Absence d arbitrage et martingales

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1 ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Travail de diplôme Absence d arbitrage et martingales par Lionel Gomez Sanchez Sous la responsabilité du professeur Robert C. Dalang assisté du Dr. Benjamin Bergé Département de Mathématiques Février 2002

2 Remerciements Je tiens à remercier ici toutes les personnes qui m ont apporté leur soutien pour l accomplissement de ce travail de diplôme. Mes remerciements vont au professeur Robert C. Dalang qui m a accueilli dans son groupe de recherche pour pouvoir faire mon travail de diplôme. Je suis reconnaissant envers mon assistant de projet, M. Benjamin Bergé, pour avoir investi son temps tout au long des semaines et contribué au bon déroulement de ce travail. 1

3 Table des matières Remerciements 1 1 Introduction 3 2 Quelques préliminaires Espérance conditionnelle Propriétés de l espérance conditionnelle Martingales Version régulière de l espérance conditionnelle Modèles utilisés en mathématiques financières Quelques définitions sur les actifs Quelques définitions sur les stratégies Stratégie prévisible Stratégies auto-financée Stratégie admissible Stratégie d arbitrage Marché viable Marché complet Évaluation des options Évaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés complets Un exemple : le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Première approche des options américaines Temps d arrêt optimal et options américaines Temps d arrêt Enveloppe de Snell Décomposition de Doob Application aux options américaines Couverture des options américaines Options américaine et européenne Une preuve du théorème fondamental de la finance lorsque Card(Ω) = Introduction Propositions auxiliaires Une autre preuve du théorème fondamental de la finance 46 2

4 1 Introduction Les banques et les compagnies d asurance ne cessent de prendre de l ampleur par le nombre de services qu elles offrent. Il est possible dans son portefeuille d acheter des actions Swissair, Nestlé afin de chercher à faire du profit. En particulier, le comportement imprévisible du marché des actions semble avoir un comportement ératique. C est pour comprendre ce marché des actions que nous allons nous intéresser aux notions d option (put ou call) et de portefeuille qui sont des termes fréquemment utilisés par les médias. Nous porterons notre attention aussi sur les notions de part d actifs et de prix d actifs beaucoup employées pour décrire les modèles d un marché. Nous aimerions savoir comment ces modèles sont définis pour décrire le comportement d un marché afin de pouvoir faire des prévisions. Les outils de mathématiques financières sont beaucoup utilisés pour trouver des modèles qui peuvent décrire le marché de manière satisfaisante. C est pour répondre à ces questions que nous nous sommes intéressés aux mathématiques financières. Nous allons d abord parler dans ce rapport de quelques outils de probabilité tels que espérance conditionnelle et martingale. Ensuite nous définissons les outils utilisés dans les modèles. Enfin nous donnons plusieurs démonstrations du théorème fondamental de la finance qui stipule que dans un marché où il n est pas possible de réaliser de profit sans prendre de risque, il existe une probabilité équivalente à la probabilité de départ sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Ceci veut dire que nous pouvons utiliser des outils mathématiques afin de pouvoir évaluer le prix des options, se couvrir d éventuels risques et de pouvoir faire des prévisions dans le futur. La première démonstration dans le cas où Card Ω < est issue du livre de Lamberton Lapeyre. La deuxième preuve dans le cas où Card Ω = est dûe à Rogers et la troisième preuve dans le cas où Card Ω = est dûe à Stricker et Kabanov. 3

5 2 Quelques préliminaires Dans toute cette partie, (Ω,F,P) est un espace de probabilité. 2.1 Espérance conditionnelle Définition 2.1 Soit Q une mesure de probabilité sur F. Nous disons que Q est absolument continue par rapport à P si et seulement si pour tout A F vérifiant P(A) = 0 alors Q(A) = 0. Nous notons Q P. L 1 (Ω,F,P) est l espace des classes d équivalence des fonctions intégrables où f et g sont identifiées lorsque f = g P-p.p.. Le théorème suivant permet d établir une relation entre deux mesures de probabilité absolument continues. Le théorème se trouve dans [4]. Théorème 2.1 (Théorème de Radon-Nikodym) Soient P et Q deux mesures finies sur F telles que Q P. Alors il existe une fonction h L 1 (Ω,F,P) telle que Q(A) = h dp. Nous notons dq dp = h. A Dans le théorème qui vient, nous verrons la construction d un outil mathématique beaucoup utilisé, appelé l espérance conditionnelle. Théorème 2.2 (Existence et unicité de l espérance conditionelle) Soit X : Ω R une variable aléatoire réelle telle que X L 1 (Ω,F,P) et B une sous-tribu de F. Il existe une et une seule variable aléatoire Y notée E(X B) vérifiant les propriétés suivantes : (i) Y est B-mesurable ; (ii) pour tout A B, X dp = Y dp. A A Preuve 1 cas : X 0 Existence Sur l espace mesurable (Ω,B), nous considérons les deux mesures P B, restriction de P à B (i.e. P B (A) = P(A) pour tout A B) et Q définie par Q(A) = X dp avec A B. Alors Q P B. En fait si A B vérifie A P(A) = 0, alors X dp = 0 donc Q(A) = 0. A En appliquant le théorème de Radon-Nykodym (avec F = B), il exite une fonction Y L 1 (Ω,B,P B ), (Y est donc B-mesurable i.e.(i)) telle que Q(A) = Y dp pour tout A B i.e. (ii). D où l existence de E(X B). A 4

6 Unicité Montrons que Y est unique. Si Y et Y vérifient (i) et (ii), alors Y Y est B-mesurable donc A = {Y Y 0} B et par (ii) X dp = Y dp = A A Y dp ce qui entraîne (Y Y ) dp = 0 donc Y Y = 0 P-p.s.. A A Le cas quelconque se déduit de la décomposition X = X + X, où X + = max(x,0) et X = max( X,0) Propriétés de l espérance conditionnelle Proposition 2.1 Soient X une variable aléatoire à valeur réelle, α, α R, B une tribu et C une sous-tribu de B. Notons par E l espérance sous P. Alors nous avons les relations suivantes (a) E(αX + α X B) = αe(x B) + α E(X B) Linéarité ; (b) si X 0, alors E(X B) 0 p.s. positivité. Par conséquent si X Y, avec (a), alors E(X B) E(Y B) p.s. ; (c) si X est B-mesurable E(X B) = X p.s. ; (d) E(E(X B)) = E(X) ; (e) E(E(X B) C) = E(X C). 2.2 Martingales Nous allons donner quelques définitions qui vont nous servir à introduire la notion de martingale. Définition 2.2 Une filtration est une famille (F n ) 0 n N de sous-tribus de F vérifiant F n F n+1 pour tout n {0,...,N}. Définition 2.3 Une suite (X n ) 0 n N si pour tout n, X n est F n -mesurable. est adaptée à la filtration (F n ) 0 n N Définition 2.4 Une suite (X n ) 0 n N de variables aléatoires intégrables réelles adaptée est : (i) une martingale si E(X n+1 F n ) = X n pour tout n N 1 ; (ii) une sur-martingale si E(X n+1 F n ) X n pour tout n N 1 ; (iii) une sous-martingale si E(X n+1 F n ) X n pour tout n N 1. 5

