- diagramme de Caroll. Exemple 1 : On lance 2 dés. 2 e dé 1 er dé

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1 TS Le déombremet est l art de compter (Il y e a souvet aux cocours) (cardial d u esemble fii : ombre de ses élémets Exemple : si E est u esemble fii à élémets, o dit que le cardial de E est égal à et o ote card E ) I Quelques exemples de déombremet Déombremet card A B 0 card C 58 card A B card A card B card A B ) ( - diagramme de Caroll Par rapport au diagramme précédet, o remplace les «rods» par des «rectagles» Ce type de diagramme porte le om de Lewis Carroll, auteur d Alice au pays des merveilles, qui a beaucoup travaillé sur les mathématiques, das le domaie de la logique e particulier ) Diagrammes d esembles Hypothèses 0 8 B (8) Das u club de sport, 40 adhérets fot de l athlétisme, 8 fot du basket et 0 fot les Chaque adhéret fait au mois l ue des deux activités (Attetio, les 0 qui fot les deux sot iclus das les 40 qui fot de l athlétisme et les 8 qui fot du basket) O recotre ici les problèmes de compréhesio des éocés de déombremet Représetatios 0 A (40) - diagramme de Ve (Il s agit d u diagramme mathématique que l o peut faire sur ue copie ; iutile de faire les cercles au compas) C C ) Tableaux à double etrée (pour mémoire) Exemple : O lace dés A (40) B (8) e dé er dé ; ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; ; ; ; 4 ; 5 ; 6 ; ; ; ; 4 ; 5 ; ; 4 ; 4 ; 4 ; 4 4 ; 5 4 ; ; 5 ; 5 ; 5 ; 4 5 ; 5 5 ; ; 6 ; 6 ; 6 ; 4 6 ; 5 6 ; 6 A : esemble des adhérets qui fot de l athlétisme B : esemble des adhérets qui fot du basket C : esemble des adhérets du club (La «zoe du milieu» ou «zoe de croisemet» correspod à l itersectio des esembles A et B) card A 40 card B 8 Exemple : sectio sexe G F Total S L ES Total

2 ) Arbres de possibilités Hypothèses Ue ure cotiet 5 boules umérotées de à 5 (B, B, B, B 4, B 5) O tire successivemet boules avec remise O ote les uméros das l ordre où ils se présetet Par exemple : B, B B, B ; 4 4 B, B But : détermier le ombre de résultats possibles Arbre de possibilités Avec remise : Sas remise : Possibilités Résultats : 55 5 Méthode des cases er tirage e tirage 5 5 er tirage e tirage er tirage e tirage Résultats B (B ; B ) B (B ; B ) B B (B ; B ) B 4 (B ; B 4) B 5 (B ; B 5) B B B B B 4 B 5 B B B B B 4 B 5 B B B 4 B B 4 B 5 Possibilités II Quelque méthodes géérales de déombremet ) Les pricipes fodametaux Pricipe additif : Lorsqu ue opératio O peut être réalisée e effectuat - soit ue opératio O (avec possibilités) - soit ue opératio O (avec possibilités) O et O état icompatibles, le ombre de faços de réaliser O est égal à Pricipe multiplicatif : Résultats : Lorsqu ue opératio O peut être réalisée e effectuat ue opératio O (avec possibilités) puis ue opératio O (avec possibilités), alors le ombre de faços de réaliser O est égal à soit O soit O o additioe 5 4 B B B 5 B B 4 B 5 O e fiit pas l arbre, o le commece seulemet Il y a 5 résultats possibles O puis O o multiplie 4

