2. Champ électrostatique

Transcription

1 . Chmp éectosttiqe Execice 5 Chmp éectiqe céé p dex chges ponctees On considèe dex chges ponctees q' et q' pcées s 'xe des x, espectivement à 'oigine O(,) et point de codonnées (4,) m (voi fige E5).. Détemine e chmp éectiqe point M de coodonnées (,) m.. Détemine foce éectosttiqe execée s ne chge q pcée en M. On sppose q >, q' > et q >> q' de fçon à négige 'intection ente es chges q'. ppictions nméiqes : q' -8 C; q -6 C. M(,) éponses :. E (,88 i + 7,84 j ) V m M + q' j q' O(,) i (4,) x Fig. E5. ne gnde E ( ) ( ) M ; on en dédit qe e chmp éectiqe E M :,88 + 7,84 8,5 V. m 7,84 b. et fit n nge φ ctg 69,8,88 vec ptie positive de 'xe des x. F q E,88 i + 7,84 j µ N dns même diection qe E.. ( ) [ ] M M

2 . Chmp éectosttiqe 9 Execice 6 Chmp éectiqe céé p n sstème de chges qdtiqes On dispose des chges ponctees Q Q Q, et Q Q 4 Q, x sommets d'n cé de côté. Détemine e chmp éectiqe cente O d cé. ppiction nméiqe : Q,6. -9 C; 4 m. Sotion : L fige E6 monte es vectes chmps éectosttiqes céés p chcne des qte chges. Q Q Q 4 Q E E E j Q Q E i x E 4 4 Fig. E6 On ppiqe e pincipe de speposition po e chmp éectosttiqe: E 4 E i i Les chmps éectosttiqes s'écivent espectivement: Q Q E ( cosθ i + sinθ j ) Q Q E ( cosθ i sinθ j ) 4Q 4Q E cosθ i sinθ j 4Q 4Q E cosθ i + sinθ j 4 4 ( ) ( ) Le chmp éectosttiqe tot cente O est donc: Où E Q ( O) E + E + E + E cosθ i π π θ cos θ cos Q Q

3 Execices d'éectosttiqe Q πε Finement, on obtient: E( O) i ppiction nméiqe : Q +,6. -9 C ; 4 m. 9 6, E( O) i E O,8 i V m πε ( ) L'nse des sméties pemet de tove 'oienttion d chmp éectiqe. En effet, 'xe O étnt n xe d'ntismétie, e chmp éectiqe tot est pependicie à 'xe O. Execice 7 nifomément Chmp éectiqe céé p ne tige chgée Une tige métiqe de onge pote ne chge Q éptie nifomément vec densité de chges.. Détemine e chmp éectosttiqe en n point O sité s 'xe de tige à ne distnce d'ne des extémités (Fig. E7). O Fig. E7. Un éecton se dépçnt d'ne distnce d e ong d'ne igne de chmp d'n point à n point B ve s vitesse chnge de v à v B. On considèe qe e point O se tove oin d fi. Détemine densité inéiqe de chges d fi. ppiction nméiqe : cm ; cm ; B 4 cm ; v. 5 m.s - ; v B. 6 m.s - ; e,6. -9 C; m p 9,. - kg. Sotion :. On divise tige de onge et de chge Q, en ééments de onge d et de chge dq (Fig. E7.). Chqe éément d de tige pote ne chge dq d dx. x de j x dx O i P x Fig. E7.

