Exercice 1 - Enseignement de spécialité - 5pts. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n v n = u n 2. u n =

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1 La maison Ecole d ' Devoir de type bac n o 4 Classe de terminale ES Variations, limites, continuité, asymptotes, fonction logarithme, suites... Copyright c 2004 J.- M. Boucart GNU Free Documentation Licence On veillera à détailler et à rédiger clairement les raisonnements, à soigner son écriture et sa présentation. Il en sera tenu largement compte. N hésitez pas à admettre le résultat d une question pour pouvoir traiter les suivantes (en le signalant). Traitez et rédigez correctement chaque question ; la qualité prime sur la quantité. Énoncé Eercice 1 - Enseignement de spécialité - pts La suite (u n ) est définie par : 1. Calculer u 1, u 2 et u 3. u 0 = 7 et u n+1 = 2u n On considère la suite (v n ) définie pour tout naturel n par : v n = u n 2 a) Montrez que la suite (v n ) est une suite géométrique dont vous préciserez la raison et le premier terme. b) Eprimez v n en fonction de n, et déduisez-en que : ( ) n 2 u n = + 2 c) Quelle est la limite de la suite (u n )? 3. Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; i, j) (unité graphique 2 cm). Soit f la fonction définie sur R par : f() =

2 Devoir de type bac n o 4 2 a) Tracer la représentation graphique D de f ainsi que la droite d équation = y. b) Placer sur l ae des abscisses le point P 0 d abscisse u 0. En utilisant les droites D et, construisez les points P 1, P 2, P 3 de l ae (O ; i) d abscisses respectives u 1, u 2, u 3. À quoi correspond sur ce graphique, l abscisse du point d intersection des deu droites et D? Eercice 1 - Pour non spécialistes - pts Le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ; i, j). On désigne par a, b, et c, trois nombres réels et on considère la fonction définie sur [0 ; 4] par : f() = a 2 + b + c Sa représentation graphique Γ est donnée ci-dessous (Fig. 1). A(1 ; 2) et B(2 ; 3) sont deu points de Γ ; la tangente à la courbe Γ au point A passe par le point E(0 ; 1). B A j O i E Fig. 1 Eercice 1 - non spécialistes 1. À l aide du graphique et en justifiant vos résultats : a) donner l image par f de 1, puis l image par f de 2 ; b) donner la valeur de f (1) ;

3 Devoir de type bac n o 4 3 c) déterminer les valeurs de pour lesquelles f() > Déterminer les trois réels a, b et c. ] [ 1 3. Soit g la fonction définie sur 2 ; 3 par : Résoudre les équations ( : ) 2 a) g() 2 ln(3) = ln 9 b) g() = ln(3 ) g() = ln( ) D après Bac ES , Centre Étrangers 1 Eercice 2-7pts On considère la fonction f définie sur l intervalle I =]0 ; + [ par : f() = + 1 ln() On nomme C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; i, j). 1. Soit g la fonction définie sur I par : g() = ln() a) Étudier les variations de g (on ne demande pas le calcul des limites). b) Démontrer que l équation g() = 0 admet une unique solution, notée α, appartenant à l intervalle [1 ; 2]. Epliquer pourquoi α est l unique solution dans l intervalle I de l équation g() = 0. Donner un encadrement de α d amplitude c) Étudier le signe de g() suivant les valeurs de. 2. a) Démontrer que pour tout réel de I : f () = g() 2 En déduire les variation de la fonction f. b) Étudier les limites de f au bornes de son ensemble de définition. c) Tracer C. Eercice 3-4pts 1. Démontrer que les courbes C et C d équations respectives : y = + ln(2 + 1) ln() et y = + ln(2) sont asymptotes en Déterminer leurs positions relatives.

