CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES 1

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1 SESSION 2005 CONCOURS COMMUN POLYTECHNIQUE EPREUVE SPECIFIQUE-FILIERE MP MATHEMATIQUES PREMIER EXERCICE a. T (x + y dxdy = = ( y= (x + y dy y= x dx = ((x + 2 ( x2 + x2 2 dx = T (x + y dxdy = 4 3. [xy + y2 2 ( x2 ] y= y= x dx 2 + x + 2 dx = 2( = 4 3 b. Par symétrie, C x + y dxdy = 2 (x + y dxdy = 8 T 3. DEUXIEME EXERCICE Soit N. La foctio x x est cotiue sur I (resp. J. Les solutios de (E sur I (resp. J costituet doc u R-espace vectoriel de dimesio. La foctio x x est ue solutio particulière o ulle de (E sur I (resp. J. Doc, les solutios de (E sur I (resp. J sot les foctios de la forme x Cx, C R. 2. Ue évetuelle solutio f de (E sur R doit vérifier : f /]0,+ [ est solutio de (E sur ]0, + [, f /],0[ est solutio de (E sur ], 0[ et efi f(0 = 0. { C x si x 0 Par suite, il existe deux costates réelles C et C 2 telles que, pour tout réel x, C 2 x si x < 0. Réciproquemet, ue telle foctio est solutio de (E sur R si et seulemet si elle est dérivable e 0 ce qui équivaut à C = C 2 (graphiquemet clair. Les solutios de (E sur R sot les foctios de la forme x Cx, C R. Elles costituet u R-espace vectoriel de dimesio. 3. Soit 2. De même, si f est { ue solutio de (E sur R, il existe écessairemet deux costates réelles C et C 2 C x telles que, pour tout réel x, si x 0 C 2 x si x < 0. Réciproquemet, ue telle foctio est solutio de (E sur R si et seulemet si elle est dérivable e 0, ce qui est le cas pour tout choix de C et C 2 (graphiquemet clair : f (0 = 0. Les solutios de (E sur R sot les foctios de la forme { { { C x x si x 0 x C 2 x si x < 0 = C si x 0 0 si x 0 + C 0 si x < 0 2 x si x < 0 = C f (x + C 2 f 2 (x, (C, C 2 R 2. La famille (f, f 2 état clairemet libre, les solutios de (E sur R costituet u R-espace vectoriel de dimesio 2. c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

2 PROBLEME : Autour du théorème d ABEL pour les séries etières I. GENERALITES. a. Posos a 0 = 0 et pour N, a = (. La série etière a x a u rayo de covergece égal à et pour x ], [, a x = = ( x = l( + x. Aisi, lim l(2 et la suite (a vérifie (P 2. D autre part, la série de terme gééral a coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées et la suite a vérifie (P. b. Pour N, posos a = (. La série de terme gééral a diverge grossièremet et la suite (a e vérifie doc pas (P. La série etière a x a u rayo de covergece égal à et pour x ], [, ( x = + x. La foctio f ted vers 2 quad x ted vers par valeurs iférieures et la suite (a vérifie (P 2. c. Pour N, posos a =. (a e vérifie pas (P car la série de terme gééral a diverge grossièremet et e vérifie pas (P 2 car ted vers + quad x ted vers par valeurs iférieures. x d. Pour N, posos a = ( et pour x ], [, f (x = a x = ( x. Chaque foctio f a ue limite l quad x ted vers par valeurs iférieures, à savoir l = (. Si la série de foctios de terme gééral f coverge uiformémet sur ], [, le théorème d iterversio des limites affirme alors que la série umérique de terme gééral l coverge, ce qui est pas. Doc, la série de foctios de terme gééral f e coverge pas uiformémet sur ], [. 2. Pour x ], [ et N, posos f (x = a x. Pour N et x ], [, f (x = a. x a. Par suite, pour tout etier aturel, f a. O e déduit que la série de terme gééral f coverge. Aisi, la série de foctios de terme gééral f coverge ormalemet et doc uiformémet sur ], [. Puisque chaque foctio f a ue limite réelle quad x ted vers par valeurs iférieures, à savoir a, le théorème d iterversio des limites permet d affirmer que f a ue limite réelle quad x ted vers par valeurs iférieures et que 3. Pour x ], [, = x =2 lim + ( ( = =2 lim f (x = x = x =2 a. ( x + ( x =2 ( x + + ( x = x l( + x + l( + x x ( Maiteat, la série de terme gééral est absolumet covergete car, quad ted vers +, ( ( ( ( = ( = O 2. D après la questio 2., o a alors =2 ( ( = lim (x l( + x + l( + x x = 2l 2. x =2 ( = 2l 2. ( 2 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

