Documents pour l étudiant : Chapitre II : Limites

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1 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Gestion MATH101 : Pratique des Fonctions numériques Documents pour l étudiant : Chapitre II : Limites Notations : Dans tout ce chapitre, si x 0 est un nombre réel, on notera I un voisinage de x 0 (i.e. un ), et I x 0 = I {x 0 }. Si x 0 = +, alors I désigne un intervalle ouvert du type ]γ; + [ et si x 0 =, I =] ; γ[. 1 Limite d une fonction en + ou 1.1 Limite infinie en l infini Définition 1. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers + (ou que f a pour ite + en + ) si : 1. l on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut pourvu que x soit suffisamment grand. 2. tout intervalle du type [A; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand. On note : f(x) = +. Figure 1 courbe d une fonction de ite + en +

2 1.2 Limite finie en l infini 2 Exemples 1. de référence : Chacune de ces fonctions a pour ite + en + : x x ; x mx + p si m > 0 ; x x n, n N ; x ln x, x e x ; x a x si a > 1 ; x x α si α > 0. Exercice 1. Donner par analogie la définition : d une fonction qui a pour ite en + d une fonction qui a pour ite en d une fonction qui a pour ite + en Illustrer chacun des cas. 1.2 Limite finie en l infini Définition 2. On dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers + (ou que f a pour ite l en + ) si : 1. l on peut rendre f(x) aussi proche de l que l on veut, pourvu que x soit suffisamment grand. 2. quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment grand. On note : f(x) = l Figure 2 courbe d une fonction de ite l en + Exemples 2. de référence : Chacune de ces fonctions a pour ite 0 quand x tend vers + : x 1 ; x 1 x x ; x 1 x, n n N ; x x α si α < 0 ; x a x si 0 < a < 1.

3 3 2 Limite d une fonction en un réel x 0 Soit x 0 un réel et f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 ou sur un intervalle de borne x 0 du type ou ]x 0 ; γ[ ou ]γ; x 0 [. 2.1 Limite infinie en x 0 Définition 3. On dit que f(x) tend vers + lorsque x tend vers x 0 (ou que f a pour ite + en x 0 ) 1. si l on peut rendre f(x) aussi grand que l on veut pourvu que x soit suffisamment proche de x quand tout intervalle du type [A; + [ contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x 0. On note : x f(x) = +. Figure 3 courbe d une fonction de ite + en x = x 0 Exercice 2. 1 Montrer, en utilisant la définition que x = +. (ici x 2 0 = 0)

4 2.2 Limite finie en x Limite finie en x 0 Définition 4. Soit l un réel : on dit que f(x) tend vers l lorsque x tend vers x 0 (ou que f a pour ite l en x 0 ) si 1. si l on peut rendre f(x) aussi proche de l que l on veut pourvu que x I soit suffisamment proche de x quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x I suffisamment proche de x 0. Remarque : Une fonction peut posséder une ite en x 0, même si elle n est pas définie en x 0. Cependant, si f admet une ite en x 0 ET si f est définie en x 0, alors, on a nécessairement (avec cette définition...) x f(x) = f(x 0 ) (voir chapitre «continuité»). Théorème 1. (Admis) Si f admet une ite en x 0 (réel ou infini), alors cette ite est unique. Théorème 2. Soir f une fonction qui est la somme, le produit, le quotient ou la composée des fonctions de référence suivantes : des fonctions polynômes. de la fonction «valeur absolue». de la fonction «racine carrée». de la fonction «logarithme népérien». des fonctions exponentielles de base a > 0. des fonctions puissances. Si f est définie en x 0 D f, alors f admet une ite en x 0 égale à f(x 0 ) : x f(x) = f(x 0 ). Exemples x 3 x 2 2x 1 2x2 4x 2 = 2. ln x + 5 = x 4 x Limite à droite / à gauche Exemple 4. la fonction «partie entière» Définition 5. Soit x un réel, il existe un unique entier (relatif) n tel que n x < n + 1. Cet entier est appelé «partie entière» de x. On le note E(x). La fonction «partie entière», notée E, définie sur R, associe à chaque réel sa partie entière.

