La fonction exponentielle

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1 Éisode 4 La fonction exonentielle Existence et définition On considère l équation différentielle dérivées.. Existence Théorème d existence: admis y = y sur R: on cherche donc la ou les fonctions dérivables sur R égales en tout oint de R à leurs y(0) = Il existe une fonction solution de l équation différentielle y = y et y(0) =. Preuve: On montre que our tout réel x, la suite + x n n n 0 est convergente et on note ex(x) sa limite. Alors la fonction ex : x * ex(x) = Lim x + n + n n est dérivable sur R et vérifie ex (x) = ex(x) our tout réel x ainsi que ex(0) =. On se référera au document méthode d Euler, dans lequel une démonstration de ce résultat est roosé. Théorème d unicité - Soit φ une solution sur R de l équation différentielle y = y et y(0) =. Alors φ est unique. Préliminaires: On raelle un théorème fondamental en analyse concernant les fonctions dont la dérivée est nulle sur un intervalle: rael Soit une fonction dérivable sur un intervalle I de de R. Si sa dérivée est nulle sur I alors la fonction est constante sur I. Nous démontrons tout d abord un lemme intermédiaire. Lemme: Soit φ une solution sur R de l équation différentielle y = y et y(0) =. Alors φ(x) 0 our tout réel x. En fait, on eut affirmer que φ garde un signe constant sur R et donc que φ(x) > 0 our tout réel x. Preuve du lemme: Soit φ une solution de l équation différentielle y = y et y(0) =. On définit alors ψ : x * ψ(x) = φ(x) φ(-x), définie uisque φ est définie sur R et our tout réel x, -x R. La fonction ψ est dérivable sur R et our tout réel x, ψ (x) = φ (x) φ(-x) + φ(x) (-φ (-x)) = φ (x) φ(-x) - φ(x) φ (-x). Or on a our tout réel x, φ (x) = φ(x) donc en articulier, comme -x R, φ (-x) = φ(-x). On en déduit donc que ψ (-x) = φ(x) φ(-x) - φ(x) φ(-x) = 0. Par suite la fonction ψ est constante sur R. Or on a ψ(0) = φ(0) φ(-0) = =. Par suite our tout réel x, φ(x) φ(-x) =. On en déduit que φ(x) 0 our tout réel x. En effet, s il existait un réel a tel que φ(a) = 0, alors on aurait φ(a) φ(-a) = 0 d où 0 = : absurde. Comme φ est dérivable, elle est continue et donc de même s il existait a et b tels que φ(a) φ(b) < 0 (c est à dire que la fonction φ change de signes sur R: φ(a) > 0 et φ(b) < 0 ou φ(a) < 0 et φ(b) > 0) alors d arès le TVI, il existerait un réel α tel que φ(α) = 0. Donc la fonction φ ne change as de signe. Enfin comme φ(0) = > 0, on en déduit que φ(x) > 0 our tout réel 206

2 2 Terminale S, Exonentielle et Logarithme Remarque: on a obtenu ar la même occasion que our tout réel x, φ(x) φ(-x) = d où φ(-x) = φ(x). Preuve du théorème: Soit φ et ψ deux solutions sur R de l équation différentielle y = y et y(0) =. On définit alors la fonction f ar f (x) = ψ(x) our tout réel x. φ(x) D arès le lemme, comme φ(x) 0 our tout réel x, la fonction f est bien définie. De lus comme les fonctions ψ et φ sont dérivables et que φ ne s annule as sur R, alors la fonction f est dérivable sur R. Pour tout réel x, f (x) = ψ (x) φ(x) - ψ(x) φ (x) (φ(x)) 2. Or ar hyothèse, our tout réel x, ψ (x) = ψ(x) et φ (x) = φ(x) donc f (x) = D arès le théorème raelé, on sait donc que f est constante sur R. ψ(x) φ(x) - φ(x) φ(x) (φ(x)) 2 = 0. Or on a f 0 = ψ 0 φ 0 = = ar suite f (x) = our tout réel x et donc ψ(x) = φ(x) our tout réel x. Une solution sur R de l équation différentielle y = y et y(0) = est donc unique. Définition L unique solution sur R de l équation différentielle y = y et y(0) = est aelée la fonction exonentielle. Remarque: ce n est as la seule façon de définir la fonction exonentielle..2 Conséquences immédiates La fonction exonentielle est dérivable et our tout réel x, ex (x) = ex(x). Pour tout réel x, ex(x) > 0. Pour tout réel x, ex (x) > 0 donc la fonction exonentielle est strictement croissante sur R. ex(0) = Pour tout réel x, ex(-x) = ex(x). Preuve: ces roriétés découlent directement de la démonstration de l unicité de la fonction exonentielle..3 Le nombre d Euler: e. Définition Le nombre d Euler, est l image de ar la fonction exonentielle. On le note e. On a donc e = ex(). e 2, Le nombre e est irrationnel. e = Lim + n + n n Preuve: il existe lusieurs reuves de ce résultat. Ici c est une conséquence de la construction de la fonction exonentielle.

