YOUSSEFBOULILA LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE 10

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1 YOUSSEFBOULILA LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE I) Introduction: )a) Construire le graphe de la fonction ln, dans le plan muni d un repère orthonormé Les résultats connus: lim ln ; lim ln La fonction ln est strictement de sur Montrent que: Pour tout réel, il eiste un unique réel t (t > ) tel que lnt b) Vocabulaire: ln est une bijection de vers 2)a) Définition: La fonction eponentielle de base e, notée (provisoirement): est la fonction qui a tout réel associe l unique réel t de tel que : lnt ( comme défini au I))a) ) ep: ep() t, tel que : lnt ep() b) Vocabulaire: ep est la bijection réciproque de ln c) Illustration: e - 2 e e d) Relation fondamentale: t ln t ep() t 3) Conséquences: i) Pour tout réel, ep() est un réel ii) Pour tout réel strictement positif t, ep(lnt) Pour tout réel, ln(ep()) iii) Les graphes des fonctions ln et ep, dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la droite Construire le graphe de la fonction ep iv) lim ep() ; lim ep() v) On considère la fonction obtenue en composant la fonction ln et la fonction ep: (lnoep)() ln(ep()) définie sur R, (lnoep) Conclusion: R ep () Remarque: R ep () donc ep est sur

2 vi) Dresser le tableau de variation de la fonction ep II) Propriété algébrique de la fonction eponentielle: ) Propriété algébrique fondamentale: a) Pour tous réels a et b, a+b ln(ep(a)) + ln(ep(b)) ln(ep(a+b)) ln( ) ep(a+b) b) Conséquences: Pour tous réels a et b i) ep(a+(-a)) ep(-a) ii) ep(a-b) ep(a+(-b)) iii) Pour tout rationnel r : ln((ep(a)) r ) ln(ep( )) Conclusion: 2) Notation définitive: D après II))b)iii), Pour tout rationnel r, ep(r) ep(r ) (ep) r On généralise cette notation et l on pose: Pour tout réel ; ep() e On retiendra: y lny e y Pour tout réel e > Pour tout réel y, strictement positif, e lny Pour tout réel ln(e ) lim e ; lim e L application: e est définie et dérivable sur et (e ) L application: e admet des primitives sur et Prim(e ) e ; e Pour tous réels a et b : e a+b ; e -a ; e a-b Pour tout rationnel r : (e a ) r III) Eercices: E : ) Déterminer le domaine d étude, puis résoudre les équations: a) i) ln 3 ii) 2ln(+)+3 iii) ln(+)-ln(2+3) 7 iv) 2ln(+) - ln(2+3) ln2 b) i) e ii) e 7 iii) e iv) (e -3)(2e +7) c) i) e 2-9 ii) e 2-7e +2 iii) e 2 +3e - iv) e 2 +9e +2

3 2) Déterminer le domaine d étude, puis résoudre les inéquations: a) i) 2ln-3 > ii) 3ln(2-) < -5 iii) ln(2+) - ln(+3) > ln2 b) i) -e + < 5 ii) 3e > iii) e < 2 iv) e 2 > 5 c) i) e 2-7e +6 < ii) e 2 +e -6 > E 2: ) Déterminer le domaine de définition, puis les primitives des fonctions: ( préciser sur quel(s) intervalle(s) ) i) f() 2 +--e ii) f() -2e +- 2) Déterminer le domaine de définition, puis déterminer par parties les primitives sur R des fonctions: i) f() e ii) f() (2+)e iii) f() 2 e iv) f() ( 2 ++)e E 3: On considère la fonction: f() e (e -2) ) Dresser le tableau de variation de f 2)a) Donner une équation de T, la tangente au graphe de f au point d abscisse ln2 b) Déterminer les coordonnées du point d infleion du graphe de f 3) Construire T, la tangente au point d infleion, puis le graphe de f 4)a) Déterminer graphiquement, en fonction du réel m le nombre de solution(s) de l équation: e 2-2e -m b) Résoudre dans R l inéquation: f() - 3 < IV) Autres limites à connaître: ) Soit g la fonction définie par: g() ln Déterminer D g, puis étudier les limites: lim g() Or g(e ) e Conclusion: lim 2) Soit h la fonction définie par: h() ln Déterminer D h, puis étudier les limites: lim or h(e ) Conclusion: lim e h() et lim g(e ) et lim h(e ) 3)i) La fonction e est dérivable en et le nombre dérivé en est: e h e e Donc: lim Donc lim h h ii) Retrouver le résultat ci-dessus avec le théorème de l Hôpital On retiendra: e lim ; lim e ; lim e 4) Remarque: i) Pour tout rationnel strictement positif r ln e r

