Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en. Chaudronnerie Industrielle

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1 Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle Chapitre 1 Fonctions de référence...2 I Fonctions affines...2 a) Signe d'une fonction affine...2 II Fonction racine carrée...3 a) Sens de variation...3 b) Représentation graphique...3 III Fonctions polynômes de degré a) Définition...4 b) Tableau récapitulatif des trinômes de degré Chapitre 2 Dérivation...6 I Nombre dérivé et tangente...6 a) Nombre dérivé d'une fonction en un réel...6 b) Tangente en un point à une courbe...7 II Fonction dérivée...8 a) Dérivées des fonctions de référence...8 b) Opérations sur les fonctions dérivables...9 c) Exemples d utilisation des formules...9 III Dérivée et variations...10 IV Théorème des valeurs intermédiaires...11 Chapitre 3 Limites de fonctions...12 I Limite finie d'une fonction à l'infini...12 a) Limites à connaître...12 b) Interprétation graphique...12 II Limite infinie d'une fonction à l'infini...13 a) Limites à connaître...13 b) Interprétation graphique...14 III Limite infinie d'une fonction en un réel...15 a) Limites à connaître...15 b) Interprétation graphique...16 IV Opérations sur les limites...17 a) Limite d une somme...17 b) Limite d un produit...17 c) Limite d un inverse...18 d) Limite d une fonction rationnelle à l infini...19 Cours d analyse Brevet de Technicien Supérieur Conception et Réalisation en Chaudronnerie Industrielle : 1/19

2 Chapitre 1 Fonctions de référence Ce chapitre consiste en des rappels des années antérieures. I Fonctions affines Définition : une fonction affine est une fonction f définie sur R telle qu il existe deux nombres réels m et p tels que pour tout x R, f (x)=m x+ p. Une fonction affine est représentée par une droite dans un repère. a) Signe d'une fonction affine Théorème : Soit f ( x)=m x + p une fonction affine (définie sur R ) telle que m 0. La fonction f s'annule en x= p m. Si m>0, f est strictement croissante sur R. Si m<0, f est strictement décroissante sur R. On peut résumer ceci graphiquement : m<0 m>0 Chapitre 1 Fonctions de référence : 2/19

3 Ce théorème permet de déduire le tableau de signe d'une fonction affine : m<0 m>0 x p m + x p m + m x+ p 0 + m x+ p + 0 m x+ p>0 x> p m m x+ p>0 x< p m m x+ p<0 x< p m m x+ p<0 x > p m Rappel : Ce théorème permet de compléter les tableaux de signes lorsqu on résout des inéquations, comme par exemple (3 x 2)(4 x +7)>0. II Fonction racine carrée Définition : La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0;+ [ par f (x)= x. Elle est définie sur [0 ; [ car seuls les réels positifs ont une racine carrée. Une racine carrée est toujours positive. a) Sens de variation La fonction racine carrée est strictement croissante sur [ 0;+ [. x 0 + f 0 b) Représentation graphique Les fonctions carré et racine carrée étant réciproques l'une de l'autre sur [0;+ [, leurs courbes dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la droite y=x. Chapitre 1 Fonctions de référence : 3/19

4 III Fonctions polynômes de degré 2 a) Définition Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction P définie sur R pour laquelle il existe des réels a 0, b, c tels que, pour tout x R, on ait : P(x)=a x 2 +b x+c. Exemples : La fonction f définie sur R par f (x)= 3 x 2 +x+ 2 est une fonction polynôme de degré 2. On a ici a= 3, b=1, c= 2. La fonction carré f est une fonction polynôme du second degré, puisque pour tout x R on a f (x)=x 2 =1 x x+ 0. On a ici a=1, b=0, c=0. Définition : Soit P un trinôme du second degré de forme réduite P(x)=a x 2 +b x+c (avec a 0 ). On appelle discriminant du trinôme le réel noté Δ défini par Δ=b 2 4 ac. Exemple : Pour P(x)=5 x 2 2 x+3, on a Δ=( 2) = 56 puisque a=5, b= 2 et c=3. Représentation graphique : Dans un repère orthonormal, une fonction polynôme de degré 2 est représentée par une parabole de sommet S. Chapitre 1 Fonctions de référence : 4/19