3 ) Raisoemets importats e déombremet - Disjoctio de cas - Pricipe multiplicatif - Opératios successives - Méthode des cases - Raisoemet par cas cotraire (cf exemples de la suite du cours) III Listes ordoées d élémets d ue esemble fii ) Situatios-types Tirages successifs Détermier le ombre de tirages possibles tels que : la ère boule soit rouge (c est-à-dire que la boule obteue au premier tirage soit rouge) les boules soiet oires Pricipe multiplicatif : er tirage e tirage e tirage 6 5 er tirage e tirage e tirage Avec remise Sas remise 4 ) Exemples liste ordoée avec répétitio Ue ure cotiet 5 boules B, B,, B 5 O tire successivemet (ordre) boules Avec remise Chaque résultat est ue liste ordoée de boules avec répétitios possibles Exemples : B, B, B, B, B, B, 4 4 B, B, B er tirage e tirage e tirage liste ordoée sas répétitio Sas remise Chaque résultat est ue liste ordoée de boules sas répétitio Exemples : B, B, B, B, B, B, 4 4 B, B, B er tirage e tirage e tirage 5 4 Pricipe multiplicatif : 4 4 les premières soiet oires et la e soit rouge Pricipe multiplicatif : 4 6 la ère soit rouge et la e soit oire Il y a deux faços ère méthode : par disjoctio de cas O peut avoir : er tirage e tirage e tirage 4 - soit la ère boule rouge, la e boule rouge, la e boule oire ) Exercice Pricipe multiplicatif : 5 5 boules rouges umérotées de à : R, R, R Ue ure cotiet 4 boules oires umérotées de à 4 : N, N, N, N4 O tire successivemet boules sas remise Pricipe multiplicatif : soit la ère boule rouge, la e boule oire, la e boule oire 4 5 6

4 4 6 p! p (produit de tous les etiers aturels de à p ) O ajoute les deux résultats (e effet, les deux cas précédets sot disjoits) Il y a 60 cas possibles e méthode : par opératios successives (ordre ati-aturel, qui peut paraître choquat la première fois) O : choix de la ère boule (rouge) O : choix de la e boule (oire) O : choix de la e boule (rouge ou oire) Le ombre de possibilités pour O est égal à : Le ombre de possibilités pour O est égal à : 4 Le ombre de possibilités pour O est égal à : 5 O multiplie les ombres de possibilités (pricipe multiplicatif) O retrouve heureusemet le même résultat qu avec la ère méthode La e méthode est certes mois aturelle mais elle est plus courte et doc préférable à la ère méthode Das tout cet exercice, o tire les boules successivemet et o simultaémet IV Permutatios : cas particulier de liste de objets pris parmi sas répétitio (liste ordoée sas répétitio) ) Factorielle d u etier Défiitio et otatio Pour tout etier aturel, o appelle «factorielle de» le produit de tous les etiers aturels de à O ote ce ombre! O a doc :! Par covetio, o pose égalemet : 0!! Ces covetios permettet de faire les calculs Exemple 5! O peut aussi utiliser la calculatrice Casio Graph 5+ Meu probabilité OPTN F6 F F TI 8 Plus Aller das MATH puis PRB et taper 4 Attetio : lorsque les valeurs de sot trop grades, o dépasse les capacités de la calculatrice Elle déclare qu elle est «overflow» Remarque :!! Autre écriture : k! k k symbole qui sigifie «produit» ) Permutatios d u esemble fii Défiitio E est u esemble fii à élémets O appelle permutatio de E toute liste ordoée de tous les élémets de E Exemple E a ; b ; c card E a, b, c, a, c, b,c, b, a, c, a, b, b, a, c, Propriété! b, c, a Le ombre de permutatios d u esemble fii à élémets est égal à! ) Situatios-types 7 8

