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1 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID I POLYNÔMES DU SECOND DEGRÉ 1 DÉFINITION Une fonction polnôme de degré est une fonction f définie surrpar f)=a + b+c où a, b, c sont des réels et a 0. EXEMPLES La fonction f définie pour tout réel par f)= 3 + est une fonction polnôme du second degré avec a= 1 3, b=0 et c=. La fonction g définie pour tout réel par g) =+1) 3 est une fonction polnôme du second degré car, pour tout réel, g)= a=4, b=1 et c=1) La fonction h définie pour tout réel par h)= 3 n est pas une fonction polnôme. + 1 FORME CANONIQUE Toute fonction polnôme f de degré définie surrpar f) = a + b+c avec a 0, peut s écrire sous la forme : [ f)=a + b ) ] 4ac 4a. DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0. Comme a 0, pour tout réel, f)=a + b a + c ) a Or + b a est le début du développement de + b ). En effet, + b ) = + b ) b a +. On en déduit que pour tout réel, [ f)=a + b ) ) ] b + c a [ = a + b ) ] 4a + c a [ = a + b ) ] 4ac 4a EXEMPLE Cherchons la forme canonique de la fonction f définie surrpar f)= 3+. Pour tout réel, f)= [ + 3 ] 1 [ = + 3 ) ] Soit pour tout réel, f) = [ + 3 ) ] A. YALLOUZ Page 1 sur 1

2 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID 3 VARIATIONS Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0. Les variations de f dépendent du signe de a : cas a<0 cas a>0 f ) f) + f) f ) + EXEMPLE Soit f la fonction définie surrpar par f)= Ici a= 3, b= et c=1. Ainsi, = 1 3 et f 1 ) = 1. Comme a<0, on en déduit le tableau des variations de f : f) COURBE REPRÉSENTATIVE Dans un repère orthogonal ) O; i, j du plan, la courbe représentative d une fonction polnôme f de degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0 est une parabole. On dit que la parabole a pour équation =a + b+c Le sommet S de la parabole a pour abscisse. Il correspond au maimum ou au minimum surrde la fonction f. La parabole a pour ae de smétrie la droite d équation = f ) cas a<0 cas a>0 S j j O i O i La parabole est tournée vers le bas S f ) La parabole est tournée vers le haut A. YALLOUZ Page sur 1

3 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID II ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ Une équation du second degré à une inconnue, est une équation qui peut s écrire sous la forme a +b+c=0 où a, b, c sont des réels et a 0. [ L équation a + b+c=0 avec a 0 peut s écrire sous la forme a + b ) ] 4ac 4a = 0 [ On pose =b 4ac, l équation a +b+c=0 avec a 0équivaut à l équation a + b ) ] 4a = 0, soit encore + b ) Si <0 alors 4a < 0 et 4a = 0. + b ) 4a > 0. Donc l équation du second degré n a pas de solution. Si =0 alors l équation a + b+c=0 avec a 0 équivaut à l équation + b ) = 0. Donc l équation du second degré a pour unique solution =. Si >0 alors : + b ) 4a = 0 + ) b ) = 0 + b ) + + b ) + b+ + b ) = 0 ) = 0 Donc l équation du second degré a deu solutions 1 = b et = b+ 1 PROPRIÉTÉ Soit S l ensemble des solutions dansrde l équation du second degré a + b+c = 0 où a, b et c sont des réels fiés avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. Si < 0 alors l équation n a pas de solution ; S = /0. Si = 0 alors l équation a une seule solution ; S = { Si > 0 alors l équation a deu solutions ; S = EXEMPLE { }. b ; b+ Résoudre dansrl équation 6 3=7 Pour tout réel, 6 3= =0. Il s agit de résoudre une équation du second degré avec a=6, b= 7 et c= 3 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = 7) 4 6 3)=49+7=11. Comme >0, l équation admet deu solutions : 1 = b Soit 1 = } = 1 3 = b+ Soit = 7+11 = 3 1 { L ensemble des solutions de l équation 6 3=7 est S= 1 3 ; 3 } A. YALLOUZ Page 3 sur 1

4 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID INTERPRÉTATION GRAPHIQUE cas a<0 cas a>0 O <0 La parabole ne coupe pas l ae des abscisses O O =0 La parabole est tangente à l ae des abscisses O >0 1 O 1 O La parabole coupe l ae des abscisses en deu points REMARQUE Les solutions éventuelles de l équation a + b+c=0 sont aussi appelées les racines du trinôme a + b+c. A. YALLOUZ Page 4 sur 1

