fonctions logarithme et exponentielle : propriétés analytiques
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- Josiane Vinet
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1 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID foctios logrithm t potill : propriétés lytiqus. Trsformr u produit u somm Cosidéros u foctio f tll qu pour tous réls strictmt positifs t b, f ( b) = f ( ) + f ( b). U tll foctio trsform doc u produit u somm. L foctio logrithm épéri, oté S dérivé st l foctio. l, défii sur ] 0, + [ possèd u tll propriété. Nous dmttos ctt propriété fodmtl (qu ous démotrros lors du chpitr sur ls primitivs) : Pour tous réls strictmt positifs t b : l( ) Soit u rél strictmt positif. ( ) Aisi : l = 0. : l = 0 b = l + lb l = l = l + l d'près s propriété fodmtl. L mchi, grâc à l touch, ous do ds vlurs pprochés : l 0,69 l,099 D cs du vlurs, ous pouvos déduir qu l6 = l( ) = l + l 0,69 +,099,79 L mchi ous do cofirmtio. l 5 ou l0 sot ps évlubls, compt tu d l'smbl d défiitio d l. ( ) Pr cotr, l = l = l + l l + l = 0. Nous déduisos qu l = l = 0,69. L foctio logrithm épéri put doc rvoyr ds vlurs égtivs. Pour tout rél strictmt positif : l l = D mêm, ous vos l = l = l + l l = l l,099 0,69 0,406. Rmrquos simplmt qu l mchi ous do l 0,405. L différc ds du résultts st lié u rrurs cumulés sur ls rrodis d l t l à 0 près. Plus géérlmt, vc u démrch similir : Pour tout réls strictmt positifs t b : l l lb b = - -
2 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID Nous vos ( ) l8 = l = l = l + l + l = l 0,69,079. Comm l foctio l trsform u produit somm, il v d soi qu'vc rél strictmt positif t tir strictmt positif : l = l... = l l = l fcturs trms Si = 0, l 0 = l = 0 = 0 l. Si st u tir strictmt égtif : l = l = l l ( l ) l = = = cr lors st strictmt positif. Pour tout rél strictmt positif t pour tout tir rltif : l = l Soit u rél strictmt positif. ( ) l = l = l l = l Pour tout rél strictmt positif : l = l Ercic Eprimr chcu ds ombrs suivts foctio d l t/ou l t/ou l5 :. l. l 8. l8 4. l 4 5. l l l 8. l7 l9 + l Comm l foctio f ( ) = l st défii sur l'smbl ] 0; [ t pour dérivé f ( ) ll st strictmt croisst sur ] 0; [. L mchi ous do : l0, p p Comm l( 0 ) = pl0, p : lim l( 0 ) lim (, p) = = + p Comm l0 = p l0, p : lim l( 0 p ) = lim (, p) = ' = > 0, s lim l = + t + lim l =
3 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID Nous vos doc l tblu d vritios suivt : Avc l clcultric, utilist l foctio Tbl, o sisit Y = lx. Puis o sisit ls vlurs pour X grâc u mu SET. Efi o sélctio l mu TABL. L courb rprésttiv d l foctio l dmt 0 + u symptot vrticl. L courb rprésttiv d l foctio l coup l droit d'équtio y = u poit. Nous ppllros l'bsciss d c poit. Défiitio st l ombr rél défii pr l = - -
4 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID Nous costtos qu l foctio ugmt bucoup plus vit qu l foctio lorsqu td vrs +. l s lim = + + l l lim = 0 +. Foctio réciproqu d l L foctio p( ) s'ppll foctio potill. l t p( ) sot ds foctios réciproqus, c qui sigifi qu : Qul qu soit ] 0; + [ : p( l ) Qul qu soit R : l( p ( ) ) = Défiitio = Pour tout rél t tout rél strictmt positif y, o : l p( ) Soit t b du réls tls qu = l ' t b = l b'. = y = y ( + b) = ( + b ) = ( ( b )) = b = ( ) ( b) p p l ' l ' p l ' ' ' ' p p Pour tous réls t b : p( + b) = p( ) p( b) Cosidéros u foctio f tll qu pour tous réls t b, f ( + b) = f ( ) f ( b). U tll foctio trsform doc u somm u produit. L foctio potill, oté p( ) ll-mêm, doc l foctio p( ). défii sur R, possèd ctt propriété. S dérivé st Soit u ombr tir. O s rppll qu l ombr st tl qu l = (,78). Comm ( ) ( ) ( ) ( ) = = =, o p( ) p l p l p dmttr u ouvll ottio. =. Ctt logi ous mè à Nottio Pour tout ombr rél, p( ) = Soit u rél = = = d'près s propriété fodmtl. : 0 = - 4 -
5 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID + 0 = = =. Pour tout rél : = b b = = Pour tout réls t b : b b = b lim p p = + cr > t lim = lim = 0 p s lim = + t lim = 0 + L foctio potill rvoi qu ds vlurs strictmt positivs. L foctio f ( ) = l st défii sur Rt pour dérivé ( ) croisst sur R. L tblu d vritios st : f ' = > 0, ll st strictmt - 5 -
6 Lycé Juls Sigfrid - L Hvr - Mrc Bizt - Clss d Trmil STID L courb rprésttiv d l foctio bscisss. dmt pour symptot horizotl, l' ds L symétri ds du courbs rprésttivs ds foctios ds foctios. l t illustr l réciprocité Pr mpl, l poit M pour coordoés (, ) t so symétriqu M' pour coordoés (,). Nous costtos qu l foctio ugmt bucoup mois vit qu l foctio lorsqu td vrs +. s lim = 0 lim + + = + Ercic Eprimr l plus simplmt (. ) ( + ) ( ) ( ) 4 7. ( ) 8. ( ) 9. ( ) 0. ( ) 4 + Ercic Eprimr plus simplmt :. l( ) l( ). ( l( )). 4l5 4. l( ) 5. l 6. l( 5 ) 7. l( 0 ) 8. 9 l 9. l l - 6 -
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