Utilisation d un code de Hamming pour corriger des erreurs en rafale

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Gauthier Brosseau
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1 Utilisation d un code de Hamming pour corriger des erreurs en rafale Caractères Code ASCII En rouge: les bits de contrôle H a m i n ordre de transmission des bits g c o d e IFT2/IFT2 Hiver 2

2 Codes correcteurs d erreurs distance de Hamming: un exemple 2 Codes avec un bit de parité Distance de Hamming de 2: chaque code valide diffère d au moins 2 bits ne peut pas détecter les erreurs de 2 bits: le code résultant corrompu correspond à un code valide IFT2/IFT2 Hiver 2

3 Codes correcteurs d erreurs: définitions Erreur la plus simple à détecter: erreur sur un bit isolé. Distance de Hamming permet d identifier le bit erronné. Code: k bits de données, n bits au total code (n,k) Taux de codage efficacité du code ratio k / n Redondance k / n Codes de Hamming: surtout utilisées dans les applications qui ont des erreurs isolées sur un seul bit, e.g., les systèmes de mémoire des semi-conducteurs Codes les plus utilisées dans les transmissions de données: les codes convolutionnels IFT2/IFT2 Hiver 2

4 IFT2/IFT2 Hiver 2 4 Codes de Hamming: un exemple x x x x Considérer les bits de données égaux à, et considérer la représentation en base deux de leurs indices Le code transmis est

5 Codes de Hamming: un exemple (suite ) 5 Code transmis Vérification : considérer les bits de données et de contrôle qui sont égaux à : calculer leur représentation en base la somme est égale à pas d erreur de transmission IFT2/IFT2 Hiver 2

6 Codes de Hamming: un exemple (suite 2) Code transmis : erreur de transmission sur le bit # Vérification : considérer les bits de données et de contrôle qui sont égaux à : calculer leur représentation en base Identification du bit erroné soit en base 2! IFT2/IFT2 Hiver 2

7 Codes de Hamming: un exemple (suite ) Code transmis : 2 erreurs de transmission sur les bits # et # Vérification : considérer les bits de données et de contrôle qui sont égaux à : calculer leur représentation en base identification d au moins erreur de transmission pas de possibilité d identifier les bits erronés pas possible d identifier les erreurs de transmission sur plus que 2 bits IFT2/IFT2 Hiver 2

8 Contrôle de redondance cyclique (CRC) Cyclic Redundancy Code Traite le bloc de données comme un énorme nombre binaire Division du nombre binaire par un autre nombre fixé à l avance Reste de la division valeur du CRC Récepteur refait le calcul avec le même diviseur: comparaison de sa valeur avec le CRC reçu Effet de chaque bit du bloc de données est différent sur le résultat final à cause de sa position dans le dividende IFT2/IFT2 Hiver 2

9 Contrôle de redondance cyclique (CRC) Cyclic Redundancy Code 9 Division appliquée sur un bloc de données considéré comme un nombre Format du bloc de données Dividende Diviseur Quotient Reste <42><C><F><> Hexadécimal <D> <59F9> <2> <42CF> <><><><> Binaire <> <> <> <> IFT2/IFT2 Hiver 2

10 Contrôle de redondance cyclique (CRC) Cyclic Redundancy Code Arithmétique modulo 2 : exécuter les calculs (addition et soustraction) en négligeant la retenue ou l emprunt OU exclusif Opération réversible : si on applique le deuxième opérande sur le résultat de la première opération Négliger la notion de grandeur après le bit le plus significatif > mais n est pas plus grand que : + (on oublie les retenues) (on oublie les emprunts) Observation : Effectuer la division lorsque le nombre divisé et le diviseur sont de la même grandeur IFT2/IFT2 Hiver 2

11 IFT2/IFT2 Hiver 2 Contrôle de redondance cyclique (CRC) Cyclic Redundancy Code Division en arithmétique modulo-2 Quotient Diviseur reste (divise) (divise) (ne divise pas) (ne divise pas) (divise) Dividende

12 Méthode de calcul du CRC 2 Émetteur M(x) polynôme associé au bloc de données. Bits sont les coefficients du polynôme. Dividende M(x). Diviseur : polynôme de contrôle G(x). Bloc M(x) est augmenté de r degré(g(x)) zéros M (x) 2 r M(x) Division : 2 r M(x) / G(x) arithmétique modulo 2 2 r M(x) Q(x) G(x) + R(x) 2 r M(x) / G(x) Q(x) + R(x) / G(x) T(x) bloc transmis R(x) 2 r M(x) T(x) est divisible par G(x) : T(x)/G(x) (R(x) 2 r M(x)) / G(x) Q(x) R(x)/G(x) R(x)/G(x) Q(x) Récepteur Calculer le CRC du bloc transmis T(x) / G(x) Si le reste est égal à : pas d erreur de transmission IFT2/IFT2 Hiver 2

13 Calcul de la valeur du CRC pour un bloc de données ÉMETTEUR RÉCEPTEUR pas d erreur! M(x) C(x) x 4 + x M(x) R(x) 2 4 M(x) D(x) T(x) IFT2/IFT2 Hiver 2

14 Calcul de la valeur du CRC pour un bloc de données 4 ÉMETTEUR RÉCEPTEUR Question Quese passet-ilsi E(x)? erreur de transmission M(x) C(x) x 4 + x M(x) R(x) 2 4 M(x) D(x) T(x) IFT2/IFT2 Hiver 2

15 Polynômes de contrôle et CRC 5 CRC Polynôme de contrôle CRC- x + x 5 + x 2 + CRC-2 x 2 + x + x + x 2 + x + CRC- x + x 5 + x 2 + CRC-CCITT x + x 2 + x 5 + CRC-2 x 2 + x 2 + x 2 + x 22 + x + x 2 + x + x + x + x + x 5 + x 4 + x 2 + x + IFT2/IFT2 Hiver 2

16 Taux de détection des erreurs avec un CRC sur bits Type d erreur Sur bit Sur 2 bits Nombre impair de bits Suite de bits ou moins Suite de bits Suite de bits ou plus Taux de détection % % % % 99,99 % 99,99 % IFT2/IFT2 Hiver 2

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