 heures = 5,5 heures = 4,5 heures p(2 < X < 3,5) = aire sous la courbe entre 2 et 3,5 = 1 1,5 (3,5 2) = =,375 ii. garage B : p(2 < X < 3,5)) = aire sous la courbe entre 2 et 3,5 = = iii. garage C : p(2 < X < 3,5)) = aire sous la courbe entre 2 et 3,5 = 1,5 (3,5 3) = =,1 iv. garage D : p(2 < X < 3,5)) = aire sous la courbe entre 2 et 3,5 = 1 1,5 (3,5 2) = 8 1 7,21 c est donc dans le garage A avec une probabilité de 37,5% (f) si X suit une loi uniforme sur [a;b], exprimer en fonction de a,b,c et d de la probabilité p(c < X < d) où [c;d] est inclu dans [a;b] p(c < X < d) = 1 d c (d c) = b a b a

18 2.3 à retenir définition 3 : (loi de densité d une loi uniforme) Soit la variable aléatoire X à valeurs dans l intervalle [a;b] où a < b sont deux réels. X suit une loi uniforme sur l intervalle [a;b] équivaut à la loi de densité de X est f(x) = 1 sur [a;b] b a a f(x) = 1 b a b x propriété 1 : (probabilité et loi uniforme) Si X suit une loi uniforme sur [a;b] alors quels que soient les réels c d appartenant à [a;b] p(c X d) = d c = (d c) 1 b a b a a c f(x) = 1 b a d b x propriété 2 : (Espérance et loi uniforme) Si la variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [a;b] Alors E[X] = a+b exercices exercice 3 : Une personne P prend consécutivement le bus puis le tram Sur les lignes que prend P, un bus passe toute les 15 mn et un tram passe toute les 2mn On suppose que pour le bus, le temps d attente X en minutes suit une loi uniforme sur [;15], alors que pour le tram, le temps d attente Y en minutes suit une loi uniforme sur [;2] 1. quelle est la probabilité que P attende le bus moins de 5mn 2. quelle est la probabilité que P attende le tram moins de 5mn 3. on suppose que les temps d attentes sont indépendants, quelle est la probabilité que P attende le bus et le tram moins de 5 mn 4. quelle est la probabilité que P attende le tram moins de 5 mn sachant qu il a attendu le bus moins de 5mn 5. calculer les temps moyens d attentes du bus et du tram exercice 4 : Un distributeur automatique de café rempli chacun des gobelets de X ml de café où X suit une loi uniforme sur [1;14] 1. quelle est la probabilité d obtenir au moins 125 ml de café? 2. quelle est la contenance moyenne? 3. on considère avoir été "volé" si on obtient moins de 11 ml avec quelle probabilité cela arrive t-il? 4. le gobelet est "correct" s il contient entre 11 et 125 ml quelle est la probabilité d obtenir un gobelet "correct"?

19 3 loi mormale 3.1 activités

20 3.1.1 Activité 1 : loi normale centrée réduite : N(;1) La température T dans une certaine chambre froide est réglée à degré. la température réelle est supposée suivre une loi normale centrée de moyenne m = et réduite d écart type σ = 1 La densité de probabilité de T est alors f(x) = 1 2π e 1 2 x2 pour x R C f quel élément de symétrie cette courbe admet-elle? 2. quelles sont les températures possibles dans la chambre froide? 3. quelle est la température la plus probable? où doit-être centré un intervalle pour avoir la plus grande probabilité? 4. que dire pour les intervalles de "températures extrêmes"? 5. déterminer éventuellement à la calculatrice (au centième) les probabilités suivantes et comparer aux résultats estimés graphiquement (a) p(t ] ;+ [) sans aucun calcul (b) p(t ) et p(t ) sans aucun calcul (c) p( 1 T 1) (d) p( 2 T 2) (e) p( 3 T 3) 6. comparer p(t 1) et p(t 1) et donner une valeur approchée à,1 près 7. quel est le lien entre p(t a) et p(t a) où a R 8. (a) exprimer p(t a) en fonction de p(t ) et p( T a) (b) en déduire que p(t a) =,5 p( T a) (c) en déduire p(t 2) à,1 près (à la calculatrice) 9. en procédant comme précédemment, déterminer p(t 1) à,1 près (à la calculatrice)

21 3.1.2 Activité 2 : une loi normale, non centrée non réduite : N(m;σ) la répartition des notes à un examen est approximée par la courbe en cloche caractéristique d une loi normale ci dessous. On a déterminé qu une loi normale de moyenne m = 1 et d écart type σ = 3 convenait note On dit que la note l examen est relativement bien approchée par une variable aléatoire X où X suit une loi normale N(1 ; 3). La fonction de répartition de X est alors f(x) = π e 2 (x 1 ) 3 2 pour x R 1. donner un élément de symétrie de la courbe 2. donner sans aucun calcul p(x < 1) et p(x > 1) 3. déterminer à la calculatrice (au centième) les probabilités suivantes et comparer aux résultats estimés graphiquement (a) p(7 T 13) (b) p(4 T 16) (c) p(1 T 19) 4. comparer p(t 12) et p(t 8) et donner une valeur approchée à,1 près

