Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations

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1 Théorie Financière 2. Valeur actuelle Evaluation d obligations

2 Objectifs de la session 1. Comprendre les calculs de Valeur Actuelle (VA, Present Value, PV) Formule générale, facteur d actualisation (discount factor) et taux d intérêt du marché Formules utiles Taux d intérêt et intérêt composés Taux d intérêt réels et nominaux 2. Introduire les principales catégories d obligations 3. Comprendre l évaluation des obligations 4. Analyser le lien entre taux d intérêt et cours des obligations 5. Introduire la structure par terme des taux d intérêt 6. Examiner pourquoi les taux d intérêt peuvent varier en fonction de la maturité 2

3 Valeur Actuelle et Actualisation Combien un investisseur serait-il prêt à payer en t = 0 pour recevoir C t dans t années connaissant le taux du marché r t? Nous savons que 1 0 => (1+r t ) t 0 en t D ou PV (1+r t ) t = C t => PV = C t / (1+r t ) t = C t v t Le processus permettant de calculer la valeur actuelle (present value) des cash flows futurs s appelle l actualisation (discounting) La valeur actuelle d un cash flow futur est obtenue en multipliant ce cash flow par un facteur d actualisation (discount factor ou present value factor) v t La formule générale pour un facteur d actualisation pour t-années est: v t 1 (1 r ) Le processus permettant de calculer la valeur future des cash flows s appelle la capitalisation (coumpounding) t t 3

4 Valeur Actuelle (formule générale) Cash flows: C 1, C 2, C 3,,C t, C T Facteurs d actualisation: v 1, v 2,,v t,, v T Valeur Actuelle: PV = C 1 v 1 + C 2 v C T v T Un exemple: Année Cash flow Facteur d actualisation Valeur actuelle VAN = =

5 Comment Estimer les Taux d Intérêt?

6 Les U.S. Treasury STRIPS STRIPS Separate Trading of Registered Interest and Principal of Securities Prix de zéro-coupon Exemple: Supposons qu on observe les cours suivants Maturité Prix pour une valeur nominale/faciale de $100 (face value) Le prix de marché pour $1 dans 5 ans est v 5 =

7 Taux d intérêt spot Supposons que le cours d un zéro-coupon avec une maturité de 5 ans et une valeur faciale de 100 est de 75. Quel est alors le taux d intérêt sous-jacent? Le taux de rendement actuariel (YTM, yield-to-maturity) d une obligation est le taux d intérêt qui égalise le cours avec la valeur actuelle des cash flows futurs. Sachant que 75 = 100 * v 5 et v 5 = 1/(1+r 5 ) 5 Le YTM r 5 est la solution de: (1 r 5 5 ) La solution : r % Équivaut au taux d intérêt spot à 5 ans 7

8 Structure par terme des taux d intérêt Relations entre taux d intérêt spot et maturité. Exemple: Maturité Prix (facial de 100) YTM (Spot) r 1 = 2.00% r 2 = 2.79% r 3 = 3.41% r 4 = 3.70% r 5 = 4.56% La structure par terme: est croissante si r t > r t-1 pour tout t plate (flat) si r t = r t-1 pour tout t est décroissante (ou inverse) si r t < r t-1 pour tout t 8

9 9 Euro: Structure par Terme Source: European Central Bank:

10 Utilisation d un taux unique Lors de l analyse de cash flows sans risque, il est important de capturer la structure par terme des taux: les taux d actualisation devraient varier avec la maturité. Dans le cas de cash flows risqués, la structure par terme des taux est souvent ignorée. Les valeurs actuelles sont souvent calculées en utilisant un taux d actualisation unique r, identique pour toutes les maturités. Ce taux représente la rentabilité attendue (espérée). Cette hypothèse simplificatrice permet de considérer les formules pour des: Perpétuités (constantes ou croissantes à taux constant ) Annuités (constantes ou croissantes à taux constant ) 10