7 Remarque 2.1 Si (M n ) n est une martingale, alors E(M n ) = E(M 0 ) pour tout n. Ces définitions peuvent être étendues au cas multidimensionnel, par exemple une suite (X n ) 0 n N à valeurs dans R d est une martingale si chaque composante est une martingale. On peut aussi définir les martingales en temps continu. Définition 2.5 Une suite (H n ) 0 n N de variables aléatoires est prévisible par rapport à la filtration (F n ) 0 n N si pour tout 1 n N, H n est F n 1 - mesurable. La proposition suivante permet de générer des martingales à partir d une martingale et d une suite prévisible. Proposition 2.2 Soit (M n ) 0 n N une martingale et (H n ) 0 n N une suite prévisible par rapport à la filtration (F n ) 0 n N. Posons M = M n M n 1. La suite (X n ) 0 n N définie pour n 1 par X 0 = H 0 M 0 X n = H 0 M 0 + H 1 M H n M n est une martingale par rapport à (F n ) 0 n N. La variable aléatoire (X n ) 0 n N est appelée la martingale transformée de (M n ) n par (H n ) 0 n N. Preuve Pour tout n, la variable aléatoire X n est une somme et produit de fonctions au plus F n -mesurables, elle est donc F n -mesurable, pour 0 n N. De plus pour tout n, en utilisant le fait que H n est F n 1 -mesurable et que M n est une martingale, nous avons E(X n+1 X n F n ) = E(H n+1 (M n+1 M n ) F n ) = H n+1 E((M n+1 M n ) F n ) = 0. Par conséquent E(X n+1 F n ) = E(X n F n ) = X n, ce qui montre que (X n ) n est une martingale. La proposition suivante permet de caractériser les martingales. Proposition 2.3 Une suite de variables aléatoires réelles adaptées (M n ) 0 n N est une martingale si et seulement si pour toute suite prévisible (H n ) 0 n N, 6

8 nous avons ( N ) E H n M n = 0. n=1 Preuve Soit (H n ) 0 n N une suite prévisible. Si (M n ) 0 n N est une martingale, la suite N (X n ) 0 n N définie par X 0 = 0 et X n = H n M n pour 1 n N, est n=1 ( N ) une martingale par la proposition 2.2. Alors E H n M n = E(X n ) = E(X 0 ) = 0. Réciproquement, nous choisissons pour j {1,...,N} fixé, la suite (H n ) 0 n N par H n = 0 pour n j + 1 et H j+1 = 1 A où A est F j -mesurable. La variable aléatoire H n est F n 1 -mesurable donc la suite (H n ) n prévisible. Par suite ( N ) E H n M n = E(1 A (M j+1 Mj)) = 0. n=1 Par conséquent E(M j+1 F j ) = M j. 2.3 Version régulière de l espérance conditionnelle Définition 2.6 Soient X : (Ω,F) (S,S), où (S,S) est un espace mesurable et G une sous-tribu de F. Une mesure µ est appelée la version régulière de l espérance conditionnelle de X sachant G si (i) pour tout A B, ω µ(ω,a) = P({X A} G)(ω) = E(1 X A G)(ω); (ii) pour tout ω, A µ(ω,a) est une mesure de probabilité sur (S,S). Le théorème suivant permet d écrire une intégrale de Lebesgue sous forme d espérance conditionnelle. Ce théorème se trouve dans [3]. Théorème 2.3 Soit f : (S,S) (R,B) et E f(x) <, alors E(f(X) G) = µ(ω,dx)f(x) p.s. R n=1 7

9 3 Modèles utilisés en mathématiques financières Le but de cette partie est de définir des outils de mathématiques financières : les actifs, le prix des actifs, la notion de stratégie d arbitrage. Ces notions seront utilisées pour énoncer le premier théorème fondamental de la finance, dont nous étudierons plusieurs démonstrations se trouvant dans [6], [7], [8]. Ensuite nous étudierons le modèle de Cox-Ross-Rubinstein [6] qui est un exemple concret où nous appliquerons le théorème cité précédemment. 3.1 Quelques définitions sur les actifs Dans cette partie (Ω,F,P) est un espace de probabilité fini, i.e. Card(Ω) <, et soit (F n ) (0 n N) une filtration. La tribu F n peut être interpréter comme l information dont nous disposons au temps n. Dans cette partie nous supposerons que F 0 = {,Ω}, F N = F = P(Ω) et que pour tout ω Ω, P({ω}) > 0. Le vecteur des prix S n = (S 0 n,s 1 n,...,s d n) est tel que S i n est une variable aléatoire réelle F n -mesurable, représente le prix de l actif financier de type i dans le marché. Nous définissons les prix actualisés par S n = S n La variable aléatoire S 0 n représente l actif sans risque, et est tel que S 0 0 = 1. Si le taux d interêt pendant une période est égal à r, alors S 0 n = (1 + r)n, le coefficient β n = 1 est appelé le taux d actualisation. En fait, si un montant Sn 0 égal à β n a été investi au temps 0, celui-ci va rapporter un montant de 1 franc au temps n. L actif sans risque peut être comparé à un compte à la banque à un taux d interêt r. 3.2 Quelques définitions sur les stratégies Définition 3.1 Une stratégie est définie par une suite φ = ((φ 0 n,φ1 n,..,φd n )) 0 n N de variables aléatoires à valeurs dans R d+1, où φ i n représente le nombre de parts de l actif i dans le portefeuille au temps n. Nous allons définir la valeur du portefeuille. Définition 3.2 (i) la valeur du portefeuille au temps n est définie par S 0 n. V n (φ) = φ n.s n = d φ i nsn i ; i=0 8

10 (ii) sa valeur actualisée est Stratégie prévisible Ṽ n (φ) = β n (φ n.s n ) = φ n. S n. Définition 3.3 La stratégie φ est prévisible, si pour tout i {0,1,...,N}, { φ i 0 est F 0 -mesurable et, pour n 1, φ i n est F n 1-mesurable. Cela veut dire que (φ 0 n,φ 1 n,...,φ d n) est complètement déterminé par rapport à l information disponible au temps (n 1) et garde ces valeurs jusqu au temps n Stratégies auto-financée Définition 3.4 Une stratégie est dite auto-financée si l équation suivante est vérifiée pour tout n {0,1,...,N 1} φ n.s n = φ n+1.s n. L interprétation est la suivante : une fois que les nouveaux prix S 0 n,s1 n,...,sd n sont connus, nous calculons φ n+1 sans consommer et sans apporter de richesses extérieures. Remarque 3.1 Si φ est une stratégie auto-financée l égalité suivante est évidente ce qui revient à écrire φ n+1 (S n+1 S n ) = φ n+1.s n+1 φ n.s n ; V n+1 (φ) V n (φ) = φ n+1 (S n+1 S n ). Au temps n+1, la valeur du portefeuille est égale à φ n+1.s n+1. Alors φ n+1.s n+1 φ n+1.s n est le gain net causé par les changements de prix du temps n au temps n + 1. Le profit ou la perte sont dûs uniquement à un changement de prix. Proposition 3.1 Les points suivants sont équivalents. (i) La stratégie φ est auto-financée ; 9

11 (ii) pour tout n {1,...,N}, V n (φ) = V 0 (φ) + avec S j = S j S j 1,j {1,...,N} ; (iii) pour tout n {1,...,N}, n φ j. S j j=1 Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + avec S j = S j S j 1 = β j S j β j 1 S j 1. n φ j. S j Preuve L équivalence entre (i) et (ii) s obtient par la remarque 3.1 et en sommant de 0 à N 1. L équivalence entre (i) et (iii) découle du fait que φ n.s n = φ n+1.s n si et seulement si φ n. S n = φ n+1. S n. Proposition 3.2 Pour toute suite prévisible (φ 1 n,...,φ d n) 0 n N et pour toute variable aléatoire V 0 F 0 -mesurable, il existe une unique suite prévisible (φ 0 n ) 0 n N telle que la stratégie φ = (φ 0 n,φ1 n,...,φd n ) s auto-finance et ait pour valeur initiale V 0. Preuve La condition d auto-financement et la proposition 3.1 impliquent Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + j=1 n (φ 1 j S j φ d j S j d ). j=1 Ṽ n (φ) = φ 0 n + φ1 n S 1 n + + φd n S d n car par définition et S 0 n = 1. Ces deux égalités définissent φ 0 n par φ 0 n = V 0 + n (φ 1 j S j φ d j S j d ) + (φ 1 n( S n) φ d n( S n)) d j=1 n 1 φ 0 n = V 0 + (φ 1 j S j φd j S j d ) + (φ1 n ( S n 1 1 ) + + φd n ( S n 1 d )). j=1 La variable aléatoire est F n 1 -mesurable en tant que somme et produit de fonctions au plus F n 1 -mesurables. 10