3 Terminale S, Exonentielle et Logarithme 3 2 Proriétés fonctionnelles Pour tout réel x, ex(x) > 0. La fonction exonentielle est dérivable sur R et our tout réel x, ex (x) = ex(x). La fonction exonentielle est strictement croissante sur R. Pour tous réels x et y, ex(x) = ex( y) x = y Pour tous réels x et y, ex(x) < ex( y) x < y Preuve: Les trois remières assertions ont déjà été exlicitées. Les deux dernières découlent de la stricte monotonie de la fonction exonentielle. En effet si x = y, on a clairement ex(x) = ex( y) uisque ex est une fonction et donc l image est unique. Si ex(x) = ex( y), avec x y, alors avec ar exemle x < y, comme la fonction exonentielle est strictement croissante, on obtient ex(x) < ex( y): absurde. De même si x < y, on a clairement ex(x) < ex( y). Et si ex(x) < ex( y), et y x, alors on obtient ex( y) ex(x) d arès la stricte croissance de la fonction exonentielle: absurde. Alications: On eut ainsi résoudre des inéquations et des équations. Par exemle, ex(x) > revient à ex(x) > ex(0) et donc il vient x > 0. Pour tout réel x, ex(x) x +. En articulier, our tout réel x, e x > x. Preuve: on considère la fonction φ : x * ex(x) - (x + ). φ est définie et dérivable sur R. De lus our tout réel x, φ (x) = ex(x) -. Or ex(x) > our x > 0 et ex(x) < our x < 0 donc φ (x) > 0 our x > 0 et φ (x) < 0 our x < 0. Donc la fonction φ est strictement croissante sur [0; + [ et strictement décroissante sur ] - ; 0]. Par suite φ(x) φ(0) our tout réel x. Or φ(0) = - (0 + ) = 0 donc φ(x) 0 our tout réel x. On en déduit donc ex(x) x + our tout réel x. On eut réciser en remarquant que φ(x) > 0 our x 0 et donc l égalité n a lieu que our x = 0. En remarquant que x + > x our tout réel x, on obtient ex(x) > x. Interrétation grahique: On remarque que la tangente à la courbe B ex en x = 0 a our équation y = ex (0) (x - 0) + ex(0) = x +. Donc on déduit de l inégalité récédente que B ex est toujours au-dessus de sa tangente en x = 0. Lim ex(x) = + Lim ex(x) = 0 Preuve: on sait que ex(x) x + our tout réel x et que Lim x + = +. Donc ar comaraison, Lim ex(x) = +. On a montré que ex(-x) = ex(x) our tout réel x donc ex(x) = ex(-x). Alors comme Lim - x = + Lim ex(x) = + X +, ar comosition, il vient Lim ex(-x) = + et ar inverse, Lim ex(x) = Lim Interrétation grahique: la droite d équation y = 0 est asymtote horizontale à B ex en -. ex(-x) = 0. On déduit donc que la fonction exonentielle est à valeurs dans ] 0; + [. Ainsi comme de lus elle est continue et strictement croissante sur R, our tout réel y ] 0; + [, il existe un unique réel x tel que ex(x) = y. La fonction exonentielle réalise une bijection de R sur ] 0; + 206

