RÉDUCTION DE MODÈLE EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE. David Ryckelynck M. Abbas, D. Amsallem, F. Chinesta, A. Hamdouni, E. Hachem, J.

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Aurore Brigitte Bouchard
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1 RÉDUCTION DE MODÈLE EN MÉCANIQUE NON LINÉAIRE David Ryckelynck M. Abbas, D. Amsallem, F. Chinesta, A. Hamdouni, E. Hachem, J. Salomon

2 M. Abbas, D. Amsallem, A. Hamdouni, E. Hachem, F. Chinesta, G. Peyre, P. Rouchon (1), J. Salomon (6) Programme de la semaine 3-7 Février 2014 (1) Mines ParisTech, (2) EDF, (3) Stanford University, (4) Université de La M. Abbas, D. Amsallem, Rochelle, F. Chinesta, (5) ONERA, A. (6) Hamdouni, Université Paris E. Dauphine, Hachem, (7) EC D. Nantes Ryckelynck, J. Salomon Jour 9:00-10:30 10:45-12:30 13:45-15:30 15:45-17:30 Lundi 3/02 Mardi 4/02 Mercredi 5/02 Jeudi 6/02 Vendredi 7/02 Méthodes itératives et sous espaces de Krylov E. Hachem Méthodes Géométriques A. Hamdouni Exemples en mécanique des matériaux, APHR D. Ryckelynck Exemples en mécanique des fluides A. Hamdouni, E. Hachem Equations aux Dérivées Partielles paramétriques et POD D. Amsallem Gappy POD et GNAT D. Amsallem Inégalités variationnelles réduites J. Salomon Exposés, résultats des projets et discussion D. Ryckelynck Introduction D. Ryckelynck M. Abbas POD en mécanique des fluides A. Hamdouni Hyperréduction en mécanique des matériaux D. Ryckelynck Interpolation de bases réduites D. Amsallem Bases modales pour systèmes dynamiques linéaires D. Ryckelynck PGD F. Chinesta Projets (DA, EH, GP) Projets (DA, EH, GP, JS) Total : 25 heures de cours. Logiciels utilisés pour les projets numériques : Réduction de modèle enzebulon, mécanique Matlab non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 2/12

3 La réduction de modèle pour la simplification des modèles La réduction de modèle est un moyen d extraire des facteurs communs à différentes simulations. Ces facteurs sont exprimés à l aide de modes, notés ψ. La combinaison linéaire de ces modes permet d avoir une représentation simplifiée des températures en thermique ou des déplacements en mécanique. L avantage de ce type d approche, est de ne pas modifier la description de la géométrie, des lois de comportement, des conditions initiales et des conditions aux limites. C est-à-dire que l on conserve les grandes hypothèses physiques. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 3/12

4 Une aide à la bonne pratique de la modélisation Comment exploiter un modèle dont la complexité numérique tient compte de l état des connaissances sur le problème à traiter, ou de la précision de ce modèle? Complexité numérique des simulations Modèle proposé par l'élève à former Bonne pratique de la modélisation Modèle Eléments Finis convenable Méthode des éléments finis Précision des prévisions (corrélation expérience-simulation) Adéquation entre précision et complexité des modèles numériques. L accumulation de prévisions, dans le cadre d études paramétriques, peut guider la simplification des modèles. C est au démarrage des études que les modèles sont les moins précis, par manque de connaissance. Ceci justifie une approche algorithmique de la réduction des modèles. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 4/12

5 Réduction de modèle et études paramétriques s D X μ Postulat : un bon modèle est celui qui fournit des surfaces de réponse régulières dans l espace des paramètres. Cette régularité est probablement due à des similitudes dans l évolution espace-temps des déplacements, vitesses et tenseurs de contrainte. Verrous : La méthode des éléments finis ne tient pas compte de ces similitudes lorsque l on génère une surface de réponse, point par point. Les temps de calcul sont trop longs pour explorer des domaines paramétriques en grande dimension (> 6). Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 5/12

6 Difficultés scientifiques traitées Comment réutiliser au mieux des résultats de simulations antérieures pour réaliser de nouvelles prévisions? Comment construire une base réduite de façon adaptative qui permette de tenir compte de paramètres µ qui ont une influence sur l évolution de l état d un système non-linéaire? Comment construire la représentation ci-dessous, avec en pratique N proche de 10? ou N u(x, µ, t) = u o(x, µ, t) + ψ k (x) γ k (t, µ) k=1 N u(x, µ, t) = u o(x, µ, t) + ψ k (x, µ) γ k (t) k=1 Comment réduire l étendue du problème en introduisant un domaine d intégration réduit ou un maillage réduit : Ω Z Ω? Peut-on faciliter la construction et l enrichissement de plans d expérience avec des modèles d ordre réduit? Remarque : Il y a un avantage immédiat, la place mémoire nécessaire à la sauvegarde des solutions. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 6/12

Premiers exemples de modèles complexes dans l industrie et en mécanique des matériaux. T(x,t;p) F(x,t;p) u2 = 0 u1 = 0 3D microstructure 2D EBSD 84 grains u(x,t; p) =?