5 Tirages de toutes les boules d ue ure sas remise Aagrammes d u mot dot toutes les lettres sot distictes Exemple : MARIE Ue aagramme : ue permutatio des lettres sas se soucier du ses Il y e a : 5! = 0 4 ) Complémet : aagrammes d u mot ayat plusieurs fois la même lettre Exemples : ➀ PIERRE Combiaisos à élémets a ; b ; c Il s agit de «sous-esembles» ou de «parties» de E à, ou élémets (Le sous-esemble de E à 0 élémet est l esemble vide oté { } ou ) ) Propriété et otatio E est u esemble fii à élémets p est u etier aturel tel que p Le ombre de combiaisos d ordre p de E est égal à! p! p! O le ote C p (à lire de bas e haut : «C p») ou (à lire : «p parmi» ; otatio matricielle) p Il s agit e fait du ombre de «sous-esembles» ou de «parties» à p élémets de E Il y a E et R Pour détermier le ombre d aagrammes, o commece par les différecier PIE R R E Le ombre d aagrammes est alors égal à : 6! 70 Ue aagramme dot les lettres sot différeciées doe par permutatio des E et des R la même aagramme 6! Le ombre d aagrammes de PIERRE est égal à :!! 80 ➁ EMMANUELLE 0!!!! V Combiaisos (i ordre, i répétitio) ) Défiitio E est u esemble fii à élémets p est u etier aturel tel que p O appelle combiaiso d ordre p de E toute liste o ordoée de p élémets de E ) Exemples E a ; b ; c Combiaisos à élémet c a ; b ; Combiaisos à élémets a ; b ; b ; c ; c ; a C p! p p! p! 4 ) Exemples card E Nombre de combiaisos d ordre! C!! card E 5 Nombre de combiaisos d ordre 5 5! 4 5 C5 0! 5! card E 00 Nombre de combiaisos d ordre 00 00! C ! 97! O simplifie les plus grades factorielles E () p 9 0

6 5 ) Situatio-type Listes ordoées de p élémets Tirage simultaé de p boules das ue ure qui e cotiet Exemple : tirage simultaé de boules das ue ure qui e cotiet 5 p Nombre de tirages = ombre de combiaisos d ordre 5 C5 0 6 ) Démostratio de la formule (pas ROC) Exemple : card 5 p Combiaisos à élémets {a, b, c} E ( E a ; b ; c ; d ; e ) 6 Listes ordoées de élémets sas répétitio a, b, c, a, c, b,b, a, c, b, c, d, c, a, b, c, b, a Listes ordoées de élémets : p p cases Chaque liste o ordoée de p élémets doe par permutatio p! listes ordoées sas répétitio de p élémets Le ombre de listes ordoées de p élémets est égal au ombre de listes o ordoées sas répétitio multiplié par p! Doc le ombre de listes o ordoées de p élémets est égal au ombre de listes ordoées sas répétitio de p élémets divisé par p! p p p p p p facteurs décroissats à partir de p facteurs croissats à partir de : 6 Chaque combiaiso de élémets doe par permutatio! = 6 listes ordoées de élémets sas répétitio Le ombre de listes ordoées de élémets est égal au ombre de listes o ordoées sas répétitio multiplié par 6 (il y a six fois plus de listes ordoées de trois élémets que de combiaisos, o ordoées de élémets) Doc le ombre de listes o ordoées de élémets est égal au ombre de listes ordoées de élémets divisé par 6 (pricipe des opérateurs réciproques) Cas gééral : card E p p p! Or p! p! p!! Doc p p! p! p! 7 ) Utilisatio de la calculatrice Exemple : TI 8 Plus MATH PRB Cr = 4960 Attetio à bie mettre () avat (p) TI 84 Plus MATH PRB Choisir COMBINAISON ENTER 4960 Casio Graph 5+ OPTN F6 F

7 8 ) Exercice-type O extrait simultaémet 4 cartes d u jeu de cartes (compositio : as-roi-dame-valet ) Calculos le ombre de mais possibles! ! 8! 4 Calculos le ombre de mais qui cotieet 4 cœurs 8 8! ! 4! 4 Calculos le ombre de mais qui cotieet exactemet rois (pricipe multiplicatif) O : predre cartes parmi les 4 rois puis O : predre cartes parmi les o rois Calculos le ombre de mais possibles coteat 4 figures idetiques O raisoe par disjoctio de cas O : o choisit les 4 rois O : o choisit les 4 dames O : o choisit les 4 valets Calculos le ombre de mais possibles qui cotieet au mois u roi ère méthode : par cas cotraire (tous les tirages tirages avec aucu roi) e méthode : par disjoctio de cas exactemet roi exactemet rois exactemet rois exactemet 4 rois Calculos le ombre de mais possibles qui cotieet au mois rois ère méthode : par cas cotraire aucu roi exactemet roi (ombre de tirages total tirages avec au plus u roi) e méthode : par disjoctio de cas exactemet rois exactemet rois exactemet 4 rois VI Propriétés des combiaisos ) Coefficiets particuliers 0 * Démostratio (ROC) :!! 0 0! 0!!!!!!!! 4