12 3.2.3 Stratégie admissible Définition 3.5 Une stratégie φ est dite admissible si elle s auto-finance et si V n (φ) 0 pour tout n {0,...,N}. Remarque 3.2 Nous n obligerons pas φ i n à être positif. Si φ 0 n < 0, nous emprunterons la somme φ 0 n dans l actif sans risque et si φi n < 0 pour i 1, nous dirons que nous sommes à court d actifs de type i. Le fait d être à court d actif ou d emprunter est autorisé mais la valeur du portefeuille doit être positive en tout temps : l investisseur doit être capable de payer ses dettes en tout temps. La valeur du portefeuille doit être positive en tout temps Stratégie d arbitrage Définition 3.6 Une stratégie d arbitrage est une stratégie telle que (i) φ est une stratégie admissible ; (ii) V 0 (φ) = 0 p.s. et P(V N (φ) > 0) > 0. L interprétation de cette notion est que lorsqu il n y a pas de stratégies d arbitrage nous ne pouvons pas faire de profit sans prendre de risque. 3.3 Marché viable Définition 3.7 Un marché est viable s il n y a de stratégie d arbitrage. Lemme 3.1 Si le marché est viable, alors toute suite prévisible, (φ 1,...,φ d ) vérifie G N (φ) / Γ où Γ est le cône convexe des variables aléatoires strictement positives et n G n (φ) = (φ 1 j S j φd j S j d ). j=1 Preuve Par l absurde, supposons que G N (φ) Γ. D abord si Gn (φ) 0 pour tout n {0,...,N} alors le marché n est pas viable. En effet en prenant la suite (φ 1,...,φ d ) et V 0 = 0, d après la proposition 3.2, il existe une stratégie (φ 0,...,φ d ) telle que n ( Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + φ 1 j S j φ d j S ) j d ). j=1 11

13 La variable aléatoire Ṽn(φ) = G n (φ) est positive donc φ est admissible. Par l hypothèse G N (φ) Γ, nous avons ṼN(φ) Γ ce qui entraîne que φ est une stratégie d arbitrage. D autre part si les G n (φ) ne sont pas tous positifs, alors nous pouvons définir n = sup{k {0,...,N} : P( G k (φ) < 0) > 0}. D après la définition de n, il s ensuit que pour n N 1, nous avons pour tout m > n, Gm (φ) 0 et G N (φ) Γ. Nous pouvons définir une nouvelle suite { 0 si j n ψ j (ω) = 1 A (ω)φ j (ω) si j > n où A est l évènement { G n (φ) < 0} F n. Si j > n, ψ est prévisible car φ j s écrit comme un produit de deux variables aléatoires F j 1 -mesurables. Par suite, G j (ψ) = parce que si j > n, nous avons { 0 car ψj = 0 si j n 1 A ( G j (φ) G n (φ)) si j > n G j (ψ) = = j (φ 1 k S k φd k S k d ) k=n j (φ 1 k S k φd k S n k d ) (φ 1 k S k φd k S k d ). k=1 k=1 Par conséquent, Gj (ψ) 0 pour j {0,1,...,N} car G j (φ) 0 si j > n et G n (φ) est positive sur A, ce qui implique que ψ j est une stratégie admissible car Ṽn(ψ) = G n (ψ). Puisque Ṽ0(ψ) = 0 (parce que V 0 (ψ) = 0) et G N (ψ) > 0, alors ψ est une stratégie d arbitrage ce qui contredit la viabilité du marché. Connaissant les prix jusqu au temps n, nous aimerions bien prédire ou trouver une relation entre ces prix connus et les prix du futur. C est avec cette ambition que nous allons donner plusieurs démonstrations du théorème suivant appelé le théorème fondamental de la finance. Théorème 3.1 Le marché est viable si et seulement si il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. 12

14 Preuve Commençons par supposer qu il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Pour toute stratégie auto-financée (φ n ) n, la proposition 3.1 implique n Ṽ n (φ) = V 0 (φ) + φ j. S j. D après la proposition 2.3, Ṽn(φ) est une P -martingale. Donc ṼN(φ) et Ṽ0(φ) ont la même espérance sous P j=1 E (ṼN(φ)) = E (Ṽ0(φ)), où E représente l espérance sous P. Si φ est admissible et a pour valeur initiale Ṽ0(φ) = 0, alors E (ṼN(φ)) = 0. Ainsi Ṽ N (φ) = 0 car ṼN(φ) 0 pour tout ω Ω. Il n existe donc pas de stratégies d arbitrage, le marché est viable. Réciproquement supposons que le marché est viable. Soit L l ensemble des variables aléatoires G N (φ) avec φ une suite prévisible dans R d. { N } L = φ j. S j, φ est une suite prévisible. j=1 L est un sous-espace vectoriel de l ensemble des variables aléatoires réelles définies sur Ω. D après le lemme 3.1, L n intersecte { pas Γ. } Rappelons que Card(Ω) <. Posons K = X Γ/ ω X(ω) = 1. Montrons que K est un convexe compact inclus dans Γ. En effet si X,Y K alors pour tout t [0,1], ω (tx + (1 t)y )(ω) = t + 1 t = 1 donc K est convexe. Il est évident que l ensemble K est borné. De plus K est fermé car si (X n ) n K et X = lim n + X n alors ω Ω X(ω) = ω Ω lim n + X n (ω) = 1 (puisque Card(Ω) est fini, on peut permuter somme et limite). Dans la suite nous allons utiliser le théorème suivant, appelé le théorème de la séparation des convexes. Ce théorème se trouve dans [1]. Théorème 3.2 Soit K un convexe compact et L un sous-espace vectoriel de R n. Si L et K sont disjoints, il existe une fonctionnelle linéaire T définie sur R n, satisfaisant les conditions suivantes : (i) pour tout x K, T (x) > 0 ; 13

15 (ii) pour tout x L, T (x) = 0. Autrement dit L est inclus dans un hyperplan qui n intersecte pas K. Puisque K et L définis précédemment vérifient les hypothèses du théorème de la séparation des convexes, alors pour tout ω, il existe λ(ω) R d telle que T (x) = λ(ω).x. Ainsi nous avons (1) pour tout X K, ω Ω λ(ω)x(ω) > 0 ; (2) pour tout φ prévisible λ(ω) G N (φ)(ω) = 0. ω Ω Pour que la probabilité P définie ci-dessous soit équivalente à P i.e. P({ω}) > 0 si et seulement si P ({ω}) > 0, il faut que λ(ω) > 0 pour tout ω Ω, car λ(ω ) > 0. ω Ω P ({ω}) = λ(ω) ω Ω λ(ω ). De plus pour toute suite prévisible (φ n ) n à valeurs dans R d, nous avons ( N ) E φ j S j = λ(ω) j=1 ω Ω ω Ω λ(ω ) G N (φ)(ω) = 0 car ω Ω λ(ω) G N (φ)(ω) = 0. En utilisant la proposition 2.3 ( S 1 n,..., S d n) est une P -martingale. Remarque 3.3 Si nous ne supposons pas que V n (φ) ne sont pas positives, nous n avons pas de stratégies admissibles, mais la preuve du théorème reste vraie. 3.4 Marché complet Nous définirons une option européenne de maturité N par son profit h 0 F N -mesurable. Un call est une option où nous pouvons acheter un actif dans le marché, par 14

