Placement optimal d antennes de téléphonie mobile

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1 87 Placemet optimal d atees de téléphoie mobile Romai BADINA, Justie DIDIERJEAN, Iliyas JORIO, Thomas LE SAUX, Clémet MOUREAUX, Thibault PERRIN, Bejami SAUNIER, Paul-Heri SOUSTRE Pavage hexagoal : régulier mais pas forcémet optimal Notre première piste était de trouver quel polygoe était le plus avatageux pour paver le pla. E admettat que l o pave le pla [il agit surtout das cet article de couvrir le pla] avec u polygoe et que l o iscrive chaque polygoe du pavage das u disque, il ous faut trouver le «redemet» de ce pavage. Nous défiissos le redemet d u polygoe pavat le pla comme la proportio de l aire [du] disque circoscrit à celui-ci [qui est] o recouverte par u disque voisi. élèves de Tle S et de 1ère S, Lycée Erest Bichat, Luéville (54) Eseigats : Geeviève BOUVART, Christie FABRY, Patrick MARCOLÉ Chercheur : Atoie HENROT E gris focé : les pertes (aires recouvertes par plusieurs disques). E gris clair, au cetre : le redemet. Nous sommes parveus à établir la formule suivate, doat l aire utile du disque cetral «fourie» par chaque côté du polygoe iscrit, e foctio du ombre de côtés [Cette aire représete le redemet partiel c est à dire la cotributio d u seul coté au redemet, la formule doée [pour >3] tiet compte du fait que le disque cetral a pour rayo 1] U exemple d agecemet d atees sur ue ville rectagulaire. Ce est pas forcémet ue cofiguratio optimale! Vous trouverez le raisoemet ayat abouti à cette formule e Aexe 1. Selo cette formule, l hexagoe doe le meilleur redemet [partiel], et est doc le meilleur choix pour paver le pla. Sujet Ue compagie de téléphoie mobile veut positioer ses atees das ue ville. Elle a beaucoup de chace car elle peut les mettre où elle veut. O sait que chaque atee a u rayo d actio (ou couverture) doé R. La compagie souhaite qu il y ait aucue zoe o couverte. Comme chaque atee coûte cher, le problème est de recouvrir tout le territoire de la ville avec le miimum d atees. Mots-clés ANTENNE, PAVAGE, PLAN, COUVERTURE, RECOUVREMENT, DIS- QUE, OPTIMISATION, ALGORITHME, PROGRAMME Cepedat, e disposat des disques mauellemet et sas souci de régularité sur ue ville rectagulaire, ous avos trouvé que le ombre d atees aisi utilisé était iférieur à celui doé par le pavage hexa-

2 88 placemet d atees goal. E effet, avec u pavage régulier, certaies atees dépassaiet trop de la ville. Nous ous sommes doc lacés das l écriture d u programme qui agecerait les atees de faço irrégulière. Problème de l agecemet irrégulier Le redemet de la répartitio irrégulière doit être plus efficace que le pavage hexagoal. Par abus de lagage, ous utiliseros le mot «atee» pour désiger «l aire de couverture d ue atee» [c est u disque]. Pour débuter la réflexio, o sait qu ue répartitio régulière est pas la solutio optimale. Tetos alors ue répartitio aléatoire à l aide d u ordiateur. O remarque que cette solutio est loi d être optimale : le territoire est pas couvert etièremet, malgré u ombre d atees à priori suffisat! Trop d atees se recoupet iutilemet. Trop d atees dépasset de la ville. Pour avoir ue couverture optimale, o veut doc résoudre ces problèmes : Deux atees devraiet se recouper le mois possible. Ue atee devrait dépasser le mois possible de la ville. Le cycle [du programme] Le programme tete de résoudre ces deux problèmes e partat d ue cofiguratio vide d atee. O travaille «pas à pas», par cycles [successifs] dot le déroulemet est le suivat: (1) Das chaque cycle, o vérifie d abord si les atees couvret au mois 99% de la ville. (Trouver ue couverture d exactemet 100% est rare e pratique.) Si c est le cas, o a trouvé ue cofiguratio optimale et le programme se termie là. (2) Si ce est pas le cas, o corrige très légèremet la positio des atees. Cette correctio cosiste à appliquer des forces de répulsio mutuelle aux atees se recoupat, aisi que des forces de répulsio aux atees dépassat de la ville. (3) Si la correctio de la positio des atees a eu aucu effet, c.