5 b) Tableau récapitulatif des trinômes de degré 2 P ( x )=a x 2 + b x+ c (avec a 0 ) Discriminant Δ=b 2 4ac Coordonnées du sommet S( b 2a ; Δ 4 a ) 0 =0 0 Solutions de l'équation a x 2 b x c=0 x 1 = b Δ 2 a x 2 = b+ Δ 2a et x 0 = b 2a (racine double) Pas de solution Factorisation de a x 2 b x c a(x x 1 )(x x 2 ) a (x x 0 ) 2 Pas de factorisation Représentation graphique quand a 0 Représentation graphique quand a 0 x x 1 x 2 + x x 0 + x + Signe de a x 2 + b x+ c P (x) sig sig sig ne 0 ne 0 ne de de de a a a P (x ) signe 0 signe de a de a P (x) signe de a (en notant x 1 la plus petite racine) Chapitre 1 Fonctions de référence : 5/19

6 Chapitre 2 Dérivation I Nombre dérivé et tangente Dans toute cette partie, f est une fonction définie sur un intervalle I, et a un réel appartenant à I. C est la courbe représentative de f. a) Nombre dérivé d'une fonction en un réel Soit h 0 un réel. On considère A le point de C d'abscisse a, et M le point de C d'abscisse a+h. A a donc pour coordonnées (a; f (a)), et M a pour coordonnées (a+h; f (a+h)). Le coefficient directeur de la droite ( AM) est donc y M y A f (a+h) f (a) =. Ce rapport est le taux x M x A h d'accroissement de f entre a et a+ h. Ce rapport n'existe pas quand h=0, puisque l'on ferait une division par 0. En revanche, on peut s'intéresser à ce qu'il devient quand h se rapproche de 0. On dit aussi «quand h tend vers 0». Définition : Soient f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel appartenant à I. On dit que la fonction f est dérivable en a s'il existe un réel, que l'on note f ' a, tel que f (a+ h) f (a) lim = f ' (a). Ce réel f ' a, s'il existe, est le nombre dérivé de la fonction f h 0 h en a. Exemple : Soit f la fonction carré (définie sur R ). Cherchons si f est dérivable en 3 : Soit h 0, le taux d'accroissement de f entre 3 et 3+h est : f ( 3+h) f ( 3) = ( 3+h)2 ( 3) 2 = 9 6 h+h2 9 = h(6+h) =6 +h. h h h h Comme lim 6 +h=6, f est dérivable en 3 et f ' ( 3)=6. h 0 Chapitre 2 Dérivation : 6/19

7 b) Tangente en un point à une courbe Graphiquement, quand h tend vers 0, le point M se rapproche de A. Dire que le taux d'accroissement de f entre a et a+h tend vers f ' (a) revient donc à dire que le coefficient directeur de ( AM) tend vers f ' (a) quand M se rapproche de A. Définition : Si f est dérivable en a, on appelle tangente en A à la courbe C la droite Δ qui passe par A et qui a pour coefficient directeur f '(a). Exemple : On a déterminé précédemment que la fonction carré f était dérivable en 3 et que f ' ( 3)= 6. Comme f ( 3)=( 3) 2 =9, la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 3 est donc la droite passant par A ( 3;9) et ayant pour coefficient directeur 6. Graphiquement, on constate que la tangente frôle la courbe en A. On peut donc déterminer l'équation de Δ : Son équation est y= 6 x +b or A ( 3;9) Δ donc 9= 6 3+b 9=18+ b 9=b. Δ a pour équation y= 6 x 9. Théorème : Si f est dérivable en a, Δ a pour équation y= f ' a x a f a. Preuve : L'équation de est de la forme y= f ' (a) x+b, puisque f ' a est son coefficient directeur. Comme A a, f a, alors ses coordonnées vérifient l'équation : f a = f ' a a b donc b= f ' a a f a, donc y= f ' a x f ' a a f a, soit y= f ' a x a f a. Chapitre 2 Dérivation : 7/19

8 II Fonction dérivée Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Si f est dérivable pour tout x I, on dit que f est dérivable sur I. La fonction qui à tout x I associe le nombre dérivé f '(x) est la fonction dérivée de f et se note f '. a) Dérivées des fonctions de référence D f domaine de définition f x = D f ' domaine de dérivabilité f ' x = R k (constante) R 0 R x R 1 R x 2 R 2 x ] ; 0[ ]0;+ [ 1 x ] ; 0[ ]0 ;+ [ 1 x 2 R x n (avec n N * ) R n x n 1 ] ; 0[ ]0 ;+ [ 1 x n (avec n N * ) ] ; 0[ ]0 ;+ [ n x n+ 1 [0;+ [ x ]0;+ [ 1 2 x Exemple : La fonction f définie sur R par f (x)=x 8 est dérivable sur R par f ' ( x)=8 x 7. Chapitre 2 Dérivation : 8/19