16 exemple au prix S 1 à l échéance N. Si le prix d accord de l actif est K, alors le profit sera h = (SN 1 K) +, où x + = max(x,0). Tandis que pour un put, nous pouvons vendre un actif de prix S 1 dans le marché à l échéance N. Si le prix d accord est K, alors le profit est h = (K SN 1 ) +. L option européenne ne peut être exercée qu à l échéance, nous définissons aussi l option américaine par son profit h 0, F N -mesurable mais elle peut être exercée à tout temps à la différence de l option européenne. Définition 3.8 Un actif conditionnel h est atteignable s il existe une stratégie admissible valant h au temps N. Remarque 3.4 Dans un marché financier viable, nous n aurons qu à trouver une stratégie auto-financée valant h à la maturité pour dire que h est atteignable. Puisque le marché est viable alors il existe une probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. φ est une stratégie auto-financée, alors Ṽn(φ) est une martingale grâce à la proposition 2.2. Ainsi, pour tout n {0,1,...,N}, Ṽn(φ)=E (ṼN(φ) F n ). Si ṼN(φ) 0 (ici ṼN(φ) = h 0), alors d après la positivité de l espérance conditionnelle, Ṽn(φ) 0 et la stratégie φ est admissible. Définition 3.9 Un marché est complet si tout actif conditionnel est atteignable. Cette définition permet de construire une théorie simple sur l évaluation du prix et la couverture des options. Le théorème suivant donne une caractérisation des marchés complets. Théorème 3.3 Un marché viable est complet si et seulement si il existe une unique probabilité P équivalente à P sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Preuve Supposons que le marché est viable et complet. Toute variable aléatoire nonnégative h peut s écrire sous la forme h = V N (φ), avec φ qui est une stratégie admissible. Puisque φ s auto-finance alors h S 0 N N = ṼN(φ) = V 0 (φ) + φ j. S j. j=1 15

17 Si P 1 et P 2 sont des mesures de probabilité équivalentes sous laquelle les prix actualisés sont des martingales, alors (Ṽn(φ)) 0 n N est une martingale sous P 1 et P 2. Il s ensuit que pour i = 1 ou 2 E i (ṼN(φ)) = E i (Ṽ0(φ)) = V 0 (φ) avec E i l espérance sous P i. La dernière égalité provient du fait que F 0 = {,Ω} ce qui entraîne que V 0 (φ) est une constante. Alors ( ) ( ) h h E 1 = E SN 0 2. SN 0 Puisque h est quelconque, il s ensuit que P 1 = P 2 sur F N. Réciproquement supposons que le marché est viable et incomplet. Montrons que P n est pas unique, puisque le marché est complet il existe une variable aléatoire h qui n est pas atteignable. Posons L l ensemble des variables aléatoires de la forme suivante N U 0 + φ n. S n, n=1 où U 0 est F 0 -mesurable et (φ 1 n,...,φ d n) 0 n N est une suite prévisible dans R d qui s auto-finance. D après la proposition 3.1, il existe une stratégie qui s auto-finance et qui a pour valeur initiale U 0. En posant l = U 0 + N n=1 φ n. S n, l est atteignable d après la remarque 3.4. Puisque h/sn 0 n est pas atteignable alors il n est pas dans L. Définissons le produit scalaire (, ) suivant sur l ensemble R Ω des variables aléatoires réelles définies sur Ω par (X,Y ) E (XY ). Puisque L est différent de R Ω, il existe une variable aléatoire Z orthogonale à L. Posons P = ( 1 + Z 2 Z ) P, où X = sup ω Ω X(ω). Il est évident que P et P sont différentes et équivalentes. De plus ( N ) E φ j S j = G N (ω)p ({ω}) = E ( G 1 N (φ)) + E (Z 2 Z G N (φ)) = 0 j=1 ω Ω car E ( G 1 N (φ)) est nulle par la proposition 2.3 et E (Z 2 Z G N (φ)) = 0 par orthogonalité, pour toute suite prévisible ((φ 1 n,...,φd n )). Il s ensuit d après la proposition 2.3 que ( S n ) 0 n N est une P -martingale d où la preuve de la contraposée. 16

18 3.5 Évaluation des options Évaluation et couverture des actifs conditionnels dans les marchés complets Supposons que le marché soit viable et complet et soit P l unique mesure de probabilité sous laquelle les prix actualisés sont des martingales. Soit h une variable aléatoire F N -mesurable positive et φ la stratégie admissible donnant h, i.e. V N (φ) = h. La suite (Ṽn(φ)) 0 n N est une P -martingale, et par conséquent E (ṼN(φ)) = E (Ṽ0(φ)) = V 0 (φ). V 0 (φ) = E ( h ) et plus généralement pour n = 0,1,...,N. SN 0 ( ) h V n (φ) = SnE 0 F SN 0 n. Ainsi, en tout temps, la valeur de la stratégie donnant h est entièrement déterminée par h et le prix des actifs. Nous appelleront V n (φ) le prix de l option, qui est le montant dont nous avons besoin au temps n pour apporter la richesse h au temps N en suivant la stratégie φ. Si l investisseur vend au temps 0 l option à ( ) h E SN 0 il peut suivre la stratégie φ indiquée ci-dessus de façon à générer la somme h au temps N, alors on dira que l investisseur est parfaitement couvert. Remarque 3.5 Il est important de noter que l évaluation du prix des options ne demande seulement que la connaissance de P et pas celle de P. L analyse du modèle de Cox-Ross-Rubinstein montrera comment on peut évaluer le prix des options et la stratégie permettant la couverture dans la pratique Un exemple : le modèle de Cox-Ross-Rubinstein Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein est composé d un actif à risque de prix S n au temps n, 0 n N, et un actif sans risque dont le taux est égal à r 17

19 pendant une période de temps, de prix Sn 0 = (1 + r) n. L actif risqué suit le modèle suivant. Entre deux périodes de temps consécutives, le changement de prix est donné par la relation suivante où 1 < a < b { Sn (1 + a) S n+1 = S n (1 + b). Le prix initial S 0 est connu. Nous supposerons que F 0 = {,Ω} et F = P(Ω). Pour n = 1,...,N, la tribu F n est égale à σ(s 1,...,S n ). Il est clair que (F n ) 0 n N est une filtration. Définissons les variables aléatoires T n = σ(t 1,...,T n ) = F n pour n 1. S n S n 1, pour n = 1,...,N. La tribu Quelques résultats concernant ce modèle Montrons que les prix actualisés ( S n ) sont une martingale sous P si et seulement si E(T n+1 F n ) = 1 + r, pour tout n {0,...,N 1}. Supposons que ( S n ) n est une martingale sous P ) alors E( S n+1 F n ) = S n ( Sn+1 et comme S n est F n -mesurable alors E F n = 1 ce qui implique S n E(T n+1 F n ) = 1 + r. Montrons si le marché est viable, alors r appartient à ]a,b[. En effet si le marché est viable, il existe une mesure de probabilité P équivalente à P sous laquelle ( S n ) n est une martingale. D après ce qui précéde nous avons E (T n+1 F n ) = 1 + r et donc E (T n+1 ) = 1 + r, et puisque T n+1 prend les valeurs 1 + a ou 1 + b avec une probabilité non nulle alors r ]a,b[. Nous donnons quelques exemples de stratégies d arbitrage dans le cas où r / ]a,b[. Supposons que r a. En empruntant le montant S 0 au temps 0, nous pouvons acheter une part de l actif risqué. Au temps N, nous remboursons notre dette, le profit réalisé est S N S 0 (1 + r) N qui est toujours positive puisque S N S 0 (1 + a) N. Ainsi nous pouvons faire un profit sans prendre de risque d où une opportunité d arbitrage. Si r b nous pouvons faire un profit sans risque en étant à cours d actif risqué, puis acheter des actifs sans risque pour rembourser les actifs risqués ainsi réaliser un profit sans risque égal à S 0 (1 + r) N S N. Maintenant nous supposerons que r ]a,b[ et nous définissons p = b r b a. 18