11 Techniques d Actualisation

12 Perpétuité: Exemple 12

13 Perpétuité constante C t =C pour t =1, 2, 3,... PV C r r>0 Preuve: PV = C d + C d² + C d3 + PV(1+r) = C + C d + C d² + PV(1+r) PV = C PV = C/r Exemples: Actions Privilégiées (Preferred stock) payant un dividende fixe Si r =10% et le Dividende annuel = 50 Valeur de Marché P 0? Note: prix attendu en t = 1 => Rentabilité attendue = div Et si r diminue à 8%? P ( P P P P ) ( ) % 13

14 Perpétuité croissante C r C t =C 1 (1+g) t-1 pour t=1, 2, 3,... r>g PV 1 Exemple: Evaluation d action basée sur: Prochain dividende div 1, et croissance long terme du dividende g g Si r = 10%, div 1 = 50, g = 5% Note: Prix attendu en t = 1 P P ,000 1,050 Rentabilité attendue = div ( P1 P ) P 0 50 (1,050 1,000) 1, % 14

15 Annuité constante Une séquence de cash flows durant un nombre fixé de périodes C 1 = C 2 = = C T = C Exemple: Remboursement constant dans le cadre d un crédit hypothécaire Remboursement d'un crédit à la consommation PV = C * v 1 + C * v C * v T + = C * [v 1 + v v T ] = C * Facteur d Annuité Facteur d Annuité = valeur actuelle d 1 payé à la fin de chacune des périodes T. 15

16 Annuité constante C t = C pour t = 1, 2,,T PV C 1 [ 1 ] r>0 T r (1 r) Différence entre deux perpétuités: Commençant en t = 1 PV= C/r Commençant en t = T+1 PV = C/r [1/(1+r) T ] Exemple: crédit hypothécaire sur 20 ans Paiement annuel = 25,000 Taux d emprunt = 10% PV =( 25,000/0.10)[1-1/(1.10) 20 ] = 25,000 * 10 *( ) = 25,000 * = 212,839 16

17 Annuité croissante C t = C 1 (1+g) t-1 pour t = 1, 2,, T r g Si r g: Si r = g: De nouveau différence entre deux annuités croissantes: Commençant en t = 1, premier cash flow = C 1 Commençant en t = T+1 avec comme premier cash flow = C 1 (1+g) T Exemple: Quelle est la VAN du projet suivant si r = 10%? Investissement initial = 100, C 1 = 20, g = 8%, T = 10 VAN= [20/(10% - 8%)]*[1 (1.08/1.10) 10 ] = = C 1 1 PV 1 r g 1 C1 PV T 1 r g r T 17

18 Formules utiles: résumé Perpétuité constante: C t = C pour tout t r>0 PV C r Perpétuité croissante : C t = C t-1 (1+g), pour t = 1 à r>g PV r C 1 g Annuité constante: C t =C, pour t = 1 to T r>0 (si r = 0 => VA = C*T) PV C r (1 1 (1 r) T ) Annuité croissante : C t = C t-1 (1+g), pour t = 1 à T si r g: si r = g: PV PV C1 (1 g) (1 r g (1 r) C1 T 1 r T T ) 18

19 Périodicité des Taux d Intérêt

20 Périodicité des Taux Taux mensuel vs. taux annuel (1 + taux mensuel) 12 = 1 + taux annuel Exemples: Financement Emprunt Hypothécaire Obligations US (paiement tous les 6 mois) 20

21 Fréquence des paiements d intérêts Jusqu à présent, intérêts payés annuellement Si n paiements par an, la valeur avec intérêts composés sera après 1 an de : Exemple: Paiement mensuel : ( 1 r ) n Taux d intérêt annuel annoncé = r = 12%, n = 12 Valeur avec intérêts composés après un an: ( /12) 12 = Taux d intérêt annuel Effectif: 12.68% Taux d intérêt continu: [1+(r/n)] n e rn (e= ) Exemple : Taux d intérêt annuel annoncé = r = 12%, e 12% = Taux d intérêt annuel Effectif: 12.75% n 21