5 2.3 Limite à droite / à gauche 5 Illustration : Figure 4 Courbe de la fonction «partie entière» Exemples 5. E(π) = ; E( 4, 35) =. Exercice 3. La fonction «partie entière» possède-t-elle une ite en x 0 = 0? Définition 6. ATTENTION! ici, l étude des ites se fait sur des intervalles ouverts : Soit f une fonction définie à gauche de x 0 (i.e. il existe un intervalle ]x 0 γ; x 0 [ D f avec γ > 0) (respectivement à droite de x 0 (i.e. il existe un intervalle ]x 0 ; x 0 + γ[ D f ). On dit que f a pour ite l à gauche de x 0 (respectivement à droite de x 0 ) : 1. quand tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs de f(x) pour x suffisamment proche de x 0 et x < x 0 (respectivement et x > x 0 ) 2. la restriction de f à ]x 0 γ; x 0 [ (resp. ]x 0 ; x 0 + γ[) admet l pour ite On note : x x 0 f(x) = l ou x x<x 0 f(x) = l (respectivement x x + 0 Exemples E(x) = 1 et E(x) = 0 x<0 1 x> = + car x2 x<0 x 2 = x>0 f(x) = l ou x x>x 0 f(x) = l). 1 = + (à prouver par composition par exemple). x2 Théorème 3. Soit f une fonction définie sur un voisinage épointé de x 0, noté Ix 0 pas définie en x 0 ). On a l équivalence : (i.e. f n est f(x) = l x x 0 x f(x) = l = x f(x) x<x 0 x>x 0

6 6 Conséquence : Si une fonction possède en x 0 une ite à droite et une ite à gauche différentes, alors f n a pas de ite en x 0. Remarque : Si f est définie sur un voisinage I de x 0. On a l équivalence : où l est un nombre réel. f(x) = l x x 0 x f(x) = x f(x) = f(x 0 ) = l x<x 0 x>x 0 Exemple 7. Montrer que la fonction f suivante admet une ite en x 0 = 2 f(x) = x 2 1 si x ] ; 2[ f(2) = 3 f(x) = 4x + 1 si x ]2; + [ 3 Opérations sur les ites On rappelle ici les principales opérations sur les ites vues au lycée Limite de la somme de deux fonctions f + g f g + l + + F.I. + F.I. l + l + l Limite du produit de deux fonctions f g f g 0 l > 0 l < F.I. F.I. l > 0 0 ll ll + l < 0 0 ll ll + + F.I. + + F.I. + +

7 7 g Limite du quotient de deux fonctions f g f 0 l > 0 l < F.I. ± ± ± ± l l l > l l l < l l F.I. F.I F.I. F.I. Le symbole «F.I.» signifie «forme indéterminée», c est-à-dire que l on ne peut pas connaître a priori la ite. Le symbole ± signifie que l on doit connaître le signe de g(x) au voisinage de zéro pour pouvoir conclure. Exercice 4. Déterminer les ites suivantes : x + 1 x et 2. x 3 + x 2 2x 3 x 3 x 2 2x 3 Théorème 4. haut degré. (à rédiger) 1. La ite en l infini d une fonction polynôme est celle de son monôme de plus 2. La ite en l infini d une fonction rationnelle (i.e. quotient de deux polynômes) est celle du quotient des monômes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Exemples x 2x4 + 3x 2 5x + 7 = 2x 3 2x 2 + x x 4 + x 3 x 2 + x + 1 = Théorème 5. Composition de ites Dans cet énoncé, x 0, l et L désignent des réels ou ±. Soient f et g deux fonctions telles que f(x) = l et g(x) = L. Alors la fonction composée h = g f admet une ite en x 0 et x x 0 x l h(x) = L x x 0 Schéma : f g x f(x) = y g(y) = (g f)(x) x 0 l L