9 b) Opérations sur les fonctions dériva bles Soient k R, u et v deux fonctions dérivables sur un même intervalle I. Si f ( x)= k u(x) (avec k constante) u(x)+v(x) u(x)v(x) Alors f '(x)= k u'(x) u'(x)+v '(x) u'(x)v(x)+v' (x)u(x) (u(x)) n (avec n N ) n u' (x) (u( x)) n 1 u(x) (avec u(x)>0 pour tout x I ) 1 v(x) u(x) v(x) c) Exemples d utilisation des formules Exemples : u'(x) 2 u(x) v' (x) [v( x)] 2 u' (x)v(x) v' (x)u(x) [ v(x)] 2 f est définie sur R par f (x)=x 2 + x 3. f est dérivable sur R comme somme de deux fonctions dérivables sur R et f ' ( x)=2 x+3 x 3 1 =2 x+3 x 2. f est définie sur ]0 ;+ [ par f (x)=3 x 3 1 x. f est dérivable sur ]0 ;+ [ comme somme de deux fonctions dérivables sur ]0 ;+ [ et f ' ( x)=3 3 x ( 2 1 x ) =9 2 x x 2 f est définie sur R par f (x)=2 x 3 (4 x 5). f est dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R : f (x)=u(x)v(x) avec u(x)=2 x 3 et v( x)=4 x 5. u' ( x)=2 3 x 2 =6 x 2 et v ' (x)=4. f ' ( x)=u' (x)v(x)+v' ( x)u(x)=6 x 2 (4 x 5)+4 2 x 3 =6 x 2 (4 x 5)+8 x 3. f est définie sur [10 ;+ [ par f (x)= 1 4 x 3. f est dérivable sur [10 ;+ [ comme inverse d'une fonction dérivable sur [10 ;+ [. f (x)= 1 avec v( x)=4 x 3. v ' (x)=4. v(x) v' ( x) f ' ( x)= [v( x)] = 4 2 (4 x 3) 2. Chapitre 2 Dérivation : 9/19

10 f est définie sur [10 ;+ [ par f (x)= x2 4 x 3. f est dérivable sur [10 ;+ [ comme quotient de deux fonctions dérivables sur [10 ;+ [. u( x) f (x )= v( x) avec u(x)=x2 et v( x)=4 x 3. u ' ( x)=2 x et v ' (x)=4. 2 u ' (x)v( x) v' ( x)u(x) 2 x(4 x 3) 4 x f ' ( x)= = = 8 x2 6 x 4 x 2 = 4 x2 6 x. [v( x)] 2 (4 x 3) 2 (4 x 3) 2 (4 x 3) 2 f est définie sur R par f (x)=(1 2 x) 4. Alors f est dérivable sur R. f (x)=(u(x)) 4 avec u(x)=1 2 x. u'(x)= 2. f ' (x)=4 u '(x) (u(x)) 4 1 =4 ( 2) (1 2 x) 3 = 8 (1 2 x) 3. III Dérivée et variations Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I contenu dans son ensemble de définition D f. Si f ' x 0 pour tout x I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini de valeurs) alors f est strictement croissante sur I. Si f ' x 0 pour tout x I (éventuellement, f ' peut s'annuler en un nombre fini de valeurs) alors f est strictement décroissante sur I. Si pour tout x I f ' x =0, alors f est constante sur I. Remarque : Comme le dit le théorème, même si f est strictement monotone sur I, la fonction f ' peut s'annuler sur I : par exemple, la fonction cube f est strictement croissante sur R, est dérivable sur R par f ' x =3 x 2, et f ' 0 =3 0 2 =0. Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f x =x 2 2 x 1. Étudions ses variations. f est dérivable sur R par f ' x =2 x 2. On dresse le tableau de variations en utilisant le signe de la dérivée. Le signe de la dérivée est facile à obtenir ici : c'est une fonction affine, qui s'annule en x= 1 et qui est strictement croissante puisque son coefficient directeur est supérieur strictement à 0. x 1 + f'(x) 0 + f 2 On a en effet f 1 = = 2. Chapitre 2 Dérivation : 10/19