20 Montrons que ( S n ) est une P-martingale si et seulement les variables aléatoires T 1,...,T N sont indépendantes, identiquement distribuées et leur loi est donnée par P(T 1 = 1 + a) = p = 1 P(T 1 = 1 + b) Si les variables aléatoires T 1,...,T N sont indépendantes, identiquement distribués et leur loi est donnée par P(T 1 = 1 + a) = p = 1 P(T 1 = 1 + b), puisque T n+1 est indépendante de F n E(T n+1 F n ) = E(T n+1 ) = p(1 + a) + (1 p)(1 + b) = 1 + r et par conséquent, ( S n ) est une P-martingale. Réciproquement supposons que ( S n ) n est une P-martingale. Alors E (T n+1 ) = 1 + r pour n = 0,...,N 1. Nous pouvons écrire (1 + a)e(1 {Tn+1 =1+a} F n ) + (1 + b)e(1 {Tn+1 =1+b} F n ) = 1 + r. Nous avons aussi E(1 {Tn+1 =1+a} F n ) + E(1 {Tn+1 =1+b} F n ) = 1. En résolvant ces deux équations à deux inconnues, nous obtenons E(1 {Tn+1 =1+a} F n ) = p E(1 {Tn+1 =1+b} F n ) = 1 p. Nous venons de montrer que les T n sont identiquement distribuées pour n = 1,...,N 1. Montrons qu elles sont indépendantes. Par récurrence nous montrons que pour chaque x i {1 + a,1 + b}, P(T 1 = x 1,...,T n = x n ) = n i=1 p i où p i = p si x i = 1 + a et p i = 1 p si x i = 1 + b. Il est clair que la relation est vraie à pour n = 1. Supposons qu elle est vraie à l ordre n et démontrons qu elle est vraie à l ordre n + 1. En utilisant les propriétés sur l espérance conditionnelle, nous avons P(T 1 = x 1,...,T n = x n,t n+1 = x n+1 ) = E ( E(1 {T1 =x 1,...,T n=x n,t n+1 =x n+1 } F n ) ) = E ( 1 {T1 =x 1,...,T n=x n}e(1 {Tn+1 =x n+1 } F n ) ) = E ( 1 {T1 =x 1,...,T n=x n}e(1 {Tn+1 =x n+1 } F n ) ). 19

21 Puisque E(1 {Tn+1 =x i } F n ) = p i, d où la preuve à l ordre n + 1. Nous venons de montrer l unicité de la loi de probabilité sous laquelle les prix actualisés sont des martingales, puisque cette loi est déterminée par celle des T i qui est unique. Alors le marché est complet et il n existe pas de stratégie d arbitrage. Finalement nous allons déterminer la relation de parité entre le put et le call. E représente la probabilité sous P l unique loi de probabilité sous laquelle les prix sont des martingales,c n est la valeur du call, P n est la valeur du put, K est le prix d accord de l option. C n P n = (1 + r) (N n) E ((S N K) + (K S N ) + F n ) = (1 + r) (N n) E (S N K F n ) = S n K(1 + r) (N n) Première approche des options américaines Puisque l option américaine peut être exercée à n importe quel temps entre 0 et N, nous définissons la suite (Z n ) n adaptée à F n, où Z n est le profit immédiat fait en exerçant l option américaine au temps n. Pour le cas d une action de prix S 1 au prix d exercice K avons Z n = (K Sn) 1 + dans le cas d un call et Z n = (Sn 1 K) + dans le cas d un put. Maintenant nous aimerions définir la valeur de l option associée à (Z n ) 0 n N. Pour cela nous allons faire un raisonnement par récurrence descendante. Soit (U n ) 0 n N la valeur de l option américaine. Nous avons U N = Z N ensuite, on se pose la question à quel prix doit-on vendre l option au temps N 1? Si le détenteur de l option exerce directement l option au temps N 1 alors il gagnera la somme Z N 1 sinon il peut l exercer au temps N si l acheteur de l option est prêt à payer le montant Z N. Donc au temps N 1, l acheteur devra gagner le maximum entre Z N 1 et la somme nécessaire au temps N 1 pour générer Z N au temps N. Cette somme est SN 1E 0 ( Z N F N 1 ), alors la valeur de l option au temps N 1 sera ( U N 1 = max Z N 1,SN 1E 0 ( Z ) N F N 1 ). Par récurrence nous définirons la valeur de l option américaine par ( ( )) U n 1 = max Z n 1,Sn 1 0 Un E F Sn 0 n 1, (3.1) pour tout n {1,...,N}. Si nous supposons que le taux d intérêt pendant une période est égal à r alors Sn 0 = (1 + r)n et ( ) 1 U n 1 = max Z n 1, 1 + r E (U n F n 1 ). 20

22 pour tout n {1,...,N}. Posons Ũn = U n S 0 n les prix actualisés de l option américaine. Proposition 3.3 La suite (Ũn) n est une P -sur-martingale. C est la plus petite sur-martingale qui domine la suite ( Z n ) 0 n N. Preuve De l équation 3.1, nous avons pour n = 1,...,N ( ) Ũ n 1 = max Zn 1,E (Ũn F N 1 ), ce qui implique que (Ũn) 0 n N est une sur-martingale dominant ( Z n ) 0 n N. Montrons qu elle est la plus petite. Pour cela considérons une sur-martingale ( T n ) 0 n N qui domine ( Z n ) 0 n N. Nous avons T N ŨN et supposons que T n Ũn. Nous avons ( ) ) T n 1 E Tn F n 1 E (Ũn F n 1, et ainsi ( ) T n 1 max E (Ũn F n 1 ),Ũn 1. Donc par une récurrence descendante, nous venons de montrer que ( T n ) n domine (Ũn) n. 3.6 Temps d arrêt optimal et options américaines Le but de ce paragraphe est d établir le lien entre les temps d arrêt et les options américaines. Nous définissons l enveloppe de Snell qui est un concept important pour résoudre ces problèmes concernant les temps d arrêt Temps d arrêt Définition 3.10 Une variable aléatoire ν prenant des valeurs dans {0,...,N} est un temps d arrêt si, pour tout n {0,...,N}, {ν = n} F n. Remarque 3.6 Comme dans la partie précédente, nous supposons que F = P(Ω) et P({ω}) > 0, pour tout ω Ω. Cette hypothèse n est en aucun cas essentielle. Si elle n a pas lieu, les résultats présentés dans ce chapitre seront vrais p.s.. Nous ne supposons pas que F 0 = {,Ω} et F N = F sauf lorsque nous utiliserons ces résultats dans la finance. 21