22 Jongler avec les fréquences de paiement Supposons que le taux d intérêt annuel effectif soit de 10% Considérons une perpétuité avec cash flow annuel C = 12 Si ce cash flow est payé une fois par an: PV = 12 / 0.10 = 120 Supposons maintenant que le cash flow est payé une fois par mois (le cash flow mensuel vaut 12/12 = 1). Quelle est alors la valeur actuelle? Solution 1: considérons qu une période = 1 mois 1. Calculons le taux d intérêt mensuel (en gardant le taux effectif annuel constant) (1+r mensuel ) 12 = 1.10 r mensuel = % 2. La formule de la perpétuité donne: VA = 1 / =

23 Jongler avec les fréquences de paiement Solution 2: utiliser le taux d intérêt annuel annoncé 1. Calculer taux d intérêt annuel annoncé = % * 12 = 9.568% 2. Utiliser la formule pour une perpétuité : PV = 12 / = A l évidence, ces éléments ne sont pas intuitifs, d ou un danger d abus par des personnes malveillantes mais aussi une potentielle difficulté pour comparer différentes offres. Concept de TAEG = Taux Annuel Effectif Global et législation fixant les taux maximaux légaux 23

24 Taux d intérêt et inflation: Taux d intérêt réel Taux d intérêt Nominal = 10% Date 0 Date 1 Investissement $ 1,000 Montant perçu $ 1,100 Hamburger se vend $1 $1.06 Taux d inflation = 6% Pouvoir d achat (# hamburgers) H1,000 H1,038 Taux d intérêt Réel = 3.8% (1+Taux Nominal) = (1+Taux Réel) (1+Inflation) Approximation: Taux Réel Taux Nominal - Inflation 24

25 LES OBLIGATIONS

26 Obligation zéro-coupon Catégories d obligation (1/2) Obligation remboursable en une seule fois («bullet bond» ou «pure discount bond») Le détenteur de l obligation a un droit à recevoir: un paiement futur (la valeur faciale/nominale/ ou le principal) F à une certaine date dans le futur (l échéance) T Valeur d un zéro-coupon: VA = F (1 + r T Exemple: un zéro-coupon 10 ans avec une valeur faciale de 1000 $ Si le taux d intérêt à 10 ans est de 5% (taux spot à 10 ans), le zéro-coupon sera vendu pour ) T 1000 VA = 10 = (1.05) 26

27 Catégories d obligation (2/2) Obligation classique (Level-coupon bond) Paiements d intérêts périodiques (coupons) Europe : le plus souvent une fois l an US : tous les 6 mois Coupon généralement exprimé en % de la valeur nominale/faciale ou du principal (Taux du coupon) A échéance, généralement, remboursement de la valeur nominale/faciale Exemple : Obligation d Etat émise le 31 mars 2016 Taux du Coupon: 6.50% Valeur faciale 100 Échéance

28 Coupon, valeur faciale 28

29 Valoriser une obligation avec coupons P 0 C C r (1 + r) = C (1 + r) T (1 + r) T = C * Facteur d' Annuité * DF T Exemple: Si r = 5% P0 = 6.5 Facteur d' Annuité (5 ans, r = 5%) +100 DF5 = = NB: Si P 0 > F: l obligation se vend au-dessus du pair Si P 0 <F: l obligation se vend en-dessous du pair Prix espéré un an plus tard P 1 = Rentabilité espérée: [ ( )]/ = 5% 29

30 Yield to maturity ou Taux de Rendement Actuariel (TRA) Si on connaît le cours de l obligation Yield to maturity = taux d actualisation implicite C C C F Solution de l équation: P T 1 y (1 y) (1 y) 30

31 TRA vs TRI Le rendement actuariel est le taux de rentabilité interne (TRI) d un investissement dans une obligation A B C D E F G H Yield to maturity - illustration Coupon 7% Face value 100 Maturity 6 years Price Cash flows Yield to maturity 5.98% B11. =IRR(B9:H9) 31

