Un projet en C++: résolution d équations différentielles linéaires.

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1 Un projet en : résolution d équations différentielles linéaires. Novak Daniel jerome.novak@obspm.fr, daniel.reese@obspm.fr Laboratoire Univers et Théories (LUTH) Laboratoire d Études Spatiales et d Instrumentation en Astrophysique (LESIA) CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot Master 2 e année recherche, Septembre 2016

2 Outline 1 : représentation des fonctions 2 Transformée de, dérivée 3 Résolution d équations différentielles

5 : Représentation des fonctions

6 Fonctions sur un ordinateur Approche simplifiée Comment représenter une fonction sur un ordinateur? un ordinateur ne sait gérer que des entiers Afin de représenter une fonctions φ(x) (par ex. interpoler), on peut utiliser : un ensemble fini de ses valeurs {φ i } i=0...n sur une grille {x i } i=0...n, un ensemble fini de ses coefficients sur une base de fonctions φ(x) N i=0 c iψ i (x). Afin de manipuler une fonction (par ex. dériver), chaque méthode s apparente : aux différences finies φ (x i ) φ(x i+1) φ(x i ) x i+1 x i aux méthodes spectrales N φ (x) c i Ψ i(x) i=0

11 Convergence des séries de Fourier φ(x) = cos(x) + sin 7 x φ(x) N a i Ψ i (x) avec Ψ 2k = cos(kx), Ψ 2k+1 = sin(kx) i=0

16 Convergence des séries de Fourier φ(x) = cos(x) + sin 7 x Relative accuracy (max-norm) 1 0,01 0,0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e Number of coefficients N

17 Convergence de la dérivée φ(x) = cos(x) + sin 7 x φ (x) N a i Ψ i(x) avec Ψ 2k = k sin(kx), Ψ 2k+1 = k cos(kx) i=0

22 Convergence de la dérivée φ(x) = cos(x) + sin 7 x Relative accuracy (max-norm) 1 0,01 0,0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e Number of coefficients N

23 Phénomène de Gibbs pas de convergence pour des fonctions discontinues (ou non-périodiques)! φ(x) = { x pour x [0, π] x 2π pour x ]π, 2π[

36 Interpolation polynomiale D après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue peut être approximée comme limite d une suite de fonctions polynomiales. En pratique, si l on connaît les valeurs de la fonctions sur des points de grille {x i } i=0...n, on peut interpoler par des polynômes de Lagrange : N=4 l i (x) = N j=0,j i x x j x i x j y f = 1/(1+16x 2 ) Uniform interpolant mais une grille uniforme n est pas un bon choix phénomène de Runge x

37 Interpolation polynomiale D après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue peut être approximée comme limite d une suite de fonctions polynomiales. En pratique, si l on connaît les valeurs de la fonctions sur des points de grille {x i } i=0...n, on peut interpoler par des polynômes de Lagrange : N=4 l i (x) = N j=0,j i x x j x i x j y f = 1/(1+16x 2 ) Uniform interpolant mais une grille uniforme n est pas un bon choix phénomène de Runge x

38 Interpolation polynomiale D après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue peut être approximée comme limite d une suite de fonctions polynomiales. En pratique, si l on connaît les valeurs de la fonctions sur des points de grille {x i } i=0...n, on peut interpoler par des polynômes de Lagrange : N=13 l i (x) = N j=0,j i x x j x i x j y f=1/(1+16x 2 ) Uniform interpolant mais une grille uniforme n est pas un bon choix phénomène de Runge x

39 Polynômes orthogonaux Les solutions (λ i, u i ) i N d un problème de Sturm-Liouville singulier sur l intervalle x [ 1, 1] : avec p > 0, C 1, p(±1) = 0 ( pu ) + qu = λwu, forment une famille orthogonale par rapport au poids w : (u i, u j ) = 1 1 u i (x)u j (x)w(x)dx = 0 pour m n, forment une base spectrale telle que, pour f(x) régulière (C ) N f(x) c i u i (x) i=0 converge plus vite que toute puissance de 1/N. Les polynômes de, Legendre et, plus généralement de Jacobi font partie de cette catégorie.

43 Quadrature de Gauss Afin de représenter une fonction f(x) à l aide de ses coefficients {c i } i=0...n, il suffit d être capable de calculer i, c i = 1 1 f(x)u i(x)w(x)dx 1 1 (u i(x)) 2 w(x)dx. En pratique, il est avantageux d utiliser la quadrature de Gauss (ici : Gauss-Lobatto) : étant donnés w(x) et N, on peut trouver deux familles {w i } k=0...n et {x i } k=0...n [ 1, 1] telles que g P 2N 1, 1 1 g(x)w(x)dx = N g(x k )w k. k=0

44 Quadrature de Gauss Afin de représenter une fonction f(x) à l aide de ses coefficients {c i } i=0...n, il suffit d être capable de calculer i, c i = 1 1 f(x)u i(x)w(x)dx 1 1 (u i(x)) 2 w(x)dx. En pratique, il est avantageux d utiliser la quadrature de Gauss (ici : Gauss-Lobatto) : étant donnés w(x) et N, on peut trouver deux familles {w i } k=0...n et {x i } k=0...n [ 1, 1] telles que g P 2N 1, 1 1 g(x)w(x)dx = N g(x k )w k. k=0

45 Exemple avec les polynômes de φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 ) φ(x) N a i Ψ i (x) avec Ψ k = T k (x) = cos(k arccos(x)) i=0

50 Exemple avec les polynômes de φ(x) = (1 + 2 sin(5x)) /(1 + x 2 ) Relative accuracy (max - norm) 1 0,01 0,0001 1e-06 1e-08 1e-10 1e-12 1e-14 1e Number of coefficients N

51 Étape n o 1 : Transformée de, interpolation et dérivée

52 Polynômes de Définition Les fonctions associées aux polynômes de {T n (x)} n N sont définies par : x [ 1, 1], T n (x) = cos (n arccos x). Ils sont orthogonaux par rapport au poids w(x) = 1 1 x 2 T n, T p = 1 1 T n (x)t p (x) dx = π 1 x 2 2 (1 + δ 0n)δ np.