à.d que les atees ot pas bougé, cela sigifie que toutes les forces appliquées à celles-ci s aulet. O a alors ue cofiguratio stable, mais les atees e couvret pas suffisammet de surface (d après l étape (1)). Il faut alors rajouter ue atee aléatoiremet sur la ville et recommecer le cycle. Ce cycle va être répété des milliers de fois jusqu à obtetio d ue couverture optimale. Veuillez vous reporter à l Aexe 2 pour u orgaigramme résumat le foctioemet d u cycle. Correctio de la positio d ue atee Mais alors, commet déplacer les atees? Il faut d abord savoir que le programme dispose d ue liste d atees das laquelle chaque etrée cotiet : - les coordoées du cetre de l atee : (x ; y). - u vecteur-force, qui matérialise la correctio de positio à appliquer à l atee. Sachat cela, voici ce qui se passe das le cycle quad o corrige la positio des atees : a) Pour chaque atee A i de la liste, calculer sa force. b) Pour chaque atee A i de la liste, corriger sa positio e appliquat. Notez qu il y a deux boucles distictes. O pourrait peser qu il serait plus écoomique de utiliser qu ue seule boucle où l o appliquerait la force à l atee A i directemet après l avoir calculée. Alors, quelle est l utilité d itérer deux fois sur la liste d atees? Il est écessaire de trouver toutes les forces appliquées aux atees avat de corriger leurs positios. E effet, si o corrigeait la positio de l atee immédiatemet après avoir trouvé sa force, cela fausserait le calcul des forces suivates puisque le calcul déped des positios des atees adjacetes. [Les auteurs e préciset pas commet est calculé le déplacemet à chaque boucle de calcul, i combie de fois les boucles sot effectuées das leur programme.] Calcul de C est ue routie appelée par le cycle qui se charge de trouver. Cette routie s occupe doc d ue seule atee à la fois. S il y a N atees das la ville, le cycle appelle cette routie N fois. Voyos alors ce que fait ladite routie lorsque le cycle lui demade de corriger la positio de A (la -ième atee de la liste): Réiitialiser e posat =. Si A recoupe A p, ces deux atees doivet se repousser mutuellemet. Pour cela, il faut ajouter à ue force de répulsio adéquate (cf ci-après).

3 placemet d atees 89 Si A dépasse de la ville, elle doit être repoussée vers l itérieur de la ville. Pour cela, ajouter à ue force de répulsio adéquate (cf ci-après). Répulsio etre deux atees Si ue atee A de cetre O A recoupe ue atee B de cetre O B, o souhaite appliquer à A ue certaie force de répulsio, dot les caractéristiques sot : origie O A, directio (O A O B ), ses opposé à O B, orme choisie de maière que la force soit d autat plus grade que la distace O A O B est petite. Problèmes e suspes? Tout d abord, le programme arrive très raremet à obteir ue cofiguratio optimale et ue couverture parfaite (100%). La couverture est doc cosidérée comme satisfaisate à partir de 99%. [Les auteurs e préciset ulle part commet est évaluée la surface couverte]. De plus, otre approche de la répulsio par la bordure est problématique. Admettos que les poits gris (tous aligés, e bas) sur la figure ci-dessous représetet les positios successives du cetre O d ue atee se déplaçat de gauche à droite. Les poits oirs (sur le périmètre du polygoe) représetet les positios successives du poit P, coteu sur le périmètre de la ville, le plus proche de O. Das otre modèle, la orme [et le déplacemet] est