5 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID III SIGNE DU TRINÔME 1 FACTORISATION Factorisation du trinôme a + b+c avec a 0 : Si <0 alors le trinôme ne se factorise pas. Si =0 en notant 0 l unique racine : f)=a 0 ). Si >0 en notant 1 et les deu racines : f)=a 1 ) ). DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f) = a + b+c avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. [ f)=a + b ) ] 4a. Si <0 alors f) est le produit par a d une somme de deu nombres positifs ; le trinôme ne se factorise pas. Si =0 alors f)=a + b ). Soit en notant 0 = l unique racine on a : Si >0alors f)= a deu racines on a : + b+ ) f)=a 0 ) + b ) f)= a 1 ) ). Soit en notant 1 = b et = b+ les PROPRIÉTÉ Soit f un polnôme du second degré défini surrpar f) = a + b+c avec a 0 et = b 4ac le discriminant du trinôme. Si <0 alors pour tout réel, f) est du signe de a. Si =0 alors f) est du signe de a pour tout réel. Si >0, 1 et désignant les deu racines du trinôme avec 1 < alors f) est du signe de a pour tout réel ] ; 1 [ ] ;+ [ et f) est du signe contraire de celui de a pour tout réel ] 1 ; [. DÉMONSTRATION Soit f une fonction polnôme de degré définie surrpar f) = a + b+c avec a 0 et =b 4ac le discriminant du trinôme. Si <0 alors f) est le produit par a d une somme de deu nombres positifs donc le signe du trinôme est le signe de a pour tout réel. Si =0 alors f)= a + b ) donc f) est nul pour = ; pour les autres valeurs de le signe du trinôme est le signe de a. Si >0, 1 et désignant les deu racines du trinôme avec 1 < alors f)=a 1 ) ). Étudions le signe du produit a 1 ) ) à l aide d un tableau de signe. A. YALLOUZ Page 5 sur 1

6 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ 1 re STID a 1 ) ) signe de a 0 signe de a 0 signe de a REMARQUE On retiendra la règle «Un polnôme du second degré est du signe de a à l etérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. EXEMPLES 1. Résoudre l inéquation Étudions le signe du trinôme 4 +3 avec a= 1 4, b= 1 et c=3 1 4 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = 1) 4 Comme >0, le trinôme admet deu racines : ) 3=1+3=4. 1 = b Soit 1 = 1 1 = = b+ Soit = 1+ 1 = 6 Un polnôme du second degré est du signe de a à l etérieur des racines et du signe contraire de a entre les racines. Ainsi : 6 + Signe du trinôme L ensemble des solutions de l inéquation est S=] ; 6] [;+ [.. Étudier les positions relatives de la parabole P d équation = avec la droite D d équation = 3 Les positions relatives de la parabole et de la droite se déduisent du signe de 3)= +3 Le discriminant du trinôme est =b 4ac soit = ) 4 1 3= 4 1= 8. Comme <0, le trinôme est du signe de a donc pour tout réel, +3>0. La parabole P est au dessus de la droite D. A. YALLOUZ Page 6 sur 1

7 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : RÉCAPITULATIF 1 re STID f)=a + b+c avec a 0 Discriminant =b 4ac <0 =0 >0 Variations f) f ) + a>0 Courbe 1 0 Solutions de a +b+c=0 Signe de a + b+c 0 Pas de solution Strictement positif sur R 0 Une solution : 0 = Positif surr Deu solutions : 1 = b = b+ Positif sur ] ; 1 ] [ ;+ [ Négatif sur [ 1 ; ] Variations f ) f) a<0 Courbe 1 0 Solutions de a +b+c=0 Signe de a + b+c Pas de solution Strictement négatif sur R Une solution : 0 = Négatif surr Deu solutions : 1 = b = b+ Négatif sur ] ; 1 ] [ ;+ [ Positif sur [ 1 ; ] A. YALLOUZ Page 7 sur 1

8 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : EXERCICES 1 re STID EXERCICE 1 Soit f la fonction définie surrpar f)= 6+1. On note C f sa courbe représentative dans le plan muni d un repère orthogonal. 1. a) Le point A 3 ) ;1 appartient-il à la courbe C f? b) Donner le tableau des variations de la fonction f.. Soit g la fonction affine telle que g )= 10 et g6)= 6. a) Déterminer l epression de g en fonction de. b) Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal donné en annee. 3. a) Montrer que pour tout réel, f) g)= ) 9 b) Calculer les coordonnées des points d intersection de la parabole C f et de la droite D. c) Étudier le signe de f) g). d) En déduire les positions relatives de la parabole C f et de la droite D EXERCICE Soit la fonction f définie surrpar f)= a) Déterminer les images respectives par f de 1 et 3. b) Déterminer les antécédents par f de 1.. Vérifier que pour tout réel, f)= 1 ) 49. En déduire une factorisation de f). 4 A. YALLOUZ Page 8 sur 1