4 Devoir de type bac n o 4 4 Eercice 4-4pts Vous devez répondre en choisissant parmi les propositions qui vous sont faites, celle(s) qui vous semblent eactes. Pour une même question, plusieurs propositions peuvent être eactes. Les bons choi apportent des points, les mauvais en retirent. L absence de choi ne retire ni n apporte de point. Pour indiquer vos choi, vous rédigerez : Question n... choi... et... N o Proposition faite choi A choi B choi C choi D 1 Les epressions suivantes sont définies sur [ 3 ; 3[. ln() ln(9 2 ) ln( ) ln( ) 2 Les égalités suivantes sont vraies ln(e) = 1 ln(1) = e ln( 1 e ) = 1 ln(1) ln(e) = ln(1 e) 3 Si f() = ln( 2 ) alors f () s écrit : 2 2(ln() + 1) 1 2 ln() 2 4 En 0, la limite de ln( 2 ) 2 est : 0 + 1

5 Devoir de type bac n o 4 Corrigé Eercice 1 - Enseignement de spécialité 1. Selon la définition : u 1 = 2u u 2 = 2u u 3 = 2u = = =, = 4 = 2, 8 = 2, Soit n un entier naturel quelconque. Eprimons v n+1 : v n+1 = u n+1 2 selon la définition de la suite (v n ) = 2u n selon la définition de (u n ) = 2u n = 2u n 4 = 2(u n 2) = 2 (u n 2) v n+1 = 2 v n selon la définition de (v n ) La suite (v n ) est donc bien une suite géométrique de raison 2. Son terme initial est : v 0 = u 0 2 = 7 2 = Nous savons que l epression eplicite du terme de rang n d une suite géométrique (a n ) de terme initial a 0 et de raison r est : a n = a 0 r n. ( ) n 2 On aura donc pour la suite (v n ) : v n =. De la définition de (v n ) : v n = u n 2, on déduit : u n = v n + 2 et par conséquent : ( ) n 2 u n = + 2 Comme les suites géométriques dont la raison est comprise entre 0 et 1 convergent vers 0, (v n ) converge vers 0 et donc (u n ) converge vers La fonction f est une fonction affine. En effet : f() = = Sa représentation graphique est donc une droite passant par les points : A 3, 2 et B 0 1, 2

6 Devoir de type bac n o 4 6 La droite est la bissectrice du premier quadrant du repère. La relation de récurrence définissant la suite (u n ) peut s écrire : u n+1 = f(u n ) Le point P 0 étant placé (figure 2) à l abscisse u 0 sur (O ; i), on détermine le point A 0 de même abscisse, sur D. L ordonnée de A 0 est évidement f(u 0 ) = u 1. Le point C 0 de même ordonnée que A 0 et appartenant à a ses deu coordonnées égales ; son abscisse est donc u 1 et, par conséquent, le point de même abscisse que C 0 sur (O ; i) est P 1. En reprenant la même démarche, à partir de P 1, on trouvera successivement les points P 2, P 3... Cette suite de points de l ae (O ; i) est obtenue à partir du trajet : P 0 A 0 C 0 A 1 C 1 A 2 C 2 A 3 Cette ligne brisée est enfermée dans le secteur angulaire formé par les deu droites D et. Il ne peut que se diriger vers leur point d intersection. L abscisse de ce point est donc la limite des abscisses des points P n. C est la limite de la suite (u n ). C 0 A D A 0 C 1 A 1 C 2 C 3 A 3 A 2 B j u 3 u 2 i O P 3 P 2 P 1 P 0 u 1 u 0 Fig. 2 Eercice de spécialité

7 Devoir de type bac n o 4 7 Eercice 1 - Non spécialistes Question 1 Par hypothèse, Γ est la représentation de f, et A 1 2 Γ. On en déduit que f(1) = 2. Le graphique confirme ce résultat. De même, il apparaît que f(2) = 3 puisque B 2 3 Γ. Par hypothèse, la tangente en A à la courbe Γ, représentative de f, est la droite (AE). Le coefficient directeur de cette droite est : m = 2 ( 1) 1 0 = 3 m est aussi le nombre dérivé de f en 1. On a donc : f (1) = 3 Selon la figure, la courbe Γ coupe l ae des abscisses en deu points M 1 et M 2 d abscisses respectives 0, et 3. Les points de Γ situés (figure 3) entre M 1 et M 2 ont des ordonnées positives puisqu ils sont au dessus de l ae (O ; i). Leurs abscisses sont comprises entre 0, et 3. L inéquation f() > 0 semble donc avoir pour ensemble de solutions, l intervalle ]0, ; 3[. j i O M 1 M 2 Fig. 3 Eercice 1 - non spécialistes