choisie proportioelle à (2R état la distace maximale etre les cetres de deux atees sécates). [Das u autre modèle, mis au poit e fi d aée, la répulsio a été choisie selo la 3 ème loi de Newto.] Répulsio par la bordure Soit ue atee A de cetre O A et soit P le poit du périmètre de la ville le plus proche de O A. Lorsque PO A <R, c est à dire lorsque l atee commece à dépasser de la ville, o souhaite lui appliquer ue certaie force de répulsio dot les caractéristiques sot: origie O A, directio (PO A ), ses vers l itérieur de la ville, orme choisie égale à celle qui résulterait du recoupemet d ue atee ivisible B tagete e P à la bordure de la ville. Voici deux exemples : Etre les positios 5 et 6, le poit P chage brusquemet de segmet. Cela se traduit par u vecteur-force qui chage subitemet de directio, provoquat u effet de «spasme» pour l atee. Ce spasme est d autat plus remarquable si des forces exteres la pousset à rester das cette zoe de trasitio : l atee bascule alors icessammet etre deux positios successives, ce qui uit à la stabilité de la cofiguratio, aisi qu au calcul des forces des atees adjacetes. Nous avos pas ecore réussi à résoudre ce problème. Actuellemet, le programme l attéue e créat ue «ceiture itere» au polygoe, c est à dire ue versio «dégoflée de la distace R» du polygoe. Sur la figure : e trait cotiu, le polygoe origial ; e poitillés, la ceiture itere. E fait, cette techique iverse le problème : la bordure de la ville e repousse plus les atees ; c est plutôt la ceiture itere qui les attire de faço à ce qu elles e s échappet pas de la ville. Plus ue atee s approche de l extérieur de la ville, plus elle est repoussée fortemet vers l itérieur. Das otre modèle [iitial] la orme [et le déplacemet] est choisie proportioelle à. E gris : les zoes de spasmes apparaissat e foctio du mode de répulsio choisi. E iversat le problème, les spasmes disparaisset effectivemet autour des parties covexes [saillates] du polygoe (e théorie les

4 90 placemet d atees plus courates). Mais des spasmes survieet désormais das les parties cocaves [retrates] du polygoe. Le problème est mois visible mais existe toujours. Cela ous permet toutefois de pouvoir expérimeter sas problème avec des polygoes covexes. De plus, cette techique limite fortemet la complexité d ue ville. Le «dégoflemet» a pour effet secodaire de simplifier le cotour d u polygoe. Aisi, la distace maximum d ue atee à la ceiture itere état 2R (au-delà, l atee est strictemet hors de la ville et doc iutile), il se peut que des portios de la ville e soiet jamais couvertes. Exemple. Si o pred la Frace comme «ville», ue partie de la Bretage et de la Normadie e sera jamais couverte à partir d ue certaie valeur de R, du fait d ue simplificatio trop agressive du polygoe Frace. pour paver le pla. Ce problème est appareté à celui résolu récemmet (T. C. Hales, The Hoeycomb Cojecture) où il s agissait de rechercher la forme qui pavait le pla avec u périmètre miimal pour ue aire doée. La solutio est là aussi u hexagoe régulier comme l ot découvert les abeilles das la cofectio de leur habitat. Vous pouvez télécharger le logiciel que ous avos écrit à cette adresse : Il est préseté sous forme d u petit jeu, mais le mode «expérimetatio» permet de placer des atees mauellemet et de mettre e évidece le foctioemet de otre algorithme. Le Fiistère et la «poite» du Coteti e sot pas couverts lorsque R deviet trop grad, du fait d ue simplificatio trop poussée du polygoe Frace. Coclusio L image ci-dessous a été produite avec le programme après avoir placé quelques atees au hasard et attedu la stabilisatio de la cofiguratio. * * * Aexe 1 - Formule de retabilité. Idée : paver [e fait couvrir] le pla avec u polygoe régulier. Chaque polygoe serait iscrit das u disque représetatif de la couverture d ue atee. Quel polygoe choisir? Il doit être le plus «retable» : o doit pouvoir couvrir u maximum de surface avec u miimum d atees. Commet calculer u idice de retabilité? Preos u polygoe régulier au hasard à côtés [...]