11 IV Théorème des valeurs intermédiaires Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle [ a ; b], et soit k un réel compris entre f (a) et f (b). Si pour tout x ] a;b[ on a f '(x)>0 ou f '(x)<0, alors l équation f ( x)=k admet une unique solution x 0 dans [ a ; b ]. Exemple : On remarque que l hypothèse «f ' (x)>0 ou f ' (x)<0» peut être remplacée par l hypothèse «f est strictement croissante ou f est strictement décroissante». Chapitre 2 Dérivation : 11/19

12 Chapitre 3 Limites de fonctions I Limite finie d'une fonction à l'infini a) Limites à connaître Exemple : Soit f la fonction définie ] ; 0[ ]0 ;+ [ par f (x)= 1 x. Voici un tableau de valeurs : x f ( x) 1 0,1 0,01 0,001 0, On peut remarquer que lorsque x devient de plus en plus grand (on dit que x tend vers + ), alors f (x) se rapproche de 0 (on dit que f (x) a pour limite 0). Ceci se note : lim f ( x)=0. x + Théorème : Soit n un entier naturel non nul. On a alors lim x + 1 x n=0 et lim x 1 x n=0. b) Interprétation graphique Soient f une fonction et a un réel tels que lim f (x)=a. Alors, on dit que la droite d'équation y=a est asymptote horizontale à la courbe de f en +. Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très grand, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y=a. La situation est analogue en. Chapitre 3 Limites de fonctions : 12/19

13 Exemple : Soit f la fonction définie sur R ci-dessous. On constate que lim f (x)=4, c'est-à-dire que la droite y=4 est asymptote horizontale à la courbe de f en +, et que lim f (x)=2, c'est-à-dire que la droite y=2 est asymptote x horizontale à la courbe de f en. II Limite infinie d'une fonction à l'infini a) Limites à connaître Exemple : Soit f la fonction définie sur R par f (x)=x 2. On remarque que f (x) peut devenir aussi grand que l'on veut, en choisissant x suffisamment grand : on dit alors que f (x) tend vers + quand x tend vers + ; et on note lim f ( x)=+. x + De même, on remarque que f (x) peut devenir aussi grand que l'on veut, en choisissant x suffisamment petit : on dit alors que f (x) tend vers + quand x tend vers ; et on note f ( x)=+. lim x Théorème : Soit n un entier naturel non nul. On a alors lim x n =+. x + Si n est pair, on a lim x n =+ ; si n est impair, on a lim x n =. x x Chapitre 3 Limites de fonctions : 13/19

14 b) Interprétation graphique Soit f une fonction définie sur un intervalle de la forme ] A ;+ [ telle qu'il existe une fonction affine a x +b avec a 0 telle que lim f (x) (a x+b)=0. Alors, la droite y=ax+b est asymptote oblique à la courbe de f en +. Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très grand, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y=a x +b. La situation est analogue en. Exemple : On considère la fonction f définie sur R ci-dessous. La droite d'équation y=x 1 est asymptote oblique à la courbe de f en +, la droite d'équation y= x est asymptote oblique à la courbe de f en. Chapitre 3 Limites de fonctions : 14/19

15 III Limite infinie d'une fonction en un réel a) Limites à connaître Exemple 1 : Soit f la fonction définie ]0;+ [ par f (x)= 1 x. Voici un tableau de valeurs : x 1 0,1 0,01 0,001 0, f ( x) On peut remarquer que lorsque x devient de plus en plus proche de 0 (on dit que x tend vers 0) en restant positif, alors f (x) devient de plus en plus grand (on dit que f (x) a pour limite + ). Ceci se note : lim f ( x)=+. x 0 Exemple 2 : Soit f la fonction définie ] ; 0[ par f (x)= 1 x. Voici un tableau de valeurs : x 1 0,1 0,01 0,001 0, f ( x) On peut remarquer que lorsque x devient de plus en plus proche de 0 (on dit que x tend vers 0) en restant négatif, alors f (x) devient de plus en plus petit (on dit que f (x) a pour limite ). Ceci se note : lim f ( x)=. x 0 Théorème : Soit n un entier naturel non nul. On a alors : Si n est pair lim x 0 Si n est impair : 1 x n =+ Si x reste positif, lim x 0 Si x reste négatif, lim x 0 1 x n =+. 1 x n =. Chapitre 3 Limites de fonctions : 15/19