4 4 Terminale S, Exonentielle et Logarithme 3 Courbe Nous avons déjà lusieurs roriétés de la courbe B ex. Déterminons de lus la tangente en x =. La tangente à la courbe B ex en x = asse ar l origine du reère. Preuve: L équation de la tangente à B ex en x = est donnée ar y = ex () (x - ) + ex() = e(x - ) + e = e x. Donc cette tangente asse ar l origine du reère. On obtient la courbe: O -2-2 Remarquons aussi le tableau de variations: x - + ex(x) + + ex 0

5 Terminale S, Exonentielle et Logarithme 5 4 Proriétés algébriques En lus des roriétés déjà établies, la fonction exonentielle ossède une roriété remarquable, qui la caractérise comlètement. Pour tous réels x et y, ex(x + y) = ex(x) ex( y). Autrement dit, l image de la somme est le roduit des images. Preuve: ex x + y Soit y un réel. On définit alors la fonction φ : x *, définie sur R uisque ex( y) > 0. ex y La fonction φ est dérivable sur R et our tout réel x, φ (x) = ex x + y ex x + y = = φ(x) (en effet, ici, y et ex( y) sont des constantes. La ex y ex y variable est x). ex 0 + y De lus φ 0 = =. ex y Donc φ est solution sur R de l équation différentielle y = y et y(0) =. Or on a montré que cette équation différentielle admet our unique solution sur R, la fonction x * ex(x). Donc our tout réel x, φ(x) = ex(x). ex x + y Finalement, on a donc our tout réel y et tout réel x, = ex(x) d où ex(x + y) = ex(x) ex( y). ex y Remarque: La fonction exonentielle est l unique solution définie et dérivable sur R de l équation fonctionnelle f (x + y) = f (x) f ( y). En cherchant une fonction dérivable qui vérifie our tous réels x et y, la relation f (x + y) = f (x) f ( y), on retrouve la fonction exonentielle. Soit f une fonction non nulle, dérivable sur R, telle que our tout réels x et y, f (x + y) = f (x) f ( y). Alors il existe une constante réelle k telle que f (x) = ex(k x) our tout réel x. Preuve: en aendice. Corollaire: (i) Pour tout réel x, ex (-x) = ex(x). (ii) Pour tous réels x et y, ex x - y = ex(x) ex y. (iii) Pour tout réel x et tout entier relatif n, ex(x) n = ex(n x). (iv) En articulier, our tout entier relatif n, ex (n) = e n. (v) ex 2 x = ex(x) Preuves: (i) déjà démontrée. Remarquons néanmoins que l on retrouve le résultat en considérant ex(0) = ex(x + (-x)) = ex(x) ex(-x). (ii) il suffit de remarquer que ex x - y = ex x + - y = ex(x) ex - y = ex(x) ex y. (iii) On raisonne ar récurrence our n N. On a ex(0 x) = ex(0) = et ex(x) 0 = d où ex(0 x) = ex(x) 0. Pour n N, on fait l hyothèse de récurrence, ex(x) n = ex(n x). Alors comme ex(x) n+ = ex(x) n ex(x), d arès l hyothèse de récurrence, ex(x) n+ = ex(n x) ex(x) = ex(n x + x) d arès le théorème. Finalement ex(x) n+ = ex((n + ) x): la roriété est héréditaire. D arès l axiome de récurrence, elle est donc vraie our tout entier naturel n. Ensuite on remarque our n Z, n < 0 que -n N, d où ex(x) n = ex(x) -n = = ex(-(-n x)) = ex(n x). ex(-n x) (iv) Il suffit d aliquer la roriété récédente avec x 206