. Le polygoe. Le disque cetral a doc disques adjacets. Plus il y a de côtés das le polygoe, plus il y a de disques adjacets. Et plus il y a de disques adjacets, plus ces deriers vot se recouper iutilemet etre eux (aire B), mais mois ils vot empiéter sur le disque cetral (aire A). (cf. schéma ci-dessous) Aire A e gris, aire B e damier. À gauche =4, à droite =7. O costate que A 4 <A 7 et B 4 <B 7 L épaisseur des traits gris focé motre l itesité des forces de répulsio des atees Avec le programme, au bout d u certai ombre d atees placées, o remarque que leur dispositio ted à ressembler au pavage hexagoal... Et ceci «aturellemet», sas que le programme e tete de former cette dispositio e particulier! Ce qui cofirme ce que ous avios trouvé au début : l hexagoe est le plus efficace O veut doc trouver le meilleur équilibre etre les aires A et B, e sachat que quad augmete, A dimiue, et B augmete. Pour simplifier le problème, o se cocetre uiquemet sur le disque cetral : ous allos pas calculer l aire B, mais simplemet cosidérer que doit être petit (puisque B augmete avec ), tout e cherchat à avoir ue aire A la plus petite possible. E d autres termes, si le disque cetral est de rayo 1 (doc d aire π), o souhaite que l aire «π A» soit la plus grade possible, pour u le plus petit possible. O cherche doc pour quelle valeur de le rapport π A s approche le plus de π. [Ce choix est arbitraire ; il reviet e fait à redre le rapport le plus grad possible.] Ce rapport correspod aussi à l aire utile «cotribuée» par chaque côté du polygoe au disque cetral. E effet, à chaque côté du polygoe correspod ue sectio circulaire. Il y a sectios. Sachat cela, ous pouvos calculer le rapport ci-dessus.

5 placemet d atees 91 Soit S l aire d ue sectio circulaire de otre disque de rayo 1, d aire π : S = π Soit S U l aire utile d ue sectio (i.e. o recouverte par u autre disque) : S U = S- A. C est le rapport qui ous itéresse. Commet calculer A/? Ci-cotre, u schéma d u secteur circulaire avec le disque adjacet s y rattachat [le dessi serait différet pour =3]. Lorsqu u disque adjacet est préset, l aire «A/» est formée (e gris) ; et, de l autre côté de (AB), u autre secteur apparaît, symétrique par rapport à l axe (AB). Doc, e otat s l aire du triagle OAB, o a : 1 2. A = S - s d où S U = 2s-S [le résultat est égatif pour =3] OAB est u triagle isocèle doc la médiatrice (OH) est aussi bissectrice de l agle. Vu que OA=OB=1, o a : O e déduit que : Aisi : S U = 2s-S = si 2π - π Cette formule ous doe doc l aire cotribuée au disque cetral par chaque côté du polygoe, e foctio du ombre de côtés. [...] Le tableau ci-cotre présete le rapport S U /π sous forme de pourcetage (coloe «%»), soit le pourcetage de l aire utile totale du disque cotribuée par u côté du polygoe). (Note à propos du résultat égatif pour =3 : tracez ue figure et vous verrez que les disques adjacets se recoupet à l itérieur du disque cetral, d où ce résultat égatif. Cela arrive qu avec le triagle.)? % 3 5,77 % 4 6,83 % 5 10,27 % 6 10,90 % 7 10,60 % 8 10,01 % 9 9,35 % Aisi, le plus petit ombre, tel que l aire «π A» soit la plus grade possible, semble être 6 : l hexagoe semble être le polygoe le plus avatageux pour paver le pla. Cela tombe bie car l hexagoe peut paver le pla, cotrairemet à l heptagoe (10,60 %) ou au petagoe (10,27 %). Aexe2 - Orgaigramme résumat le déroulemet d u cycle du programme