Limites et asymptotes

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1 ère S Chap V : Limites et asmptotes I. Limites en l infini ) Limite infinie à l infini éfinition : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du tpe [a; + [ : On dit que f a pour ite + en + et on note f() = + si f() est aussi grand que l on veut dès que est assez grand ( Lorsqu on dit grand, on sous-entend positif ). faire le lien avec tableau de variations = + ; = + ; = + ; = + On définit de même f() = par f() est aussi grand dans les négatifs que l on veut dès que est assez grand. On définit encore de manière analogue l ensemble de définition). f() = +, f() = (attention toutefois à = ; = + ; = ) Limite finie à l infini éfinition : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du tpe [a; + [ : On dit que f a pour ite en + et on note f() = si f() est aussi petit que l on veut dès que est assez grand ( Lorsqu on dit petit, on sous-entend proche de zéro ). On définira de même : f() =. = ; = ; = ; = = ; = ; = Page /5

2 ère S On peut à présent définir une ite quelconque en l infini : éfinition : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du tpe [a; + [ : Avoir f() = l est équivalent à avoir [f() l] = Remarque : f() = l f() = l + ε() avec ε() =. démonstration Remarque : Une fonction n a pas nécessairement de ite (finie ou infinie) lorsque tend vers + : f définie sur R par f() = cos() n a de ite ni en ni en +. II. Limite en un point a ) Limite en éfinition 4 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en : Si f() est aussi grand (positif) que l on veut dès que est assez proche de, on dit que f a pour ite + en et on note f() = +. (On définit de même f() =.) = + = +. Remarque : Une fonction peut avoir une ite différente à gauche et à droite de, on notera alors : = + et = ou encore = + et = < > < > On note également parfois : + = +. éfinition 5 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en : Si f() est aussi petit que l on veut (proche de ) dès que est assez proche de, on dit que f a pour ite en et on note f() =. = ; = ; = ; = éfinition 6 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle ouvert en : On dit que f a pour ite l en lorsque la fonction f() l a pour ite en. Remarque : On peut traduire mathématiquement cette définition par ( ) f() = l f() l = Page /5

3 ère S ) Limites en a R éfinition 7 : Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert en a, on dit que f a une ite en a si la fonction h f(a + h) a une ite en et alors : f() = f(a + h) h Remarque : ( ) On a + = ( + h ) = +. ( ) h f() = l f() = l + ε() avec ε() =. Remarque : Si a f et si f() eiste, alors f() = f(a). Si a >, = a. Si P est un polnôme, P() = P(a). Si R est une fraction rationnelle définie en a, R() = R(a). III. Opérations sur les ites ans toute cettte partie les ites des fonctions f et g sont au mêmes points à savoir +, ou a R. ) Somme f() = l l l + + g() = l + + ( f() + g() ) = l + l + + F.I ) Produit f() = l l > l < l > l < + + g() = l ou ( f() g() ) = ll F.I Page /5

4 ère S ) Quotient f() = + ± l < ou l > ou + g() = l > l < l > l < ± + + ( ) f() = + + F.I + + F.I g() Remarque : + (resp. + ) indique que la ite est nulle et que la fonction reste positive (resp. négative). Il a quatre formes indéterminées : + ; ; ; Remarque : Avec ces régles de calcul et quelques transformations on peut trouver n importe quelle ite. ( On cherche ). Si on voit ce polnôme comme une somme de monômes on obtient ( une F.I. du tpe + mais on peut toujours écrire = ) avec = + et ( ) des ites. On a donc, par produit des ites, comme +. = + + = par somme ( ) = + vu A faire en T : cas des polnômes et des fractions rationnelles. IV. Interprétation graphique et asmptotes ) Asmptote horizontale Si f() = l, pour M et P les points d abscisses, lorsque prend des valeurs de plus en plus grandes, la distance PM tend vers : On dit alors que la droite d équation = l est asmptote horizontale à la courbe au voisinage de +. Interprétation graphique pour f() = l l M P Remarque : On peut définir de même l asmptote d équation = l en si f() = l Page 4/5

5 ère S ) Asmptote verticale Si f() = ±, on dit que la droite d équation = a est asmptote verticale à la courbe. P et M sont ici les deu points de même ordonnée et la distance PM tend vers zéro lorsque cette ordonnée de P et M tend vers +. 4 P M Interprétation graphique pour f() = ) Asmptote oblique a éfinition 8 : Soit f une fonction définie sur un intervalle du tpe [α; + [, s il eiste deu réels a et b tels que [f() (a + b)] = on dira que la droite d équation = a+b est asmptote oblique à au voisinage de +. Remarque : La méthode de détermination est H.P. On a nécessairement f() = + 4 Interprétation graphique, avec P et M les deu points d abscisses, pour [f() (a + b)] = M P On peut de même définir une asmptote oblique au voisinage de si [f() (a + b)] =. Page 5/5