23 Remarque 3.7 Montrons que ν est un temps d arrêt si et seulement si pour tout n {0,...,N}, {ν n} F n. En effet si ν est un temps d arrêt, alors {ν n} F n = n {ν = i} F n. Réciproquement si {ν n} F n, alors le complément de {ν = n} est {ν n 1} {ν > n}, l évènement {ν n 1} F n et le complément de {ν > n} est {ν n} F n, alors {ν = n} F n. Maintenant nous allons définir le concept de suite arrêtée à un temps d arrêt. Définition 3.11 Soit (X n ) 0 n N une suite adaptée à la filtration (F n ) 0 n N et soit ν un temps d arrêt. La suite arrêtée à un temps d arrêt ν est définie par X ν n (ω) = X ν(ω) n(ω), i.e. sur l évènement {ν = i} X ν n = { Xj si j n X n si j > n. Remarquons que X ν N (ω) = X ν(ω)(ω) = X j sur {ν = j}). Proposition 3.4 Soit une suite adaptée (X n ) n et ν un temps d arrêt. La suite arrêtée (Xn ν) 0 n N est adaptée. De plus si (X n ) n est une martingale (respectivement une sur-martingale), alors (Xn) ν n est une martingale (respectivement une sur-martingale). Preuve Nous vérifions facilement la relation suivante X ν n(ω) = X 0 (ω) + i=1 n φ j (ω)(x j (ω) X j 1 (ω)) j=1 où φ j = 1 {j ν}, puisque {j ν} est le complément de {ν j 1} qui est F j 1 -mesurable, alors la suite (φ n ) n est prévisible. La variable aléatoire (Xn ν ) est alors une somme et produit de variables au moins F n -mesurables. Elle est F n -mesurable, et par suite est adaptée. En outre si (X n ) n est une martingale, (Xn ν) n est une martingale par rapport à (F n ) 0 n N en utilisant la proposition

24 3.6.2 Enveloppe de Snell Nous considérons une suite adaptée (Z n ) 0 n N et la suite (U n ) n définie comme suit { UN = Z N U n = max(z n,e(u n+1 F n )), pour tout n N 1. L étude de cette suite est motivée par notre première approche des options américaines. Définition 3.12 Soit la suite (Z n ) 0 n N, alors l enveloppe de Snell est la suite (U n ) 0 n N qui est la plus petite sur-martingale qui domine (Z n ) 0 n N. Proposition 3.5 La variable aléatoire définie par ν 0 = inf{n 0 U n = Z n } est un temps d arrêt et la suite (U n ν0 ) 0 n N est une martingale. Preuve Puisque U N = Z N, ν 0 {0,1,...,N}. De plus, nous avons {ν 0 = 0} = {U 0 = Z 0 } F 0, et pour k 1, nous avons {ν 0 = k} = {U 0 > Z 0 }... {U k 1 > Z k 1 } F k car {U k 1 > Z k 1 } a pour complémentaire {U k 1 Z k 1 } qui est F k 1 - mesurable. Pour démontrer que (U ν 0 n ) n est une martingale, nous avons U ν 0 n = U n ν 0 = U 0 + où φ j = 1 {ν0 j}. Pour n {0,1,...,N}, nous avons n φ j U j, j=1 U ν 0 n+1 U ν 0 n = φ n+1(u n+1 U n ) = 1 {ν0 n+1}(u n+1 U n ). Par définition, nous savons que U n = max(z n,e(u n+1 F n )). Alors sur l ensemble {ν 0 n + 1}, nous avons U n > Z n car ν 0 est le plus petit entier pour lequel nous avons l égalité, d où U n = E(U n+1 F n ) et nous en déduisons que U ν 0 n+1 U ν 0 n = 1 {ν 0 n+1} (U n+1 E(U n+1 F n )). 23

25 En prenant l espérance conditionnelle des deux membres de l égalité nous obtenons E(U ν 0 n+1 U ν 0 n F n) = 1 {ν0 n+1}e((u n+1 E(U n+1 F n )) F n ) parce que {n+1 ν 0 } a pour complémentaire {ν 0 n} qui est F n -mesurable. Alors Ce qui prouve que U ν 0 E(U ν 0 n+1 F n) = U ν 0 n. est une martingale. Dans ce qui suit, nous noterons T n,n l ensemble des temps d arrêt prenant leurs valeurs dans {n,...,n}. La propriété de martingale de la suite (U ν 0 ) n permet de voir l importance de l enveloppe de Snell dans les problèmes des temps d arrêt. Corollaire 3.1 Le temps d arrêt ν 0 satisfait U 0 = E(Z ν0 F 0 ) = sup ν T 0,N E(Z ν F 0 ). Si nous considérons Z n comme la somme des gains après un jeu de hasard, nous constatons que le temps d arrêt ν 0 maximise le gain sachant F 0. Preuve Puisque (U ν 0 n ) n est une martingale, nous avons U 0 = U ν 0 0 = E(U ν 0 N F 0) = E(U ν0 F 0 ) = E(Z ν0 F 0 ). D autre part si ν T 0,N, la suite arrêtée (U ν n ) n est une sur-martingale car (U n ) n est l enveloppe de Snell. Nous avons U 0 E(U ν N F 0) = E(U ν F 0 ) E(Z ν F 0 ). En effet si U n est une sur-martingale nous pouvons écrire aussi U n 1 E(U n F n 1 ). En conditionnant par rapport à F n 1 la première inégalité, nous obtenons E(U n F n 1 ) E(U n+1 F n 1 ) d où U n 1 E(U n+1 F n 1 ), de cette même façon nous démontrons que U 0 E(U n+1 F 0 ) ce qui démontre le résultat. Remarque 3.8 Une généralisation du corollaire 3.2 montré précédemment s écrit U n = sup ν T n,n E(Z ν F n ) = E(Z νn F n ). 24

26 Définition 3.13 Un temps d arrêt ν est optimal pour la suite (Z n ) 0 n N si E(Z ν F 0 ) = sup ν T 0,N E(Z ν F 0 ). Alors ν 0 défini précédemment est optimal, maintenant nous allons montrer que ν 0 est le plus petit temps d arrêt optimal. Théorème 3.4 Un temps d arrêt ν est optimal si et seulement si { Zν = U ν (U ν n ) 0 n N est une martingale. Preuve Si la suite arrêtée U ν est une martingale, U 0 = E(Z ν F 0 ), l optimalité est assuré par le corollaire 3.1. Réciproquement, si ν est un temps d arrêt optimal, nous avons U 0 = E(Z ν F 0 ) E(U ν F 0 ). Puisque (U ν n ) n est une sur-martingale, nous avons Donc E(U ν F 0 ) U 0. E(U ν F 0 ) = E(Z ν F 0 ). Et puisque U ν Z ν 0 alors U ν Z ν = 0 parce que E(U ν Z ν F 0 ) = 0, et puisque (U ν n) n est une sur-martingale, alors nous avons Ce qui implique U 0 E(U ν n F 0 ) E(U ν F 0 ). E(U ν n F 0 ) = E(U ν F 0 ) = E(E(U ν F n ) F 0 ). Nous avons E(U ν U ν n F n ) 0, alors U ν n = E(U ν F n ), ce qui prouve que (U ν n ) n est une martingale. Nous allons étudier une décomposition utile dite dans les marchés viables et complets. de Doob qui est utilisée 25