3 II. THEOREME D ABEL 4. a. Soiet x [0, ], N. Puisque pour tout aturel p, r +p r +p = a +p, o a b. Soiet (, N (N 2 et x ]0, [, (r +p r +p x +p = a +p x +p = k=+ a k x k = R (x. N N (r +p r +p x +p = x r +p x +p N N r +p x +p = x r +p x +p p=0 N = r x + + (x r +p x +p r +N x +N N = r x + + x + (x r +p x p r +N x +N. N r +p x +p Tout d abord, puisque la série de terme gééral a coverge, la suite des restes (r est défiie et ted vers 0 quad ted vers +. Puisque x ]0, [, il e est de même de la suite (r +N x +N N. Mais alors, puisque pour x ]0, [, o a N o e déduit que la suite r +p x p = coverge. Quad N ted vers +, o obtiet N x + (r +p r +p x +p r x + + r +N x +N, (x ( N r +px N p coverge ou ecore que la série de terme gééral r +px p, p, cette égalité restat claire pour x = 0. (r +p r +p x +p = r x + + x + (x N, x [0, [, R (x = r x + + x + (x r +p x p, r +p x p. c. Soit ε > 0. Puisque la suite des restes (r est défiie et coverge vers 0 quad ted vers +, il existe u etier 0 tel que pour tout etier 0 et tout etier aturel p, r +p ε 2. Soiet alors 0 et x [0, [. De plus, R ( = r ε 2 ε. R (x r x + + x + ( x = ε 2 x+ ( + ( x x = 2ε 2 x+ ε. r +p x p ε 2 x+ ( + ( x d. O a motré que : ε > 0, 0 N/ N, x [0, ], ( 0 R (x ε. Aisi, la suite de foctios (R coverge uiformémet vers la foctio ulle sur le segmet [0, ] ou ecore la série de foctios de terme gééral f : x a x coverge uiformémet vers f sur [0, ]. Puisque chaque foctio f est cotiue sur [0, ], f est cotiue sur [0, ] et e particulier, a ue limite réelle quad x ted vers par valeurs iférieures égale à f(. O a motré que lim f( = + a. x p 3 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

4 5. D après la questio 4., si a coverge, f a ue limite réelle quad x ted vers par valeurs iférieures. Doc, si f ted vers + quad x ted vers par valeurs iférieures, a diverge. 6. O sait que pour tout réel x de ], [, Arcta x = ( x Comme la série de terme gééral ( coverge e vertu du critère spécial aux séries alterées, le théorème d Abel 2 + établi à la questio 4. permet d afiirmer que ( 2 + = lim ( x = lim Arctax = π 4. π + 4 = ( a. Le terme gééral du produit de Cauchy des séries de termes gééraux u et v est Pour k, et doc w = k= ( k k /4 ( k = ( ( k /4 k= (k( k /4. 0 < k( k = k 2 + k = (k , w ( ( 2 /4 = 2. /4 Puisque 2 ted vers + quad ted vers +, il e est de même de w. E particulier, w e ted pas vers 0 et la série de terme gééral w diverge grossièremet. Il se peut doc que le produit de Cauchy de deux séries covergetes e soit pas ue série covergete (les séries de termes gééraux respectifs u et v coverget e vertu du critère spécial aux séries alterées. b. Puisque les séries de termes gééraux u, v et w coverget, le rayo de covergece de chacue des séries etières correspodates vaut au mois. O sait que pour tout x de ], [, + w x = ( + u x ( + v x. Le théorème d Abel permet alors d écrire que ( + w = lim w x = lim u x ( lim v x = u v. III. RECIPROQUE DU THEOREME D ABEL 8. Cosidéros la suite a = (. Pour x ], [, ( x = + x. Aisi, la foctio f a ue limite réelle quad x ted vers par valeurs iférieures, à savoir. Pourtat, la série de 2 terme gééral a diverge grossièremet. Ce qui précède sigifie que la réciproque du théorème d Abel est fausse. 4 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