32 32 Quand une obligation cote-t-elle au-dessus du pair? Notations: C = coupon, F = valeur faciale, P = prix (cours) Supposons C / F > y 1 an avant l échéance: 2 ans avant l échéance : Si: P 1 > F F P y F C F y F C P y P C P avec y F C P 1 1 F y F C F y F C P P 0 > F C/F > y

33 Une obligation classique, somme de zéro-coupon «Découper» l obligation classique en autant de zéro-coupon que de paiements Si le taux du marché = 5% et le coupon vaut 6.5% Valeur faciale Echéance Valeur Zéro Zéro Zéro Zéro Zéro Total

34 Loi du Prix Unique Supposons que l on observe les données suivantes: Maturity Bond Price A B C Que valent les taux d intérêt sous-jacents? Méthode de Bootstrap = v = v v = v v v Discount factors Spot rates 3% 4% 5% 34

35 Bond market price Sensibilité des ZC aux taux d intérêt Bond price as a function of market interest rate % 5% 10% 15% 20% Market interest rate 5-year ZC 10-year ZC 15-year ZC 35

36 Quels éléments influencent le prix? Obligation Coupon Échéance YTM initial A 12% 5 ans 10% B 12% 30 ans 10% C 3% 30 ans 10% D 3% 30 ans 6% Source: Bodie, Marcus and Kane (2008) 36

37 Malkiel (1962) Toutes autres choses étant égales par ailleurs: 1. Le prix des obligations est inversement relié aux taux actuariels 2. Un accroissement du YTM d une obligation entraîne une plus petite variation de prix qu une diminution de YTM de même magnitude 3. Le cours d obligations à LT tend à être plus sensible à une variation de taux 4. Le risque de taux est inversement relié au taux du coupon de l obligation => Apparition du concept de duration pour tenir compte de ces éléments Reference: Burton G. Malkiel, Expectations, bond prices and the term structure of interest rates, Quarterly Journal of Economics, 76, (May 1962), pp

38 Duration pour un Zéro-coupon Supposons un zéro-coupon avec une échéance de t années: P Que se passe-t-il si r change? dp dr 100 t (1 r) t1 100 (1 r) t r (1 r) t t t 1 r P Pour un P donné, le changement est proportionnel à l échéance. Comme 1 ère approximation (pour un petit changement de r): P P t 1 r r Duration = Echéance 38

39 Duration pour les Obligations Classiques Supposons une obligation avec les cash flows: C 1,...,C T Similaire à un portefeuille de T zéro-coupon. La valeur de l obligation est: P = PV(C 1 ) + PV(C 2 ) PV(C T ) Fraction investie dans chaque zéro-coupon t: w t = PV(C t ) / P Duration : moyenne pondérée des échéances des zéro-coupon D = w w w w t t + + w T T 39

40 Duration - exemple Revenons à notre obligation à 5ans au coupon de 6.50% (taux d intérêt du marché = 5%): Valeur faciale VA w t ZC % ZC % ZC % ZC % ZC % Total Duration D = 5.81% % % % % 5 = 4.44 Ceci représente la duration si le taux d intérêt vaut 5% Pour des obligations classiques, duration < échéance 40

41 Formule générale: Estimation de la variation de prix sur base de la duration P P Duration 1 r r Dans l exemple: Duration = 4.44 (quand r = 5%) Si Δr =+1% : %/(1+5%) = % Check: Si r = 6%, P = ΔP/P = ( )/ = % Différence due à la convexité 41

42 Duration - maths Si le taux d interêt change: Divisons les deux termes par P pour déterminer le % de changement: Comme: dp dr dpv ( C1) dpv ( C2) dpv ( CT )... dr dr dr 1 2 T PV( C1) PV ( C2)... 1 r 1 r 1 r dp dr PV ( C 1 1 PV( C1) PV( C2) PV( C ( T P 1 r P P P PV( C1) PV( C2) PV( CT ) Duration T P P P T ) T ) ) On obtient: dp dr 1 P Duration 1 r 42