27 3.6.3 Décomposition de Doob Proposition 3.6 Une sur-martingale (U n ) 0 n N se décompose de façon unique sous la forme U n = M n A n, où (M n ) n est une martingale et (A n ) n est une suite prévisible croissante de variables aléatoires valant 0 pour n = 0. Preuve Pour n = 0 nous n avons qu un seul choix, à savoir M 0 = U 0 et A 0 = 0. Ensuite, nous avons U n+1 U n = M n+1 M n (A n+1 A n ). (3.2) En conditionnant par rapport à F n et en utilisant la propriété de martingale de M n et le fait que A n est une suite prévisible, nous obtenons (A n+1 A n ) = E(U n+1 F n ) U n. (3.3) En remplaçant (A n+1 A n ) dans l égalité (3.2), nous obtenons U n+1 E(U n+1 F n ) = M n+1 M n. Par l unicité de M 0 = U 0 et A 0 = 0, M n et A n sont définies de façon unique. En conditionnant par rapport à F n, nous vérifions que M n est une martingale. La croissance de A n s obtient en utilisant la définition d une sur-martingale sur l égalité (3.3). Soit (U n ) n l enveloppe de Snell associée à la suite (Z n ) n. Dans la suite nous donnerons une caractérisation du plus grand temps d arrêt optimal, en utilisant la décomposition de Doob de (U n ) n. Proposition 3.7 Soit (U n ) n l enveloppe de Snell associée à la suite (Z n ) n. Soit (U n ) n = M n A n sa décomposition de Doob. Le plus grand temps d arrêt est donné par { N si AN = 0 ν max = inf{n,a n+1 0} si A N 0. Preuve La variable aléatoire ν max est un temps d arrêt pour n = 1,...,N 1, parce que A n est prévisible. {ν max = n} = {A 1 = 0}... {A n = 0} {A n+1 0} F n. 26

28 Cela est évident pour n = N. De la décomposition U n = M n A n et parce que A j = 0, pour j ν max, nous avons U νmax = M νmax. Ce qui conclut que U νmax est une martingale par la proposition 3.4. Pour montrer l optimalité, il suffit de montrer que U νmax = Z νmax. Nous avons l égalité U νmax = = N 1 j=0 N 1 j=0 1 {νmax=j }U j + 1 {νmax=n}u N, 1 {νmax=j } max (Z j,e(u j+1 F j )) + 1 {νmax=n} Z N. En utilisant la propriété de martingale de M n, nous avons E(U j+1 F j ) = M j A j+1, sur l ensemble {ν max = j}, A j = 0 et A j+1 > 0, alors U j = M j et E(U j+1 F j ) = M j A j+1 < U j. Il s ensuit que d après U j = max (Z j,e(u j+1 F j )), nous avons U j = Z j avec ν max = j. Il reste à montrer qu il est le plus grand temps d arrêt optimal. En effet si ν est un temps d arrêt tel que ν ν max et P(ν > ν max ) > 0, alors en utilisant les propriétés sur les martingales et le choix de M 0 = U 0, alors E(U ν ) = E(M ν ) E(A ν ) = E(U 0 ) E(A ν ) < E(U 0 ). Ce qui implique que U ν ne peut pas être une martingale Application aux options américaines Ces notions sur les temps d arrêt vues précédemment s appliquent aux options américaines et permettent la couverture de celles-ci. Dans la suite nous sommes dans un marché complet Couverture des options américaines Nous avons déjà défini la valeur d une option américaine U n associée à Z n pour tout n N 1, par U N = Z N ( U n = max Z n, SnE 0 ( U ) n+1 F Sn+1 0 n ). 27

29 Par conséquent Ũn est l enveloppe de Snell sous P associée à Z n, où Ũn = U n. Nous déduisons de la remarque 3.8 que Ũ n = sup ν T n,n E( Z ν F n ), S 0 n alors U n = Sn 0 sup E ν T n,n ( Zν S 0 ν F n ). De la décomposition de Doob, nous pouvons écrire Ũ n = M n Ãn, où M n est une P -martingale, et Ãn est une suite prévisible croissante nulle en n = 0. Puisque le marché est complet, il existe une stratégie auto-financée telle que V N (φ) = S 0 N M n, alors ṼN(φ) = M n. La suite ṼN(φ) est donc une P -martingale. Nous avons Ṽ n (φ) = E (ṼN(φ) F n ) = E ( M N F n ) = M n. Par conséquent Ũn = Ṽn(φ) Ãn ce qui entraîne U n = V n (φ) A n où A n = S 0 nãn. De l égalité précédente, il est evident que le vendeur de l option peut se couvrir parfaitement : une fois qu il a reçu le prix initial de l option U 0 = V 0 (φ), il peut générer une richesse égale à V n (φ) au temps n qui est plus grande que U n donc plus grand que Z n. Maintenant nous nous demandons quelle est la date optimale pour exercer l option? La date d exercice est à choisir parmi les temps d arrêt. Pour l acheteur de l option il n est pas question d exercer au temps n lorsque U n > Z n, parce qu il acheterait un actif valant U n (l option) pour une somme Z n (en exerçant l option). Donc une date optimale pour exercer l option est τ telle que U τ = Z τ. D autre part il n est pas question d exercer l option après le temps ν max = inf{j, A j+1 0} 28

30 parce que vendre l option à ce temps fournirait au détenteur une richesse U νmax = V νmax, en suivant la stratégie φ permettant de fournir cette richesse, il obtient un portefeuille dont la valeur est strictement plus grande que celle au temps ν max + 1 jusqu à N, alors nous devons avoir τ ν max, ce qui nous permet de dire que U τ est une martingale. Comme conséquence les dates optimales d exercice sont les temps d arrêt optimaux pour Z n sous P. Mettons nous à la place du vendeur dans le cas où il se couvre en utilisant la stratégie φ ci-dessus, si l acheteur exerce au temps à τ qui n est pas optimal, alors U τ > Z τ où A τ > 0. Dans tous ces deux cas le vendeur fera un profit de V τ (φ) Z τ = U τ + A τ Z τ, qui est positif Options américaine et européenne Proposition 3.8 Soit C n la valeur de l option américaine au temps n associé à une suite (Z n ) 0 n N et c n la valeur de l option européenne définie par la variable aléatoire F n -mesurable h = Z n. Alors C n c n. De plus, Si c n Z n pour tout n {0,1,...,N}, nous avons c n = C n. L inégalité C n c n a un sens puisque l option américaine donne plus de droit que l option européenne. Preuve Puisque ( C n ) n est une sur-martingale, alors C n E ( C N F n ) = E ( c N F n ) = c n d où C n c n. Si c n Z n pour tout n, alors la suite ( c n ) n qui est une martingale sous P, est aussi une sur-martingale dominant ( Z n ) n et puisque ( C n ) n est la plus petite sur-martingale qui domine ( Z n ) n, alors C n c n. Remarque 3.9 On vérifie aisément que si la relation de la proposition 3.8 n a pas lieu, il y aurait des opportunités d arbitrage en vendant les options. Pour illustrer cette dernière proposition, considérons le cas d un marché avec un seul actif risqué de prix S n au temps n et un actif sans risque de taux 29

31 constant égal à r tel que S 0 n = (1 + r) n. Avec les notations utilisées à la proposition 3.8, si nous posons Z n = (S n K) +, c n est le prix au temps n d un call européen d échéance N et de prix d accord K, C n est le prix correspondant au call américain. Nous avons c n = (1 + r) N E ((S N K) + F n ) E ( S N K(1 + r) N ) F n ) S n K(1 + r) N, en utilisant le fait que ( S n ) n est une martingale sous P. Il s ensuit c n S n K(1 + r) (N n) S n K pour r 0. Comme c n 0, nous avons alors c n (S n K) + et par la proposition 3.8, C n = c n. Alors le prix des options américaine et européenne sont identiques. Cela n est pas vrai pour le cas d un put. 30