8 Si f(x) = l x a dire g(x) = l. x a f(x) g(x) h(x) pour tout x de I. et h(x) = l x a Exercices 5. Déterminez les ites suivantes : ( 1. x2 + x e 1 x 2 ) x 2 3. ln + x 7 x x 2 2x + 3 alors g a pour ite l au voisinage de a c est à Théorème 6. Limite par encadrement Dans cet énoncé x 0 et l désignent un réel ou + ou. Soient f, g et h trois fonctions définies sur un voisinage I de x 0 et vérifiant en outre : x I, f(x) g(x) h(x). Si x f(x) = x h(x) = l Alors x g(x) = l. émonstration : n démontre ce théorème dans le cas particulier de +. oit J un intervalle ouvert contenant l, on doit montrer que J contient tous les réels g(x) pour ssez grand. ar hypothèse, f(x) = l donc J contient tous les réels f(x) pour x assez grand, plus précisément, il exist Remarques : 1. Dans le cas où f, g et h ne sont définies qu à gauche (respectivement à droite) de x 0, l énoncé s entend en prenant les ites à gauche (respectivement à droite) des fonctions f, g et h. 2. Ce théorème porte le nom de «théorème des gendarmes». Illustration dans le cas où l R et x 0 = + : un réel A tel que si x > A alors f(x) J. h(x) = l donc J contient tous les réels h(x) pour x assez grand, plus précisément, il exist un réel B tel que si x > B alors h(x) J. (Oy) 8 J pour x > B, on a : h(x) J 0 A B C pour x > A, on a : f(x) J (Ox) osons C > max(a; B) alors pour Figure x > C, 5 on Théorème a f(x) des J gendarmes et h(x) J. Or f(x) g(x) h(x) sur J onc pour x > C, on a g(x) J. s en suitexercice que J contient 6. les réels g(x) pour x assez grand. Donc [ [ g(x) = l 2 3 ; + Soit f la fonction définie sur par f(x) = 1. Montrer que pour tout x 2 3, 0 f(x) 3 x En déduire la ite de f en +. Page 6 sur 8 9x2 4 x

9 9 Théorème 7. Théorèmes de comparaison x 0 désigne un réel ou + ou. Soient f et g deux fonctions définies sur un voisinage I de x 0 et vérifiant en outre : x I, f(x) g(x). Si x f(x) = + Alors x g(x) = +. Si g(x) = Alors f(x) =. x x Exercice 7. Soit f une fonction définie sur R, telle que pour tout x 0 ; f(x) x 3. Déterminer la ite de f en. La démonstration du théorème suivant sera faite dans le chapitre "Dérivation", nous donnons cependant les résultats très utiles suivants : Théorème 8. ln x x 1 x 1 = 1 e x 1 x = x 1 x = 1 2 α 0, (1 + x) α 1 x = α 4 Croissances comparées Les résultats suivants sont admis : Théorème 9. ln x x = 0+ x ln x = 0 x>0 e x x = + Ces résultats se généralisent pour tout α > 0 et tout β > 0 : (ln x) α = 0 + x β ln x α e x = 0 x β x = + β x>0 Exemple 9. (3x x 3 ) = ex ln 3 x 3 = x ln 3 = + et X + X Enfin on peut conclure par somme et produit que e X x xex = 0 x x β e x = 0 ( e x ln 3 ) ( e x ln 3 ) x3 1 = x 3 x3 (x ln 3) (ln 3 3) = +. Donc par composition, (3x x 3 ) = + e x ln 3 (x ln 3) 3 = +. 5 Conséquences graphiques : Asymptote à une courbe Définition 7. Soit f une fonction définie sur un voisinage de +. C f admet la droite d équation y = l pour asymptote horizontale si f(x) = l. Exemples f : x 1 x. La droite d équation y = 0 est A.H. à C f aux voisinages de + et de. 2. f : x x2 x La droite d équation y = 1 est A.H. à C f aux voisinages de + et de.

10 C f y = l Figure 6 Asymptote horizontale Définition 8. Soit f une fonction définie sur un voisinage de a. C f x = a pour asymptote verticale si f(x) = ±. x a admet la droite d équation 2 C f O x = a Figure 7 Asymptote verticale Exemples f : x x x 2 : la droite d équation x = 2 est A.V. à C f 2. f : x x x 2 : les droites d équations x = 4 et x = 4 sont A.V. à C f

11 11 Définition 9. Soit f une fonction définie sur un voisinage de +. C f admet la droite d équation y = ax + b pour asymptote oblique si (f(x) (ax + b)) = 0. 4 y = ax + b 2 C f Exemples 12. Figure 8 Asymptote oblique 1. f : x x2 + 1 x + 1. La droite d équation y = x 1 est A.O. à C f aux voisinages de + et de. 2. f : x x2 1. La droite d équation y = x est A.O. à C f aux voisinages de + et de. x