8 Devoir de type bac n o 4 8 Question 2 On a vu quans la question 1 que : f(1)=2 f(2)=3 f (1)=3 On en déduit donc : a + b + c = 2 (1) 4a + 2b + c = 3 (2) 2a + b = 3 (3) De (2) et (3) on déduit, par combinaison linéaire : (4a + 2b + c) 2(2a + b) = c = 3 (4) De même, de (2), (1) et (4), on déduit : (4a + 2b + c) 2(a + b + c) + c = ( 3) 2a = 4 a = 2 () Enfin, (3) et () permettent de déterminer b : (2a + b) 2a = 3 2 ( 2) b = 7 (6) La fonction f, selon (3), () et (6) est donc définie par : f() = Question 3 D après la question 1, f() est positif sur l intervalle ]0, ; 3[. Sur cet intervalle, g = ln f est donc bien définie. Les équation suivantes sont équivalentes : g() 2 ln(3) = ln( 2) 9 ln( ) = 2 ln(3) + ln( 2) 9 ln( ) = 2 ln(3) + ln(2) 2 ln(3) ln( ) = ln(2) selon la définition de g() selon les propriétés de ln Comme la fonction ln est croissante et continue, cette dernière équation est équivalente à : = 2 et donc, à : = 0 Le polynôme du second degré a pour discriminant 9 ; il admet donc, sur R deu racines : 1 = 1 et 2 = 2,.

9 Devoir de type bac n o 4 9 Les équations précédentes ont donc pour ensemble de solution : S = {1 ; 2, }. De la même façon, résolvons l équation : g() = ln(3 ). On a vu que g() est défini sur ]0, ; 3[. Sur cet intervalle, 3 est positif et par conséquent ln(3 ) est aussi défini. L équation proposée s écrit : ln( ) = ln(3 ). Comme la fonction logarithme est continue et croissante, cette équation quivaut à : et par conséquent, à = = 0 ou = 0 Le polynôme du second degré a pour discriminant 4 ; il admet sur R deu racines s 1 = 1 et s 2 = 3. Sur son ensemble de définition, l équation g() = ln(3 ) n a donc aucune solution. Eercice 2 Variations de g g est définie et dérivable sur I. Sa fonction dérivée g est définie par : g () = Sur l ensemble des réels strictement positifs, les deu termes 1 de cette epression de g () sont positifs. g est donc une fonction positive sur I. On en déduit que g est croissante sur I. 0 + g () g() Résolution de l équation g() = 0 On a : g(1) = 1 2 ln(1) = 1 et g(2) = ln(2) 2, 69 1 On peut aussi, comme on le fait le plus souvent, transformer cette somme en produit : g () = L étude du signe de g () est alors plus traditionnelle, mais aussi plus longue à mener.

10 Devoir de type bac n o 4 10 Sur l intervalle [1 ; 2], la fonction g donne donc une image négative (celle de 1) et une image positive (celle de 2). Comme g est continue sur l intervalle [1 ; 2], elle atteindra sur cet intervalle toutes les valeurs intermédiaires à ces deu images. En particulier, elle atteindra 0. Il eiste donc bien un réel (au moins) α appartenant à l intervalle [1 ; 2] tel que g(α) = 0. Comme la fonction g est strictement croissante, deu réels distincts de [1 ; 2] ne peuvent avoir la même image. Sur l intervalle [1 ; 2], il eiste donc un seul réel α tel que g(α) = 0. Comme la fonction g est croissante sur I, et pas seulement sur [1 ; 2], deu réels distincts de I ont des images distinctes. Le réel α est donc bien le seul réel de I à avoir pour image 0. La calculette nous indique : g(1, 31) 0, 14 et g(1, 32) 0, 2. Du fait de la croissance de g : α 1, 31 n est pas possible car cela entraînerait g(α) g(1, 31) et donc 0 0, 14!! α 1, 32 n est pas possible car cela entraînerait g(α) g(1, 32) et donc 0 0, 2!! On a donc : 1, 31 α 1, 32 Signe de g() Comme g est croissante sur I, tout réel supérieur à α a une image supérieure à g(α) : Si > α alors g() > g(α) et donc g() > 0 Pour la même raison : Si < α alors g() < g(α) et donc g() < 0 d où le tableau : 0 α + g() 0 Variations de f f est définie sur ]0 ; + [, et l on a : f() = + 1 ln() Si l on définit sur ]0 ; + [ les fonctions u et v par : alors, u et v sont dérivables, de dérivées : = ln() u() = ln() et v() = u () = 2 1 et v () = 1