8 ) Propriété de symétrie Pour tout couple (, p) d etiers aturels tel que p, o a : p p Exemple : Démostratio (ROC) :!! p p! p! p! p! p ) Formule de Pascal Pour tout couple (, p) d etiers aturels tel que p <, o a : p p p! p p! p p p! p! p! p!! p p! p p!!! p p!! Doc : p p p VII Le triagle de Pascal Pascal (6-65) Traité du triagle arithmétique 654 ) Défiitio Démostratio (ROC) N B O a : p doc p d où, comme p et, p (ce qui est importat pour la formule) O va mettre et au même déomiateur pour pouvoir les additioer commodémet p p O multiplie doc le umérateur et le déomiateur du quotiet défiissat par p + p p p p!! p p! p! p! p! O multiplie doc le umérateur et le déomiateur du quotiet défiissat par p p! p! p! p p p! p! p p! p! p p! p! O reporte les coefficiets C p ou das u tableau de sorte que le coefficiet se trouve sur la lige et p das la coloe p (NB : ce coefficiet existe si 0 p ) ) Remplissage p ère coloe (que des das la ère coloe) 0 5 6

9 Diagoale Cases restates (que des sur la diagoale) O les remplit de haut e bas e utilisat la formule de Pascal p p p coefficiets cosécutifs de la lige coefficiet de la lige Exemples : 0 0 O peut cotiuer idéfiimet ère compétece : savoir refaire le triagle de Pascal ) Présetatio de Pascal VIII Formule du biôme de Newto ) Formule du biôme de Newto a et b sot deux réels quelcoques, est u etier aturel quelcoque 0 0 a b a b a b a b a b 0 (les puissaces de a dimiuet, les puissaces de b augmetet) k k0 k ou a b a b k Formule littérale k Attetio : L expressio avec le symbole est bie ue forme développée réduite (même si cela peut paraître u peu bizarre de prime abord) ) Démostratio (pas ROC) Cas particulier a b a ab ab b o pred a das chaque facteur o pred a das l'u des facteurs, o pred a das chaque facteur et o multiplie b das l'autre et o multiplie et o multiplie Cas gééral a b a ba b a b facteurs Pour costituer le développemet de ce produit, o choisit das chacu des facteurs a ou b, o les multiplie, o fait la somme des termes trouvés Les parties littérales (il s agit de moôme de variables) sot de la forme : 0 a b : o choisit a das facteurs et b das 0 facteur 0 a b : o choisit a das facteurs et b das facteur a b : o choisit a das facteurs et b das facteurs 0 a b : o choisit a das 0 facteur et b das facteurs D où la formule ) Exemples Développer : x 5 O utilise le triagle de Pascal Recopier e rouge tous les k das la somme 7 8

10 Développer : x x x x 80x 0 x 80x 0 x 40x 5 4 x 0x 0 5 x x x 80x 80x 40x 0x 4 ) Somme des coefficiets d ue même lige du triagle de Pascal Somme des coefficiets de la lige : O rajoute k k pour faire u biôme k k0 k k k biôme de Newto k k0 0 k 0 x x x x x x 0 x Doc k k k0 x x x x Calculer k k0 k k ( fixé) Il s agit d ue formule sommatoire Astuce : o multiplie par k (qui est égal à ) pour «faire u biôme» k k0 k k k 9 0

11 Poit-méthode sur les tirages Tirages Tirages successifs Ordre Tirages simultaés Pas d ordre Avec remise Sas remise Méthode des cases Combiaisos (avec les parmi)

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