Pavage d un rectangle avec des carrés

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1 Mth en Jens Pvge d un rectngle vec des crrés Lycée Sud-Medoc / Lycée Montigne Guillume Cmelot, Luc Drné, Antoine Crof, Budouin Auzou, Rémy Ptin, Elodie Mrtin, Hélène Mrtin, Aurélie Verdon en prtenrit vec Robert Deville (Université Bordeux ) Présenttion du sujet On dispose d un rectngle de côtés et tel que > et =. On divise lors le rectngle en crrés de longueur et on obtient lors deux possibilités : Soit on obtient exctement que des crrés de côté. Soit ce n est ps le cs et il reste lors un rectngle de lrgeur u < <. Ce nouveu rectngle pour dimension et u. On peut remrquer qu en renouvelnt le procédé dns le rectngle restnt, on peut obtenir diverses situtions : Ici, le procédé s rrête qund 3 crrés de côté u ont été trcés. u

2 Mth en Jens u Ici, le procédé s rrête ux crrés de côtés u 3. Il insi fllu poursuivre le procédé. u 3 Ici, le procédé s rrête ux crrés de côtés u 4. u u 4 u 3 On peut donc se demnder si le phénomène s rrête toujours ou si il peut dns certines situtions être infini. Pr quelles lois est régi le découpge d un rectngle en crrés? u Modélistion du procédé Le procédé peut être ssimilé à l construction d une suite. Ainsi pr exemple, on peut voir l suite suivnte : = + u = 3u + u 3 u = 5u 3 + u 4... On plus générlement u n = p n u n+ + u n+ vec p n N. Lycée Sud Medoc Pge sur 7 Lycée Montigne

3 Mth en Jens Sitution pour lquelle le rpport des longueurs est rtionnel Nous llons ici étudier le cs où est rtionnel. On peut lors procéder à un "chngement d unités" tel que > et, N. Pr exemple, si = et = 9, on considère = 9 et =. On remrque ici que l suite s rrête. On insi : 9 = + 7 = = = = 3 On ne peut regrder ces clculs sns penser à l lgorithme d Euclide. Il en résulte que si le rpport est rtionnel lors on peut prendre, N et à prtir de ceci, on peut utiliser l lgorithme d Euclide. L suite des (u n ) ser insi entièrement composée d entiers nturels, ser décroissnte et minorée, et bien sûr finie. Trouver le dernier terme u n revient donc à chercher le PGCD de et. En conclusion, si le rpport est rtionnel, le procédé s rrête u bout d un nombre fini de découpge. Réciproquement, nous llons montrer que si le procédé s rrête lors forcément le rpport est un rtionnel. Pour cel, nous llons reprendre un exemple. De l première églité, on en déduit que : 37 = = + = 5 + = 37 3 = + 3 = + 3 Mis l seconde églité donne elle 3 = +. En utilisnt ces deux églités, on obtient finlement : 37 3 = + 3 = + + On peut répéter lors le procédé pour obtenir finlement 37 3 = = + + On montre insi que le rpport est égl à une frction que l on dit frction continue construite à prtir du procédé de découpge. On constte u niveu de cette frction continue l suite des p n intervennt dns le procédé de découpge. Si donc le procédé de découpge s rrête, il est lors possible d exprimer comme une frction Lycée Sud Medoc Pge 3 sur 7 Lycée Montigne

4 Mth en Jens continue finie. Or une frction continue finie est un nombre rtionnel. En conclusion, cel veut dire que si le procédé de découpge s rrête lors le rpport est un nombre rtionnel. 3 Qund le rpport des longueurs est irrtionnel Comme on vient de le prouver, on sit que l suite des u n est finie uniquement si le rpport initil est rtionnel. Donc dns le cs où est irrtionnel, l suite est infinie. Cependnt, on observe qu elle reste décroissnte pr construction (on prend toujours l plus petite longueur pour construire les crrés). On bien > > u >... Mis même si cette suite se poursuit indéfiniment, elle peut être régulière. Nous llons en voir ici quelques exemples. Pour cel, nous llons utiliser un petit progrmme qui v nous permettre d obtenir l décomposition en frction continue d un nombre irrtionnel. Pr exemple, pour obtenir l frction continue de, on pplique le procédé de découpge à un rectngle de longueur et de lrgeur. On constte qu près voir enlevé un premier crré, à chque fois, on enlève deux crrés. L frction continue de donne : = Cette frction continue est bien infinie. De plus, comme on pu le voir précédemment, on retrouve dns cette frction continue l suite des p n intervennt dns le procédé de découpge. C est à cette suite de (p n ) que l on s intéresse. Le tbleu ci-dessous montre l pprition de régulrité dns l décomposition en frction continue p p p p p p p Lycée Sud Medoc Pge 4 sur 7 Lycée Montigne