6 6 Terminale S, Exonentielle et Logarithme ( ) Remarquons que comme e >, alors Lim e n = +. n + Alors our tout réel M, il existe un entier N M tel que n N M e n > M, en articulier e N M > M. Par suite comme la fonction exonentielle est strictement croissante, our tout réel x N M, ex(x) e N > M: on retrouve Lim ex(x) = +. (v) On a ex (x) = ex 2 x + 2 x == ex 2 x ex 2 x = ex 2 2 x our tout réel x. Alors comme ex(x) > 0 et ex 2 x > 0, on obtient ex(x) = ex 2 x 2 = ex 2 x. Alications: On eut ainsi transformer des exressions contenant des exonentielles et résoudre des équations et inéquations. 5 La notation e x. On remarque que la fonction exonentielle ossède des roriétés analogues aux uissances: a m+n = a m a n et (a n ) m = a n m, a -n = a n. Par analogie, on définit: Définition On note e x = ex(x) our tout réel x. Ainsi on utilisera de référence, la notation dite notation exonentielle, lus ratique our les maniulations. Les roriétés s écrivent alors: x R, e x > 0 x R, e x x + x R, (e x ) = e x (cette notation est abusive) e x+ y = e x e y e -x = e x e x- y = ex (e x ) n = e n x our tout entier relatif n e 2 x = e x e y Lim e x = + e x = e y x = y Lim e x = 0 e x < e y x < y 6 Comosée Pour toute fonction u définie et dérivable sur I R, la fonction ex u : x * ex(u(x)) = e u(x) est définie et dérivable sur I et sa dérivée est donné ar ex u = (e u ) = u e u. Preuve: Il suffit d aliquer la formule de dérivation d une fonction comosée. 7 Limites articulières.

7 Terminale S, Exonentielle et Logarithme 7 A P P E N D I X A À roos de l équation fonctionnelle. Soit f une fonction non nulle, dérivable sur R, telle que our tout réels x et y, f (x + y) = f (x) f ( y). Alors il existe un réel k tel que f (x) = ex(k x) = e k x our tout réel x. Preuve: Démontrons a riori quelques roriétés d une fonction qui serait solution de cette équation fonctionnelle. Remarquons dans un remier tems que l on eut suoser f (x) 0 our tout réel x. En effet s il existe un réel a, tel que f (a) = 0, alors f (a + y) = f (a) f ( y) = 0 our tout réel y. Ainsi our tout réel x, comme x = a + (x - a), on obtient f (x) = 0. Donc s il existe un réel a tel que f (a) = 0, f est la fonction constante égale à 0 sur R. Évidemment la fonction nulle est solution, mais disons que dans ce cas elle ne nous intéresse as. Donc our tout réel x, f (x) 0. Pour tout réel x, f (x) > 0: en effet f (x) = f x 2 + x 2 = f x 2 f x 2 = f x 2 2 > 0 uisque f x 2 0. f (0) = : en effet our tout réel x, f (x) = f (0 + x) = f (0) f (x) d où comme f (x) 0, f (0) =. Pour tout réel x, f (-x) = : en effet f (0) = f (x + (-x)) = f (x) f (-x) et on sait que f (x) 0. f (x) Pour tous réels x et y, f x f - y = (x) f y. n Pour tout entier naturel n, comme n =, f (n) = f () n. k= Pour tout entier relatif n, f (n) = f () n. On montre alors que our tous entiers et q, non nuls, f = f uis que f q = f q uisque = et q = q. Cela k= k= demande d avoir au réalable défini x et x q. f est dérivable sur R, alors our tout réel x, la fonction φ x : y * φ x ( y) = f (x + y) est dérivable comme comosée de la fonction y * x + y dérivable sur R suivie de la fonction f. On obtient alors φ x ( y) = f (x + y). De lus comme our tout réel y, φ x ( y) = f (x) f ( y) alors φ x ( y) = f (x) f ( y). On a donc our tout réel y, f (x + y) = f (x) f ( y) et en articulier our y = 0, f (x) = f (0) f (x): il existe donc un réel k tel que f est solution de l équation différentielle y = k y et y(0) =. Il est clair que la fonction x * e k x est solution de y = k y et y(0) =. Réciroquement soit φ une solution de y = k y et y(0) =. Alors la fonction ψ : x * φ(x) est définie et dérivable sur R et our tout réel x, ek x ψ (x) = φ (x) e k x - φ(x) k e k x k e k x 2 = φ(x) ek x - k φ(x) ek x e k x 2 = 0 donc ψ est constante égale à ψ(0) =. Par suite φ(x) = e k x. En conclusion l équation différentielle y = k y, y(0) = admet une unique solution, la fonction x * e k x et donc les fonctions dérivables non nulles telles que f (x + y) = f (x) f ( y) sont les fonctions x * e k 206