16 b) Interprétation graphique Soient f une fonction et a un réel tels que lim f (x)=+ ou lim f (x)=. Alors, on dit que la x a x a droite d'équation x=a est asymptote verticale à la courbe de f. Graphiquement, cela signifie que lorsque x devient très proche de a, la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x=a. Exemple : Soit f la fonction définie sur ] ; 3 [ ci-dessous. On constate que lim f (x)=, et donc la droite d'équation x=3 est asymptote verticale à la x 3 courbe de f. Chapitre 3 Limites de fonctions : 16/19

17 IV Opérations sur les limites a) Limite d une somme α désigne un réel, + ou. f et g sont deux fonctions dont la limite en α est connue. L et L' sont deux nombres réels. Si lim f (x)= L L L + + et lim g( x)= L' + + alors lim ( f (x)+ g(x))= L+ L' + + F.I F.I signifie «Forme Indéterminée» : cela signifie que le tableau ne permet pas de conclure. En règne générale, il faut faire une transformation d écriture. Exemple : Soient f et g définies sur R par f (x)=x et g( x)= 3 x. On a alors lim f (x)=+ et lim g(x)=. Si l on cherche la limite de f (x)+g(x) en +, on est dans le cas d une forme indéterminée. Cependant, comme f ( x)+ g(x)= 2 x, on a directement lim (f (x)+g(x))=. b) Limite d un produit α désigne un réel, + ou. f et g sont deux fonctions dont la limite en α est connue. L et L' sont deux nombres réels. Si lim f (x)= L L 0 L 0 et lim g(x)= L' + alors lim (f (x) g(x))= L L ' + si L>0 si L<0 si L>0 + si L<0 Chapitre 3 Limites de fonctions : 17/19

18 Si lim f (x)= et lim g(x)= + ± alors lim (f (x) g(x))= + + F.I F.I signifie «Forme Indéterminée» : cela signifie que le tableau ne permet pas de conclure. En règne générale, il faut faire une transformation d écriture. Exemple : Soient f et g définies sur ]0;+ [ par f (x)= 1 x et g(x)=x3 +2 x. On a alors lim f ( x)=0 et comme lim x 3 =+ et lim 2 x=+, le théorème relatif à la limite d une somme donne lim g(x)=+. Si l on cherche la limite de f (x) g (x) en +, on est dans le cas d une forme indéterminée. Cependant, comme sur ]0;+ [ f (x) g(x)= 1 x (x 3 +2 x)= x3 x + 2 x x = x2 +2, on a lim x 2 =+ et lim 2=2, donc le théorème relatif à la limite d une somme donne lim (f (x) g(x))=+. c) Limite d un inverse α désigne un réel, + ou. f est une fonction dont la limite en α est connue. L est un nombre réel. Si lim f (x)= L 0 ± 0 avec f (x)>0 0 avec f (x)<0 0 + alors lim 1 f (x) = 1 L Chapitre 3 Limites de fonctions : 18/19

19 d) Limite d une fonction rationnelle à l infini Exemple : Cherchons lim x 3 2 x x 4 5 x +1. Si on cherche la limite en + du numérateur ( x 3 2 x 2 +1 ), on a une forme indéterminée puisque lim x 3 =+ et lim 2 x 2 =. Au dénominateur, on a le même problème. On peut montrer (en factorisant le numérateur par x 3 et le dénominateur par x 4 ) que lim x 3 2 x 2 +1=+ et lim 4 x 4 5 x+1=+. Cependant, on a encore une forme indéterminée («+ +»). Un méthode est de factoriser le numérateur par le monôme de plus haut degré (ici, x 3 ) et le dénominateur par le monôme de plus haut degré (ici, x 4 ) : lim x 3 2 x x 4 5 x+1 = lim 3( x 1 2 x + 1 x ) 3 ( x x 1 = lim x ) 4 1 x 1 4 =0. On peut généraliser, et en déduire ce théorème : Théorème : La limite en + ou d une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient formé du monôme de plus haut degré du numérateur divisé par le monôme de plus haut degré du dénominateur. Remarque : Ce théorème ne fonctionne que pour les limites en + ou! Exemple : lim x 7 x 5 +8 x 2 4 x+1 7 x 5 = lim 8 x 5 4 x x = lim = 7 8. Chapitre 3 Limites de fonctions : 19/19