32 4 Une preuve du théorème fondamental de la finance lorsque Card(Ω) = + Nous allons voir une autre façon de démontrer le théorème fondamental de la finance dans le cas où Card(Ω) =. Cette preuve est dûe à Rogers, elle se trouve dans [7]. 4.1 Introduction Nous utiliserons les mêmes notations que la partie précédente pour le prix des actifs, les stratégies prévisibles et auto-financées. Nous pouvons être à court d actif, utiliser l actif risqué pour payer nos dettes, mais la valeur du portefeuille doit être positive en tout temps. La seule différence avec la partie précédente S n = (Sn, 1...,Sn) d est le vecteur des prix actualisés des actifs risqués, alors le vecteur des prix actualisés de notre portefeuille est S n = (1,Sn, 1...,Sn), d de mêmes pour les stratégies. Dans cette partie nous ne parlerons pas de stratégies admissibles, (voir remarque 3.3). Cela va nous conduire à donner une nouvelle définition de la stratégie d arbitrage. Nous notons que ces deux définitions de la stratégie d arbitrage impliquent qu une stratégie d arbitrage permet de faire du profit sans prendre de risque. Nous allons calculer le profit réalisé par le portefeuille. Proposition 4.1 Le profit réalisé par le portefeuille est : N φ n (S n S n 1 ) = φ N.S N φ 0.S 0. n=1 Preuve En utilisant le fait que φ n est auto-financée, nous obtenons que le gain réalisé par le portefeuille au temps N est N φ n (S n S n 1 ) n=1 = φ 1.S 0 + φ 1.S 1 φ 2.S 1 + φ 2.S 2 + φ N.S N 1 + φ N.S N = φ N.S N φ 1.S 0 = φ N.S N φ 0.S 0. Nous allons donner une nouvelle définition de la stratégie d arbitrage. Définition 4.1 Une opportunité d arbitrage est une stratégie prévisible (φ n ) n 31

33 auto-financée telle que (i) ( φ. S) N ( φ. S) 0 0 p.s.; (ii) P({( φ. S) N ( φ. S) 0 > 0}) > Propositions auxiliaires Proposition 4.2 Les affirmations suivantes sont équivalentes. (i) Il existe une opportunité d arbitrage ; (ii) il existe une variable φ n F n 1 -mesurable à valeurs dans R d, avec n {1,...,N} telle que φ n.(s n S n 1 ) 0 p.s. et P{φ n.(s n S n 1 ) > 0} > 0 ; (iii) il existe une variable φ n F n 1 -mesurable à valeurs dans R d+1, avec n {1,...,N},telle que φ n.( S n S n 1 ) 0 p.s. et P{ φ n.( S n S n 1 ) > 0} > 0. Preuve (ii) (iii) est évidente car φ n.( S n S n 1 ) = φ n.(s n S n 1 ). (iii) (i). Supposons qu il existe m {1,...,N} tel que nous avons φ m.( S m S m 1 ) 0 p.s. et P{ φ m.( S m S m ) > 0} > 0. Construisons la stratégie θ de la façon suivante θ 0 = 1 θ n = 0 pour 1 n N et n m θ n = φ m si n = m. Alors, nous avons ( θ. S) N ( θ. S) 0 = N θ n.( S n S n 1 ) n=1 = φ m.( S m S m 1 ) 0 p.s. { Et P ( θ. S) N ( θ. S) } 0 > 0 = P { φm.( S m S } m 1 ) > 0 > 0. (i) (iii). Soit ( φ) n une stratégie d arbitrage, supposons que ( φ. S) 0 = 0, nous définissons { m = inf n : ( φ. S) n 0 p.s. et P{( φ. S) } n > 0} > 0. 32

34 Un( tel m existe toujours, en particulier pour n = N, ( φ. S) n 0 p.s. et P {( φ. S) ) n > 0} > 0}, alors n N. Nous avons m 1 car ( φ. S) 0 = 0, donc deux cas se distinguent : ou bien P(A) > 0 où A = {( φ. S) m 1 < 0} ou bien ( φ. S) m 1 = 0 p.s.. Si le premier cas a lieu, alors sur l évènement A, nous avons φ m.( S m S m 1 ) = ( φ. S) m ( φ. S) m 1 ( φ. S) m 1 > 0. Si nous posons θ m = 1 A φm, alors θ m.( S m S m 1 ) = 1 A φm.( S m S m 1 ) 0 P({ θ m.( S m S m 1 ) > 0} = P(A) > 0. Nous avons trouvé une stratégie qui vérifie (iii). Dans le deuxième cas nous avons ( φ. S) m = ( φ. S) m ( φ. S) m 1 0 p.s. et P({ φ m.( S m S m 1 )) > 0} = P({ φ m. S m ) > 0} = P(A) > 0. Alors dans tous les deux cas, nous avons trouvé une stratǵie qui vérifie (iii) Nous donnons quelques rappels sur les fonctions convexes qui se trouvent dans [9]. Théorème 4.1 Soit une fonction convexe f : I R, alors f est continue sur I, où I est un sous-ensemble convexe de R d. Proposition 4.3 Soit une fonction ϕ: Ω R d R + vérifiant les propiétés suivantes (i) la fonctionϕ(ω, ) est strictement convexe pour chaque ω ; (ii) la fonction ϕ(,a) est G-mesurable pour chaque a, où G est une soustribu de F. Alors les évènements suivants sont les mêmes et sont G- mesurables. A 0 = {ω Ω / il existe a telle que ϕ(ω,a ) ϕ(ω,a) pour tout a R d } A 1 = {ω Ω / pour chaque a R d \{0}, lim ϕ(ω,ta) = + }. t + Si de plus nous supposons que F (ω) = {a S d 1 / lim ϕ(ω,ta) < + } est t + fermé pour tout ω, alors il est possible de faire un choix α(ω) F (ω) qui est G-mesurable du moment que F (ω). 33

35 Preuve Montrons que A 0 A 1. Soit ω A 0. Par allègement des notations, nous poserons ϕ(a) = ϕ(w,a). Il existe un a tel que ϕ(a ) ϕ(a) pour tout a R d, et supposons par l absurde qu il existe un b R d \{0} tel que lim inf t ϕ(tb) <. Par conséquent, il existe t j tel que ϕ(t j b) converge. Nous posons θ j = 1 1 a t j b. Montrons que 0 θ j 1 et θ j 1 lorsque t j, avec ce choix de θ j, nous avons a j se trouve sur la sphère unité centrée en a. En choisisant un t j assez grand, on obtient 0 θ j 1 et θ j 1 lorsque t j. Soit la combinaison convexe a j = θ j a + (1 θ j )t j b. Nous avons a j a = θ j a + (1 θ j )t j b a = (θ j 1)a + (1 θ j )t j b = 1. Ce qui montre l existence d un tel θ j. La convexité implique ϕ(a j ) θ j ϕ(a ) + (1 θ j )ϕ(t j b). En utilisant l inégalité triangulaire inverse a j a a j a = 1, la suite (a j ) j est donc bornée, il existe une sous-suite qui converge vers a, notons cette sous-suite (a j ) j. Lorsque j, nous obtenons lim t ϕ(a j ) ϕ(a ), alors ϕ(a ) ϕ(a ). Puisque ϕ(a ) ϕ(a ), alors ϕ(a ) = ϕ(a ), ϕ est strictement convexe alors a = a ce qui est absurde car a a = 1, d où A 0 A 1. Réciproquement, montrons A 1 A 0. Soit ω A 1, posons F n = {x S d 1 : ϕ(nx) ϕ(0) + 1} Montrons que F n F n+1. Soit la combinaison convexe nx = n 1 (n + 1)x + 0, puisque ϕ est convexe, alors n + 1 n + 1 ϕ(nx) n 1 ϕ((n + 1)x) + n + 1 n + 1 ϕ(0). Si x F n+1, alors ϕ((n + 1)x) ϕ(0) + 1, donc ( ) n ϕ(nx) ϕ(0) + ϕ(0) + 1. n