22 3.1.3 Activité 3 : programme calculatrice et loi normale Pour la fonction f telle que f(x) = 1 1 σ 2π e 2 (x m ) σ 2 pour x R qui correspond à la loi de densité de la loi normale N(m;σ) de moyenne m R et d écart type σ > On veut obtenir une la valeur approchée de : p(a X b) = quand on entre les valeurs de m et σ ainsi que a et b algorithme et programmes : 1. recopier un des programmes suivants dans votre calculatrice b a f(x)dx algorithme Début //Variables a,b,n, larg, inf, sup, L, x, i, fi, fj, I //Entrées demander à l utilisateur la valeur de m demander à l utilisateur la valeur de s demander à l utilisateur la valeur de a demander à l utilisateur la valeur de b demander à l utilisateur la valeur de n //Initialisations affecter à larg la valeur (b-a)/n affecter à inf la valeur affecter à sup la valeur affecter à i la valeur //Traitements TANS QUE i < n FAIRE affecter à x la valeur a + i*larg 1 1 affecter à fi la valeur σ 2π e 2 (x m σ affecter à inf la valeur inf + fi affecter à x la valeur a + (i+1)*larg 1 1 affecter à fj la valeur σ 2π e 2 (x m σ affecter à sup la valeur sup + fj affecter à i la valeur i+1 fin TANS QUE affecter à inf la valeur L * inf affecter à sup la valeur L * sup affecter à I la valeur (inf+sup)/2 //Sortie afficher inf afficher sup afficher I Fin ) 2 ) 2 programme pour TI disp "MOY" input M disp "SIG" input G disp "A" input A disp "B" input B disp "N" input N (B-A)/N L F S I While I < N A+I*L X F+1/(G (2 π)) e (.5 ((X M)/G) 2) F A+(I+1)*L X S+1/(G (2 π)) e (.5 ((X M)/G) 2) S I+1 I End F*L F S*L S (F+S)/2 T Disp F Disp S Disp T

23 programme pour Casio "MOY" :? M "SIG" :? G "A" :? A "B" :? B "N" :? N (B-A)/N L F S I While I < N A+I*L X F + 1/(G (2 π)) e (.5 ((X M)/G) 2) F A+(I+1)*L X S + 1/(G (2 π)) e (.5 ((X M)/G) 2) S I+1 I WhileEnd F*L F S*L S (F+S)/2 T F S T 2. utiliser le programme de la calculatrice pour trouver une valeur approchée des probabilités suivantes à,1 près (a) X suit une loi N(1; 3) i. p(7 T 13) ii. p(t 1) iii. p(t 18) (b) X suit une loi N(1; 1) i. p(9 T 11) ii. p(8 T 12) iii. p(7 T 13) iv. p(t 5) v. p(t 15)

24 3.2 à retenir définition 4 : la loi N( ;1) de moyenne m = et d écart type σ = 1 est appelée loi normale centrée réduite Sa courbe est celle de f avec f(x) = 1 2π e x2 2 où x R. C f est symétrique par rapport à l axe des ordonnées p(x t) X t propriété 3 : (admise) par symétrie de la courbe de la loi normale N( ;1), on a les égalités suivantes pour t > : (1) p(x ) = p(x ) =,5 (2) p(x t) = 1 p(x t) p(x t) 1 p(x t) X t (3) p(x t) = p(x t) = 1 p(x t) p(x t) 1 p(x t) (4) p( 1 X 1),69 69% X (4) p( 1,96 X 1,96),95 95% t t (5) p( 2 X 2),95 95% X (6) p( 3 X 3),99 99% 68% σ σ 95% % 3 3 définition 5 : la loi N(m ;σ) de moyenne m et d écart type σ est appelée loi normale de moyenne m et d écart type σ Sa courbe est celle de f avec f(x) = 1 1 σ 2π e 2 (x m ) σ 2 où x R. C f est symétrique par rapport à la droite verticale d équation x = m p(x t) X m t

25 propriété 4 : (admise) par symétrie de la courbe de la loi normale N(m ;σ), on a les égalités suivantes pour t > : (1) p(x m) = p(x m) =,5 (2) p(x t) = 1 p(x t) p(x t) 1 p(x t) X t (3) p(x m t) = p(x m+t) = 1 p(x m+t) p(x m t) 1 p(x m+t) (4) p(m σ X m+σ),69 69% X m t m m+t (4) p(m 1,96σ X m+1,96σ),95 95% (5) p(m 2σ X m+2σ),95 95% m X (6) p(m 3σ X m+3σ),99 99% 68% m σ m+σ 95% m 2σ m+2σ 99% m 3σ m+3σ 3.3 exercices exercice 5 : la variable aléatoire X suit une loi N(;1) 1. donner sans aucun calculs (a) p( 2 X 2) (b) p( 3 X 3) (c) p( 1 X 1) 2. donner grace à la calculatrice (a) p(x 1,25) (b) p(x,5) (c) p( 1,5 X 1,5) exercice 6 : la variable aléatoire X suit une loi N(2;15) 1. donner sans aucun calculs (a) p(17 X 23) (b) p(185 X 215) (c) p(155 X 245) 2. donner grâce à la calculatrice (a) p(x 26) (b) p(x 14) (c) p(16 X 21)