5 9. Soit N. Pour x [0, [, tout etier aturel, a k x k k=0 k=0 a k x k = f(x. Quad x ted vers par valeurs iférieures, o obtiet pour k=0 a k lim f(x. Aisi, la suite des sommes partielles de la série de terme gééral a est majorée, et puisque la suite (a est positive, o déduit que la série de terme gééral a coverge. IV. SERIES HARMONIQUES TRANSFORMEES 0. La suite (ε. est borée (car ε. = et doc le rayo de la série etière correspodate vaut au mois. Mais la série de terme gééral ε. diverge grossièremet et doc le rayo vaut au plus. Fialemet, le rayo de la série etière associée à la suite (ε est égal à. Puisque la suite ( ε est domiée par la suite (ε, le rayo correspodat vaut au mois. Mais la série de terme gééral ε. est pas absolumet covergete et doc le rayo vaut au plus. La deuxième série etière admet égalemet u rayo égal à.. Si ε coverge, le théorème d Abel motre que f a ue limite quad x ted vers par valeurs iférieures et si f a ue limite quad x ted vers par valeurs iférieures, le théorème de Littlewood motre que ε coverge. 2. Soit x ], [. Puisque la suite (ε est p-périodique, Aisi, g(x = = ε x = q=0 = (ε + ε 2 x ε p x p (ε + ε 2 x ε p x p x qp q=0 (x p q = ε + ε 2 x ε p x p x p. g est ue fractio ratioelle et x ], [, g(x = ε + ε 2 x ε p x p x p. 3. Das le cas où ε =, o peut predre p = et pour x ], [, g(x =. Par suite, l( x et f x a pas de limite quad x ted vers par valeurs iférieures. La questio. motre alors que diverge. Das le cas où ε = (, o peut predre p = 2 et pour x ], [, g(x = + x x 2 =. Par suite, + x l( + x et f(x ted vers l2 quad x ted vers. Le théorème de Littlewood motre que ( coverge et que = ( = l g est cotiue sur [0, [ et de sige costat au voisiage de à gauche. Doc, f a ue limite quad x ted vers par valeurs iférieures si et seulemet si g est itégrable sur [0, [. Mais alors, d après la questio., ε et seulemet si g est itégrable sur [0, [. Or, quad x ted vers, x p = ( x( + x x p p(x. coverge si 5 c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.

6 D autre part, quad x ted vers, p Doc, si ε i 0, ( p ε + ε 2 x ε p x p = ε i + o(. p g ε i p x et g est pas itégrable au voisiage de. Das ce cas, ε diverge. Si p ε i = 0, g est le quotiet d u polyôme admettat pour racie par d u polyôme admettat pour racie simple. Par suite, la fractio ratioelle g admet pas le ombre pour pôle. g se prologe doc par cotiuité e et est doc itégrable sur [0, [. Das ce cas, ε coverge. Fialemet, p ε coverge si et seulemet si ε i = 0. Si p est impair, o a jamais 5. Exemple. Pour x [0, [, p ε i = 0 (car ε i {, } et doc ε diverge. Par suite, g(x = + x + x2 x 3 x 4 x 5 x 6 = ( + x + x2 ( x 3 ( x 3 ( + x 3 = + x + x 3 + x2 + x 3 = x 2 x + + x2 + x 3 = (x x2 + x 3 x 0 g(t dt = [ 2 3 Arcta 2t + ] x 3 3 l( + t3 = 2 Arcta 2x l( + x3 + π 3 3 π Quad x ted vers par valeurs iférieures, f(x ted vers l 2 + π 3 3 = 2π l 2. Par suite, 3 = ε = 2π l c Jea-Louis Rouget, Tous droits réservés.