4 . Chmp éectosttiqe Le chmp éectosttiqe de céé p chge éémentie dq dx s expime: dx de i dx i ( P O) πε ( x) 4 Po détemine e chmp éectiqe tot céé p tige chgée, on ppiqe e pincipe de speposition qi consiste à fie sommtion (intégtion de x à x +) de tos es chmps éectiqes éémenties céés p es chges éémenties dq épties s onge de tige. Le chmp éectiqe éstnt céé p tos es ééments de tige qi sont à des distnces difféentes de O, s obtient p intégtion de x à x + de 'expession: Donc: + + dx E i i 4π ε ( ) 4 x π ε x E ( ) i 4π ε + E i 4π ε +. Losqe tige est oin d point O ( >> ), e chmp éectiqe q'ee cée point O est donné p: Q E i i 4π ε π ε 4 Qnd est tès gnd devnt, tige éectisée est éqivente à ne chge ponctee Q. Si 'éecton se tove en où ègne e chmp éectiqe E, i v ête somis à foce éectosttiqe : e F ee i 4π ε cos d'n dépcement éémentie d d poton, foce éectosttiqe effecte n tvi éémentie dw donné p: e e d dw F. d ee. d i.( d i ) + 4π ε 4π ε cos d dépcement d poton de ves B, e tvi effecté est donné p: W B B B dw + e d e 4π ε B e 4π 4π ε ε On tove : e B W B 4π ε B D'pès e théoème de 'énegie cinétiqe, on : B Tvi de foce éectosttiqe vition de 'énegie cinétiqe e B e B 4 π ε B On en dédit densité inéiqe de chges : Donc: B W m ( v v )

5 Execices d'éectosttiqe ( v v ) πε m e B B e B ppiction nméiqe: cm; cm; B 4 cm; v. 5 m.s - ; v B. 6 m.s - ; e,6. -9 C; m e 9,. - kg. (( ) ( ) ) 6 5 9,, ,6,,4 Finement, on tove : 6, 44 C. m µ C. m Execice 8 Chmp éectiqe céé p n fi nifomément chgé infiniment ong Un fi métiqe infiniment ong est chgé nifomément vec densité de chges.. Détemine e chmp éectosttiqe en n point sité s méditice d fi à ne distnce de son miie O (Fig. E8).. Une chge éectiqe positive q se tove point. Sos 'ction d chmp éectiqe céé p e fi métiqe chgé, ee se dépce d'ne distnce d B (Fig. E8); n tvi W s'effecte cos de ce dépcement. Détemine densité inéiqe de chges d fi. ppiction nméiqe : q. -9 C; O cm; OB B 6 cm ; W -5 J. + + q O B x d - - Fig. E8 Sotion :. On se popose de tove e chmp éectosttiqe céé en n point M p n fiment ectiigne infiniment ong, potnt ne chge p nité de onge (Fig. E8.).

6 . Chmp éectosttiqe Po ce, on divise e fiment en petits segments de onge d potnt chcn ne chge dq d. On expime e chmp éectosttiqe de céé p chge éémentie, ( ) en P, en n point M te qeom d d de cos θ sin θ k Le chmp éectosttiqe de céé en M p chge éémentie (smétiqe de P p ppot à O), s obtient de même fçon: d de + d + ( cosθ sinθ k ) dq dq d, sitée d, sitée en P Le chmp éectosttiqe de céé en M p pie de chges éémenties (dq, dq ) po expession: d de de + de ( cos θ ) de vec: P de k θ de O P - - de d πε + q B x cosθ de Fig. E8. En ppiqnt e pincipe de speposition, e chmp éectosttiqe éstnt point M, s obtient en intégnt cette expession de θ à θ π/. E d πε + π cosθ Comme: cosθ +

7 4 Execices d'éectosttiqe os: + cos θ P ies: dθ tg θ, et d cos θ En sbstitnt D où: + et d p es expessions espectives dns cee de E, on obtient: π π E cosθ dθ [ sinθ ] πε πε πε E E π ε. L chge éectiqe q pcée en où ègne e chmp éectiqe E, v ête somise à foce éectosttiqe: q F qe π ε cos d'n dépcement éémentie d de chge éectiqe q, foce éectosttiqe effecte n tvi éémentie dw donné p: dw F. d qe. d q. d π ε cos d dépcement de chge q de ves B, e tvi effecté est donné p: W B B B dw q d q [ n ] q π ε B π ε π ε π ε On en dédit densité inéiqe de chges : πε W B q n ppiction nméiqe : q. -9 C; O cm; OB B 6 cm; W -5 J n 6,74 C m 7 q d n B Execice 9 Chmp éectiqe céé p des distibtions sfciqes de chges non nifomes. On éectise p fottement n disqe cicie en ébonite qi tone à ne vitesse constnte dns n pn hoiont. De cette fçon, densité sfciqe de chges devient popotionnee à distnce d cente d disqe ( σ, où est ne constnte négtive).