9 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : EXERCICES 1 re STID 3. a) Déterminer les coordonnées des points d intersection de la courbe représentative de la fonction f avec l ae des abscisses. b) Résoudre l inéquation f) 0. c) Dresser le tableau de variation de f. EXERCICE 3 PARTIE A Soit f la fonction définie pour tout réel par f)= Donner le tableau des variations de la fonction f.. La proposition «Si 0 3 alors f0) f) f3)» est-elle vraie ou fausse? 3. La courbe C f représentative de la fonction f est tracée ci-dessous dans le plan muni d un repère orthogonal. Laquelle des deu courbes C 1 ou C est la courbe C f? C 1 C PARTIE B La deuième courbe, est la courbe C g représentative de la fonction g définie sur l intervalle ] ;+ [ par g)= Calculer les coordonnées des points d intersection de la courbe C g avec l ae des abscisses.. Montrer que pour tout réel >, g) f) = +1) 4) + 3. Étudier les positions relatives de la parabole C f et de la courbe C g. A. YALLOUZ Page 9 sur 1

10 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : EXERCICES 1 re STID EXERCICE 4 La parabole P tracée ci-dessous, dans le plan muni d un repère orthonormé, est la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel par f)= a α) + β La parabole passe par les points A0;6), B 1; 13 ) et C4;) A B 3 C P 1. Par lecture graphique, donner le tableau des variations de la fonction f.. Justifier que α = 1 et β = Résoudre l équation f) = EXERCICE 5 Résoudre dans R les équations suivantes : = = = = = = EXERCICE 6 Dans chacun des cas suivants, donner le tableau des variations de la fonction f et étudier son signe : 1. f est définie pour tout réel par f)= f est définie pour tout réel par f)=1 )+3) 3. f est définie surrpar f)= f est définie surrpar f)=+3)1 ) EXERCICE 7 f est une fonction polnôme du second degré définie surrpar f)=a + b+c avec a 0 ) Dans chacun des cas suivants, répondre au questions suivantes : Quel est le signe de a? Quel est le signe de c? Quelle est la valeur de? Quel est le signe du discriminant? A. YALLOUZ Page 10 sur 1

11 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : EXERCICES 1 re STID + 1. Le tableau des variations de f est : f) 1. Le tableau des variations de f est : 1 + f) 3 3. La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f EXERCICE 8 1. La proposition «Si a et c sont de même signe alors l équation a + b+c=0 n a pas de solution» est-elle vraie ou fausse?. Soit l équation a + b+c=0 avec a 0. Démontrer l implication : «Si a et c sont de signes contraires alors l équation a + b+c=0 a deu de solutions.» EXERCICE 9 Résoudre dans R les inéquations suivantes : > + +1 EXERCICE 10 On dispose d une ficelle de longueur 1 mètre que l on coupe en deu. Avec un des morceau on forme un carré, et avec l autre on forme un rectangle dont la longueur est le double de sa largeur. A. YALLOUZ Page 11 sur 1

12 Lcée JANSON DE SAILLY 04 septembre 014 SECOND DEGRÉ : EXERCICES 1 re STID 1 Peut-on couper la ficelle de telle sorte que la somme des aires du carré et du rectangle soit minimale? EXERCICE 11 C f est la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel > 0 par f) = 1. I est le point de coordonnées I; 1). C f 3 1 A I B On veut montrer qu il eiste deu points de la courbe C f smétriques par rapport au point I. 1. Soit A a; 1 ) un point de la courbe C f. Calculer les coordonnées du point B smétrique du point A par a rapport au point I.. Montrer que B C f + 8a 4=0. Conclure. EXERCICE 1 Sur un segment [AB] de longueur 10 cm on place un point M et on note la longueur du segment [AM]. D un même côté du segment, on construit les demi-cercles de diamètre [AB],[AM] et [MB]. A M B Déterminer la valeur de pour que l aire de la partie coloriée soit maimale. EXERCICE 13 Pour deu résistances R 1 et R montées en série, la R 1 R résistance du dipôle est R=R 1 + R Pour deu résistances R 1 et R montées en parallèle, la résistance R du dipôle vérifie 1 R = R 1 R On donne R 1 = 6Ω, déterminer la résistance X pour que la résistance R du montage ci-dessous soit 16Ω. R 1 R R 1 X X A. YALLOUZ Page 1 sur 1

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