4 En déduire lim ln e r e en déduire lim r «On dit que lorsque tend vers +, l eponentielle l emporte sur la puissance» ii) Pour tout rationnel strictement positif r lorsque tend vers -, r e (- ) r.e (-) r. r.e ( ) r r r lorsque tend vers: - ; tend vers: et ( ) r tend vers: e Conclusion: lim r e «On dit que lorsque tend vers -, l eponentielle l emporte sur la puissance» On retiendra: Lorsqu il y a une forme indéterminée en ou en «l eponentielle l emporte sur la puissance» e 5) Eercices: Etudier les limites: lim e lim e - ; lim e ; lim 2e ; lim ; lim e e ; lim 2 ; lim e 2.e 2- ; lim ; lim ( e -) +e - V) Dérivées et primitives: ) Dérivée des fonctions du type: f() e u() : a) Si u est une fonction dérivable sur I, Alors la composée des fonctions ep et u : epou est dérivable sur I, et epou ' () On note: e u() ' b) Eercices: ) Déterminer le domaine de définition, le domaine de dérivabilité et la dérivée des fonctions: i) f() e 2+ ii) f() e iii) f() ( 2 -)e 3- iv) f() 3 e v) f() e si n e cos 2) Etudier les limites: i) lim e ii) lim e 2 2) Primitives des fonctions du type: f() u ().e u() : Soit u une fonction dérivable sur I d après le V))a) les primitives de f() u ().e u() sont F() On retiendra: e u() ' en particulier: e a b Prim(u ().e u() ) ' en particulier: Prim ae a b ' VI) Eercices: E : ) Déterminer le domaine de définition, puis les primitives des fonctions: a) f() e 2- ; f() e 3 2

5 b) f() (2+)e 2 ; f() e 2 2) Résoudre dans R l équation: e t (2e t 3)dt 3) Déterminer le domaine de définition, puis déterminer par parties les primitives des fonctions: a) f() e 2+ ; f() (2-)e -+2 b) f() 2 e 3-2 ; f() ( 2-2+)e -+ E 2: Le but de cet eercice, est de prouver que: A R / ;+ e -t 2 dt A ) Montrer que la fonction I() e t2 dt est croissante et positive sur ; 2)a) Montrer que pour tout t de ;, on a: e t 2 e t b) Montrer que pour tout de ;, on a: I() -I() e e e 3) Déterminer un réel A qui répond au problème E 3: On considère les fonctions: f() e e et g() e e 2 2 )a) Déterminer le domaine de définition de f, et le domaine de définition de g b) Etudier la parité de f et de g 2) Montrer que pour tout réel : a) f 2 () -g 2 () b) g() < f() 3)a) Etudier la limite de f lorsque tend vers dresser le tableau de variations de f sur ; + b) Donner une équation de T, la tangente au graphe de f, au point d abscisse 4) a) Etudier la limite de g lorsque tend vers dresser le tableau de variations de g sur ; + b) Donner une équation de T, la tangente au graphe de g, au point d abscisse 5)a) Etudier lim (f() -g()) et interpréter graphiquement le résultat obtenu b) Construire dans un même repère orthonormé, les tangentes T et T puis les graphes des fonctions f et g 6) Pour tout réel k positif, A(k) est l aire du domaine plan défini par: k et g() y f a) Eprimer A(k) en fonction de k b) Etudier la limite de A(k) lorsque k tend vers E 4: On considère la fonction: f() 2e - ) Construire le graphe de f dans un repère orthonormé (unité: 2,5 cm) On calculera les coordonnées du point d infleion 2) Calculer: f()d 3)a) Montrer que pour tout de ;, f() 2 b) Calculer, en cm 2, l aire de l ensemble des points M(;y) tels que VII) Fonction eponentielle de base : ) Définition: On appelle fonction eponentielle de base la fonction notée (provisoirement): ep (), 2 y f()

6 qui est la bijection réciproque de la fonction logarithme de base 2) Relation fondamentale: y ln y ep () y 3) Notation définitive: Pour tout rationnel r ep (r) y ln (y) r ln y ln r lny rln lny ln r y r On généralise cette notation et l on pose: Pour tout réel, ep () 4) Propriétés algébriques de la fonction eponentielle de base : a) Remarque: Pour tout réel, y lny ln y e ln b)i) ; ii) Pour tous réels a et b, compléter: a+b -a a-b Pour tout rationnel r : a r 5) Etude de la fonction eponentielle de base : a) Dresser le tableau de variation de la fonction b) Construire le graphe de la fonction DEVOIR A LA MAISON E : On considère les fonctions f p : ( 2 p)e p si p.ln(e- ) si < où p est un paramètre réel )a) Déterminer D, le domaine de définition de f p b) Etudier la continuité de f p, sur D c) Déterminer p pour que f p, soit dérivable sur D 2) Pour toute la suite du problème, on fie p - ; F - est le graphe de f - a) Déterminer le zéro et le sens de variation de f -

7 b) Déterminer l asymptote et les abscisses des points d infleion de F - c) Construire les demi-tangentes à F -, au point d abscisse, puis construire F - d)i) Déterminer la valeur de a pour que la fonction g() a( + ) 2.e -, soit une primitive de la fonction f - sur ; + ii) Déterminer l aire A k, du domaine limité par F -, l ae (O) et les droites d équations: et k ( k > ). iii) Déterminer la limite de A k, lorsque k tend vers E 2: On donne la fonction d une variable réelle: f :. ln - 2 pour ; f() F est la représentation graphique de f dans un repère orthonormé a) Démontrer que F est symétrique par rapport au point O(;) b) i) Etudier la continuité de f en ii) Montrer que f n est pas dérivable en c) Etudier f : - Calculer les limites de f quand tend vers - Etudier la croissance et la décroissance de f - Calculer les etremums de f - Déterminer le les points d intersections de F avec les aes de coordonnées d) Dessiner F (N.B. la tangente à F en est l ae des y ) e) k étant un réel vérifiant: < k < e 2 i) Calculer l aire géométrique A(k) de la surface délimitée par F, l ae des et les droites d équation: k et e 2 ii) Calculer la limite de A(k) lorsque k tend vers +