8 . Chmp éectosttiqe 5. Expime chge tote Q de coonne en fonction de, et. Donne es dimensions de constnte.. Utiise es sméties po détemine oienttion d chmp éectosttiqe cente O.. Expime e chmp éectosttiqe E en n point M sité s xe de coonne à ne distnce de O. B. Une coonne décopée dns n ce de vee (ons intéie et extéie ) pote ne chge Q distibée vec densité sfciqe de chges σ σ ϕ (σ est ne constnte positive) (Fig. E9). sin. Expime chge tote Q de coonne en fonction de σ, et.. Utiise es sméties po détemine oienttion d chmp éectosttiqe cente O.. Expime e chmp éectosttiqe E en n point M sité s xe de coonne à ne distnce de O. M k σ ϕ P x Fig. E9 Sotion :.. On divise e disqe de on, en nnex éémenties de on intéie et d épisse d. Chqe nne pote ne chge éémentie : dq σ ds σ π d Po détemine chge tote Q potée p e disqe, on fit sommtion (intégtion de à ) de totes es chges éémenties épties s sfce d disqe. L chge tote Q potée p e disqe en ébonite s obtient p intégtion de à de 'expession sivnte, vec ve ppopiée de σ.

9 6 Execices d'éectosttiqe vec: Donc: S π Q σ ds σ d dϕ σ P conséqent : π Q σ ds d d S π Q ds d d Finement, on obtient: ϕ σ ϕ [ ϕ] S Q π π Dns e Sstème Intention, es dimensions de constnte sont: En tiisnt 'éqtion x dimensions, on obtient: [ ] Coomb C mète m. [ ] π [ Q ] [ Chge ] [ Longe ].. L distibtion est invinte dns tote ottion θ to de xe (Fig. E9.): c est ne smétie xie. En tot point de xe O, e chmp éectosttiqe E est poté p xe; i ne dépend qe de. Les pns (xo) et (O) sont des pns de smétie; de même, tot pn contennt xe O est n pn de smétie; e pn (xo) est égement n pn de smétie. Le point O pptient à des pns de sméties othogonx: c est n cente de smétie. Le chmp éectosttiqe E est n point O... On cce e chmp éectosttiqe éémentie céé p n éément de sfce nifomément chgé ds. Cet éément de sfce pote ne chge éémentie: dq σ d dϕ L chge éémentie dq cée n chmp éectosttiqe éémentie de (Fig. E9.): de dq + d dϕ + d d + ( cosθ k sinθ v ) ϕ Finement, on obtient: d dϕ de k v + + +

10 . Chmp éectosttiqe 7 vec cosθ k sinθ v ; cos θ + et v cosϕ i + sinϕ j P conséqent: ; sin θ + d dϕ de k ( cosϕ i + sinϕ j ) M. θ x k j i ϕ dϕ ds d dq Fig. E9. Les composntes dies E x et E s nnent à cse de smétie de évotion to de xe des. Le chmp éectosttiqe éstnt E po diection O. Donc, composnte tie d chmp éectosttiqe éstnt est donnée p : π E d dϕ k 4π ε ( + ) Posons +, os d d. L expession d chmp éectosttiqe pet os s écie: π d E dϕ k ( + ) ( ) [ ϕ] π n + + k + ( ) + + E n k ε +

11 8 Execices d'éectosttiqe π Q Schnt qe : σ S π, constnte s'expime: Q π Le chmp éectosttiqe céé p e disqe se met sos fome: ( + ) + Q E n + B. Le chmp éectosttiqe céé p ne coonne décopée dns n ce de vee (voi Fig. E9.) potnt ne chge Q distibée vec densité sfciqe de chges σ σ sin ϕ (σ est ne constnte positive) se cce de même mnièe qe po e disqe. Les éponses sont es sivntes: B.. Q σ π ( ) B.. voi.. k σ B.. E 4ε + + k Q k ( ) + + M θ x O k i ϕ j v dq Fig. E9.