53 Polynômes de Calcul des coefficients Les coefficients peuvent se calculer par quadrature de Gauss -Lobatto. Les poids w i et les points de grille sont connus analytiquement. Si N x [ 1, 1], f(x) c i T i (x), i=0 alors on a, avec une très bonne approximation : N c i 1 f(x k )T i (x k )w k, γ i où k=0 ( ) kπ x k = cos, w 0 = w N = π N 2N, w k = π (k = 1... N 1); N et γ i = N k=0 T 2 i (x k )w k.

54 Polynômes de Interpolation Pour calculer la valeur de T n en un point x, on utilise la récurrence : T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x; x [ 1, 1], n 2, T n (x) = 2xT n 1 (x) T n 2 (x). Cela permet de calculer les 7 premiers polynômes de... T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x, T 2 (x) = 2x 2 1, T 3 (x) = 4x 3 3x, T 4 (x) = 8x 4 8x 2 + 1, T 5 (x) = 16x 5 20x 3 + 5x, T 6 (x) = 32x 6 48x x 2 1.

55 Polynômes de Dérivation Si on approxime N f(x) c i T i (x), i=0 alors la dérivée peut être approximée de la même manière : f (x) avec 2 d i = 1 + δ 0i N d i T i (x), i=0 N k c k. k=i+1, (k+i) impair Cette formule vient de la dérivation de la relation de récurrence.

56 TPn o 6 une classe de fonctions En partant des classes Tab et Matrice, implémenter une classe Fonction représentant des fonctions définies sur [ 1, 1] : chaque instance de la classe contiendra la grille de points de Gauss-Lobatto et les valeurs de la fonctions en ces points ; les coefficients seront calculés par quadrature de Gauss-Lobatto et stockés comme membres ; la classe possédera une méthode de calcul de la valeur en un point quelconque de [ 1, 1] et de transformation inverse (coefficients valeurs aux points de grille) ; elle aura aussi une méthode renvoyant la Fonction dérivée. Pour un cahier des charges, voir le fichier Donnees cheb/ppl.cpp.

57 Étape n o 2 : Résolution d équations différentielles linéaires à coefficients constants

58 Opérateurs différentiels linéaires f f c 0. c N d 0. d N = D c 0. c N Tout opérateur différentiel linéaire : f af + bf + c (a, b, c) R 3, peut être vu comme une matrice. L inversion de cet opérateur inversion d un système linéaire La matrice générale est-elle inversible?

59 Opérateurs différentiels linéaires f f c 0. c N d 0. d N = D c 0. c N Tout opérateur différentiel linéaire : f af + bf + c (a, b, c) R 3, peut être vu comme une matrice. L inversion de cet opérateur inversion d un système linéaire La matrice générale est-elle inversible?

60 Conditions initiales La matrice brute n est pas inversible, il n y a pas unicité de la solution tant que les conditions initiales n ont pas été spécifiées. Méthode τ Pour chaque condition, une ligne du système différentiel est remplacée par la condition, exprimée en termes des coefficients inconnus. On choisit évidemment la ligne concernant le plus haut degré du système différentiel. En pratique : pour une condition du type f(x 0 ) = y 0, on remplace les a Ni de l opérateur par T i (x 0 ) et le N e coefficient du membre de droite par y 0 ; pour f (x 0 ) = y 0, on fait la même chose, mais avec T (x 0 ).

61 TPn o 7 les classes d équations différentielles Concevoir une classe abstraite Equa diff contenant : n, le degré de représentation spectrale des fonctions et une Matrice contenant l opérateur ; le vecteur (Tab) membre de droite de l équation et le nombre de conditions au bord à imposer ; des fonctions impose conditions bord(), resout() ; une fonction calcule operateur homogene() virtuelle pure. À partir de cette classe de base, faire deux classes dérivées : Equa un représentant les équations différentielles du premier ordre ay + by = f, où (a, b) R 2 et la fonction f sont donnés. (a, b) seront les nouvelles données et la fonctions virtuelle pure définie. Equa deux représentant les équations différentielles du second ordre ay + by + cy = f, où (a, b, c) R 3 et la fonction f sont donnés...

62 TPn o 7 les classes d équations différentielles Concevoir une classe abstraite Equa diff contenant : n, le degré de représentation spectrale des fonctions et une Matrice contenant l opérateur ; le vecteur (Tab) membre de droite de l équation et le nombre de conditions au bord à imposer ; des fonctions impose conditions bord(), resout() ; une fonction calcule operateur homogene() virtuelle pure. À partir de cette classe de base, faire deux classes dérivées : Equa un représentant les équations différentielles du premier ordre ay + by = f, où (a, b) R 2 et la fonction f sont donnés. (a, b) seront les nouvelles données et la fonctions virtuelle pure définie. Equa deux représentant les équations différentielles du second ordre ay + by + cy = f, où (a, b, c) R 3 et la fonction f sont donnés...