5 Mth en Jens On voit donc bien ici pprître une périodicité dns l suite des (p n ). Cette périodicité fit pprître des cycles. C est à cette périodicité que nous llons nous intéresser. 3. Cycle de longueur Un cycle de longueur, cel signifie que l on peut construire toujours le même nombre de crré dns un rectngle à un rng n donné. Exemple : = et = Comprons le rectngle R 0 (, ) vec R 3 (u 3,u 4 ). On.6 et u 3,57. u 4 Donc les rectngles R 0 et R 3 sont presque similires. Leurs longueurs sont presque proportionnelles. Dns le cs ci-dessus, nous vons étudié vec un seul crré se formnt à chque fois, ce qui se trduit pr u n = u n+ + u n+. L suite des u n s écrit sous l forme u n = q n + bqn ( ), et b dépendnt de et. Donc on : u n = u n+ + u n+ q n + bqn = qn+ + bq n+ + q n+ + bq n+ Si b = 0 et 0 lors on q n = qn+ + q n+ ce qui entrîne que = q + q (q 0). De même si = 0 et b 0, on obtient = q + q. Finlement q et q sont tous les deux solutions de l éqution x + x = 0. Il s git d une éqution du second degré de discriminnt = 4 ( ) = 5. On obtient insi comme solutions : q = + 5 et q = 5 Dns le cs générl, à chque étpe se formerient α crrés. On donc : Pr le même procédé, on obtient : u n = αu n+ + u n+ vec u n = q n + bq n = αq + q et = αq + q Ainsi q et q sont solutions de l éqution x + αx = 0 dont le discriminnt est égl à = α + 4. De ce fit, on : q = α + α + 4 et q = α α + 4 = α + α + 4 L éqution est de l forme x Sx + P = 0 donc on : q.q = donc q = q. De plus α soit α + α + 4 > donc q > et donc <. q Donc q <, or q.q < 0 et q < 0 donc q > 0. Finlement q ]0;[. Mis on sit que 0 u n < quelque soit n N ce qui donne que 0 q n +bqn < quelque soit n N. Or l suite formée des termes bq n n est ps bornée si b 0 puisque q < donc on en déduit que b = 0. Ceci entrîne que u n = q n donc (u n) est une suite géométrique. Cel vérifie bien les reltions d grndissement et de proportionnlité vérifiée dns l exemple. Donc, dns le cs d un nombre constnt de crré α, on : u n =.q n vec q = α + α + 4 ; de plus, lim u n = 0 n + résultt fourni pr le chercheur et les professeurs Lycée Sud Medoc Pge 5 sur 7 Lycée Montigne

6 Mth en Jens Le rpport initil doit lors être : = q = α + α + 4 Est fournie en Annexe une utre démonstrtion proposée pr le chercheur. 3. Si p n lterne entre deux vleurs Exemple : On suppose que p n lterne entre les vleurs = et b =. On s perçoit lors que les rectngles sont deux à deux des réductions, comme ici les deux exemples hchurés. On pose lors v n = u n et w n = u n+. On se demnde si ces deux suites sont des suites géométriques. Ces deux suites sont définies pr : { vk = w k + v k+ w k = bv k+ + w k+ Dns le cs générl, on ur : w k = v k v k+ et w k+ = v k+ v k+ v k v k+ = bv k+ + v k+ v k+ { vk = w k + v k+ v k v k+ = bv k+ + v k+ v k+ On obtient finlement v k (b + )v k+ + v k+ = 0. Donc si l suite (v k ) est une suite géométrique de rison q lors q doit être solution de l éqution q (b + )q + = 0. Cette éqution pour discriminnt = (b + ) 4 = b(b + 4). Et on suit lors le même risonnement que pour l sitution précédente. On ur q = b + b(b + 4), l utre vleur étnt strictement supérieure à. On donc vec cette vleur pour q, v n = q n v 0 soit u n = q n et donc =. De plus, u q w n = u n+ = v n v n+ = q n q n+ = q n q. Exemple d ppliction : Avec = et b =, on q = + ( + 4) 3 et u = ( 3), ce qui correspond bien à une réduction. 3 Les vleurs initiles serient et =. 4 Annexe = 4 3 On se plce dns l sitution où l suite des (p n ) présente un cycle de longueur, ce qui veut dire qu elle est constnte. Ceci entrîne que tous les R n sont similires (on enlève à chque fois un même nombre de crrés donc les longueurs de deux rectngles consécutifs sont proportionnelles). = Lycée Sud Medoc Pge 6 sur 7 Lycée Montigne

7 Mth en Jens Dns ce cs, on = u n+ u n qui est indépendnt de n, et donc u n =.u n =.u n = n.. Comme = u n+ u n = p n u n + u n u n = p n +, on en déduit que est solution de l équ- tion x + p n x = 0 pour tout n (en effet, on = p n + donc = p n + ). Or comme l suite (p n ) est constnte égle à p, est donc solution de l éqution x +px = 0. Pour p =, on enlève un seul crré à chque fois. On lors 0 < < et rcine de x + x = 0. Donc = + 5. Si on choisit =, on lors u n = n. Lycée Sud Medoc Pge 7 sur 7 Lycée Montigne

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