26 exercice 7 : La durée de charge d une batterie X suit une loi normale d espérance 1h et d écart type 2h. 1. quelle est la probabilité que cette batterie ait une durée de charge : (a) supérieure à 15h? (b) inférieure à 15h? (c) comprise entre 8h et 12h? (d) comprise entre 9h et 13h? 2. sachant que la batterie fonctionne de puis 12h, quelle est la probabilité qu elle fonctionne encore pendant au moins 3h? 3. déterminer a à,1 tel que p(1 a X 1+a) =,99 4. déterminer a à,1 près tel que p(x a) =,99

27 4 évaluations 4.1 évaluation 1

28 nom :... évaluation : loi à densité voici des informations concernant le délais de livraison X en heures pour 3 livreurs à domicile les courbes ci dessous sont les fonctions de densité de loi de probabilité de X pour chacun des livreurs C fa heure C fb heure.75 C fc heure 1. Livreur A (a) étant donnée la courbe C fa, préciser au maximum la loi de probabilité suivie par X pour le livreur A ( X suit une loi... ) et donner la formule de la fonction de densité (f A (x) =... pour x...) (b) déterminer la probabilité d être livré en moins de 7h avec ce livreur (c) quelle est la probabilité d être livré en plus de 7h avec ce livreur? (d) Calculer E(X) et interpréter le résultat 2. Livreur B sachant que la fonction de densité de probabilité est f B (x) =,2x,4 pour le livreur B (a) déterminer p(x 7) graphiquement (b) retrouver le résultat précédent par calcul (c) interpréter le résultat précédent dans le contexte 3. Livreur C sachant que X suit une loi normale N(1;4) pour le livreur C (a) préciser les valeurs de m et σ (b) déterminer p(x 1) sans calcul (c) déterminer p(6 X 14) sans calcul (d) déterminer p(7 X 15) à 1% avec la calculatrice (e) déterminer p(x < 7) à 1% avec la calculatrice 4. avec quel livreur a t-on le plus de chances d être livré en moins de 7h? (justifier) 5. un autre livreur D est tel que X suit une loi uniforme sur [4,24] calculer p(x < 7) à 1% près et le comparer aux précédents

29 4.2 corrigé évaluation 1

30 Exercice 1 : corrigé évaluation : loi à densité 1. Livreur A (a) X suit une loi uniforme avec f A (x) = 1 =,1 pour x [6;16] 16 6 (b) probabilité d être livré en moins de 7h = p(x 7) = p(6 X 7) = 7 6 =,1 = 1% 16 6 (c) probabilité d être livré en plus de 7h avec ce livreur = p(x 7) = 1 p(x 7) = 1,1 =,9 (d) E(X) = 6+16 = 11 soit 11h d attente en moyenne 2 2. Livreur B sachant que la fonction de densité de probabilité est f B (x) =,2x,4 pour le livreur B (a) p(x 7) = aire sous la courbe entre 2 et 7 = aire d un triangle = (7 2),1 =,25 = 25% 2 (b) résultat précédent par calcul : 7 p(x 7) = p(2 X 7) = f(x)dx 2 7 p(x 7) = (,2x,4)dx = [,1x 2,4x] 7 2 = (,1 72,4 7) (,1 2 2,4 2) 2 p(x 7) =,25 (c) le résultat précédent dans le contexte signifie que : avec le livreur B on a 25% de chances d être livré en moins de 7 heures 3. Livreur C sachant que X suit une loi normale N(1;4) pour le livreur C (a) m = 1 et σ = 4 (b) p(x 1) =,5 par symétrie (c) p(6 X 14) = p(m σ X m+σ) =,68 (d) p(7 X 15) 67% à 1% avec la calculatrice (e) déterminer p(x < 7) =,5 p(7 X 1),5, % à 1% avec la calculatrice 4. c est avec le livreur B que l on a le plus de chances d être livré en moins de 7h avec 25% 5. livreur D : p(x < 7) = = 3 2 = 15% D se place donc entre A (1%) et C (23%) Exercice 2 : (7 page 224) (a) si la pièce est équilibrée : p(pile) =,5 (b) intervalle de fluctuation asymptotique : n = 1 p = 6 1 =,6,6 (1,6),6 (1,6) I = [,6 1,96 ;,6+1,96 ] 1 1 I = [ 5,4%;69,6%] (c) 5% / [ 5,4%;69,6%] donc on rejette l hypothèse avec un risque de 5%

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