11 Devoir de type bac n o 4 11 Comme f = u v, f est dérivable et f = u v v u v 2. On a donc : f () = [2 1 ] [2 + 1 ln()] 2 = ln() 2 = ln() 2 = g() 2 Le dénominateur de cette epression est positif, donc le signe de f () est celui de g(), étudié dans la question précédente. On a donc : 0 α + f () 0 f() f(α) f(α) = α + 1 ln(α) α 1 ln(1, 31) f(α) 1, , 31 f(α) 1, 86 Limite au bornes Au voisinage de l infini, on peut écrire : lim 1 + Comme lim = +, + sur la limite d une somme, on a : f() = ln() ln() = 0 et lim + f() = +. lim + = 0, selon les théorèmes Au voisinage de 0 (à droite), on peut écrire : f() = + 1 (1 ln()) lim ln() = 0 >0 donc lim(1 ln()) = + 0 >0 1 lim 0 = + >0 1 ln() donc : lim 0 >0 d autre part : lim = 0 0 >0 = + donc : limf() = + 0 >0

12 Devoir de type bac n o 4 12 f(α) j O i α Fig. 4 Eercice 2 Eercice 3 Asymptotes Les courbes C et C représentent les fonctions f et g définies respectivement sur ]0 ; + [ par : f() = + ln(2 + 1) ln() et g() = + ln(2) Pour tout réel positif, la différence f() g() est la différence entre les ordonnées de deu points M et N de même abscisse, l un étant sur C (M) et l autre (N) appartenant à C.

13 Devoir de type bac n o 4 13 On a : f() g() = [ + ln(2 + 1) ln()] [ + ln(2)] = ln(2 + 1) ln() ln(2) = ln = ln = ln (2 + 1 ) 2 Calculons la limite de cette différence à l infini : 1 lim + = 0 donc lim = 1 Comme la fonction ln est continue, on a par ailleurs : lim 1 ln() = ln(1) = 0. Les propriétés de la limite d une fonction composée nous permettent de conclure : lim f() g() = 0 + La différence des ordonnées de M et de N tendant vers 0 lorsque leur abscisse commune tend vers l infini, les courbes C et C sont asymptotes à l infini. Positions relatives Si la différence f() g() est positive, cela eprime que le point M est situé au dessus du point N. Si la différence est au contraire négative cela signifie que, pour l abscisse, N est situé au dessus de M. ( ) L inéquation ln > 0, sur ]0 ; + [, est équivalente à l inéquation : 2 ( ) ln > ln(1) 2 et comme la fonction logarithme est croissante, cette dernière est équivalente à : > 1 En multipliant les deu membres par 2 (positif) on obtient encore une inéquation équivalente : > 2 Cette inéquation admet tous les réels de l intervalle ]0 ; + [ pour solutions (elle est équivalente à > 0). La différence f() g() est donc positive sur R +, ce qui prouve que C est entièrement située au dessus de C.

14 Devoir de type bac n o 4 14 Eercice 4 Question n o 1 choi D. Question n o 2 choi A et choi C. Question n o 3 choi B. Question n o 1 choi C. Vous êtes autorisé(e) à copier, distribuer et/ou modifier ce document selon les termes de la licence GNU Free Documentation License Version 1.1 ou ultérieure, publiée par la Free Software Foundation. Le source LATEX, ainsi que des copies au format pdf, ps, et html de ce document sont accessibles sur le site classe.maisondecole.net. La version originale de la licence, accompagnée d une traduction en français, est également disponible sur ce site.

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