7 Premiers exemples de modèles complexes dans l industrie et en mécanique des matériaux. T(x,t;p) F(x,t;p) u2 = 0 u1 = 0 3D microstructure 2D EBSD 84 grains u(x,t; p) =? F(t) u=0 Prévision de durée de vie d aubes SNECMA, un cycle simulé en un jour. u2 = 0 Etude de l hétérogénéité des matériaux. Identification de paramètres matériaux par mesure de champ, essai de traction simulé en 4h. Dans l industrie et en recherche sur les matériaux, les modèles mécaniques sont de plus en plus précis et complexes, grâce au développement des techniques expérimentales. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 7/12

8 Réduction de modèle dans le cadre d études paramétriques Au cours d études paramétriques, au cas par cas, on réalise une suite de simulations. Des résultats de simulation on extrait un modèle hyper-réduit. Ce modèle est substitué au modèle éléments finis pour poursuivre l étude paramétrique de façon simplifiée. Complexité numérique des simulations Modèle en base complète X Méthode des éléments finis Réduction (de 1/3 à 1/360) Modèle en base réduite Précision des prévisions (corrélation expérience-simulation) Des calculs d aubes ont été réduits d un facteur 3 en 2012, des calculs de matériaux hétérogènes d un facteur 360 en Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 8/12

9 Les modèles de substitution (surrogate models) : définition Un modèle de substitution remplace un modèle de référence. Il a une complexité inférieure à celle du modèle de référence. L objectif est d obtenir des prévisions numériques en utilisant moins de ressources de calcul ou avec des temps de calcul plus courts. Ceci, en exploitant des résultats de calculs antérieurs, éventuellement produits par calcul intensif. En général on accepte une précision moindre sur les prévisions fournies par le modèle de substitution. Remarque : Calcul intensif et réduction de modèle en mécanique non linéaire sont complémentaires. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 9/12

10 Les modèles d ordre réduit (Reduced-Order Model) : définition Les modèles d ordre réduit sont des modèles de substitution dont les inconnues doivent vérifier des équations de bilan physiques. Les inconnues à déterminer sont des variables d état u. Par définition, l ordre d un modèle est le nombre de variables d état indépendantes permettant de décrire l évolution de l état du système étudié. Réduire l ordre d un modèle c est réduire le nombre de variables d état de ce modèle. Il est alors nécessaire de reformuler les équations physiques à satisfaire. Ceci conduit dans la plus part des cas à des méthodes intrusives sur le plan informatique. L avantage d un modèle d ordre réduit est qu il résulte d une suite d approximations dont la précision est quantifiable. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 10/12

11 Caractéristiques communes des modèles d ordre réduit L état du modèle réduit est décrit comme une combinaison linéaire de modes {ψ k } N k=1. Chaque mode est similaire à un état particulier du modèle de référence. La visualisation des modes aide à comprendre les transformations modélisées. Les méthodes de Surface de Réponse sont des approches complémentaires des méthodes de réduction d ordre de modèles. Les méthodes de construction de surface de réponse servent à explorer un espace paramétrique D. On s intéresse à la réponse s(µ), µ D, d un système qui occupe un domaine Ω. La réponse est extraite de l état du système : s(µ) = l(u; µ) L analyse de points singuliers de µ D s(µ) conduit à l étude d états particuliers que l on peut décrire par un modèle d ordre réduit. Ce modèle d ordre réduit peut aider à simplifier l enrichissement de la surface de réponse, mais également sa construction. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 11/12

12 Domaines d application des modèles d ordre réduit L intérêt des modèles d ordre réduit est de simplifier des études paramétriques comme : l étude de régimes transitoires pour différents paramètres de condition initiale, de sollicitation, de comportement du matériau, de forme géométrique, l étude de sensibilité de prévisions pour tout type de variations paramétriques, la propagation d incertitudes pour quantifier l effet d incertitudes sur des prévisions, la recherche de paramètres optimaux en exploitant des évaluations peu coûteuses de la fonction objectif, la résolution approchée de problèmes couplés (espace paramétrique excessivement grand), l extension des paramètres à faire varier, ou de la dimension des surfaces de réponse. Les méthodes de réduction d ordre de modèle permettent de compenser le caractère très général de méthodes d approximation comme la méthode des éléments finis en définissant des modèles tenant compte des spécificités du domaine d application dans la représentation de l état du système. Réduction de modèle en mécanique non linéaire 3-7 février 2014 Réduction d ordre de modèles 12/12

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