43 Gestion obligataire Deux types de risque interviennent dans la gestion obligataire: 1. Le risque de taux (quand les taux montent le prix baisse et vice versa) 2. Le risque de réinvestissement (à quel taux est-il possible de réinvestir les coupons reçus?) Ces éléments vont dans des directions opposées!!! Stratégie d immunisation : se couvrir contre les changements de taux. Idée de base: deux portefeuilles de même duration réagissent identiquement à des changements de taux. Supposons que nous recevons un dépôt de 10,000$ pour lequel nous devons payer un intérêt de 8% en moyenne chaque année pour les 5 prochaines années. Le paiement se fera cependant en une fois dans 5 ans. Nous devrons donc: 10,000 x (1.08) 5 = 14,693.28$ Comment pourrions-nous nous couvrir du risque de taux? En achetant une obligation classique à 5 ans avec un taux du coupon de 8%? 43

44 Immunisation Si les taux restent constants: pas de problème, les coupons seront réinvestis à du 8% et finalement nous aurons: 10,000 x (1.08) 5 = 14,693.28$ Que se passerait-il cependant si les taux devaient varier? Imaginons que les taux changent l an prochain puis demeurent à leur nouveau niveau? Taux Valeur en t = 5 5% 14420,51 6% 14509,67 7% 14600,59 8% 14693,28 9% 14787,77 10% 14884,08 44

45 Immunisation Cet exemple montre que l échéance seule ne nous permet pas de couvrir notre position de manière satisfaisante... Alternative: stratégie d immunisation basée sur la duration Dans notre cas: un paiement final ZC donc la duration à couvrir = échéance. Une obligation classique à 6 ans payant un coupon de 8% a presque la même duration. Voyons ce que ça donne dans ce cas là... 45

46 Année Immunisation (1/3), taux passe à 7% Années restantes Valeur finale Total x , x x x Revente obligation 0 10,800/ , TOTAL 14,

47 Année Immunisation (2/3), taux passe à 9% Années restantes Valeur finale Total x , x , x x Revente obligation 0 10,800/1.09 9, TOTAL 14,

48 Année Immunisation (2/3), taux passe à 6% Années restantes Valeur finale Total x , x x x Revente obligation 0 10,800/ , TOTAL 14,

49 Taux Spot Taux spot yield to maturity d un zéro-coupon Considérons les cours suivants pour des zéro-coupon (Face value = 100): Echéance Prix 1 an ans Le taux spot à un an est obtenu en résolvant: r1 1 r 1 5% Le taux spot à deux ans est obtenu en résolvant : r 2 2 (1 r ) 2 5.5% L achat d un ZC à deux ans implique qu on investit à un taux moyen de 5.5% sur ces deux ans Mais on peut vouloir emprunter de t = 1 à t = 2 en fixant le taux déjà aujourd hui quelle devrait être sa valeur? 49

50 Taux Spot et Taux forward an 1 an Taux connu en t=0 2 ans Taux inconnu en t=0 50

51 Taux Forward Supposons que le taux à un an soit égal à 5%. Quel taux puis-je obtenir pour la seconde année? Ce taux est nommé le taux forward Il se calcule comme suit: (1.05) (1+f 2 ) = 100 f 2 = 6% De manière plus générale: En résolvant pour f 2 : (1+r 1 )(1+f 2 ) = (1+r 2 )² 2 (1 r2 ) d1 f r d 1 2 La formule générale devient: f t 1 rt (1 r t ( ) dt 1 1 t1 t1) dt 1 Si la relation liant les taux spot aux taux forward n était pas vérifiée, il y aurait des opportunités d arbitrage 51

52 Taux forward: exemples Echéance Discount factor Taux Spot Taux Forward Taux spot à 3 ans : Forward d un an de t=2 à t= 3: r3 ( ) 3 (1 r ) % 3 (1 r3 ) d f (1 r ) d % 52