Corrigé des exercices sur les Opérateurs

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1 Corrigé des exercices sur les Opérateurs 31 mars 28 1 Exercice Énoncé Sur l espace de Hilbert H = L 2 ([, π], on considère l opérateur intégral T qui à tout x H associe la fonction T x définie par (1 (T x(t = cos(t sx(sds (t [, π]. 1 Vérifier par calcul direct que T x L 2 ([, π] et que T π. 2 Calculer l adjoint T de T sans utiliser les théorèmes du cours. 3 Démontrer que pour tout x L 2 ([, π], la fonction T x est 2 fois dérivable et vérifie une équation différentielle qu on précisera. 4 Donner une expression explicite de T x de deux façons différentes : i en utilisant la question 3, ii par calcul direct. 5 Vérifier que T est (à une constante multiplicative près un opérateur de projection orthogonale sur sous-espace vectoriel de L 2 ([, π] qu on précisera. En déduire la valeur exacte de T. 6 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de T. Le théorème de diagonalisation s applique-t-il à T? Si oui, préciser la forme diagonale de T. (indication : Dans les questions 5 et 6, on pourra utiliser la base hilbertienne des sinus-cosinus de L 2 ([, π]. 1.2 solution 1 Pour t [, π] fixé, on a (2 T x(t ( cos(t s. x(s ds 2π x, 1/2 ( 1/2 cos(t s 2 ds x(s 2 ds Notes du cours sur les espaces de Hilbert de M. L. Gallardo, Licence 3-ième année, Université de Tours, année

2 grâce à l inégalité de Cauchy-Schwartz et en majorant le cosinus par 1. D où (3 T x 2 = T x(t 2 dt 4π 2 x 2 < +, ce qui prouve 1 mais on obtient seulement T 2π. En fait la majoration (2 est trop grossière : on peut calculer (4 cos(t s 2 ds = cos 2 (sds = π, et on peut remplacer (2 par π x, ce qui donne T π. 2 Pour x, y H, grâce au théorème de Fubini, on a ( < T x, y > = (T x(ty(tdt = cos(t sx(sds y(tdt = = x(sy(t cos(t sdsdt ( x(s cos(s ty(tdt ds = =< x, T y >. x(st y(sds Comme d autre part par définition de T, < T x, y >=< x, T y >, on a donc < x, T y >=< x, T y > pour tout x H, d où T y = T y et par conséquent T est autoadjoint. 3 Par le théorème de dérivation sous le signe intégrale, on a (5 (T x (t = sin(t s x(sds (En effet (cos(t s x(s = sin(t sx(s et on a la domination t sin(t sx(s x(s, où x est intégrable et indépendante de t. De la même manière, on peut encore une fois dériver sous le signe intégrale et on obtient (6 (T x (t = cos(t s x(sds = (T x(t. La fonction T x vérifie l équation différentielle y = y. 4 i D après 3, il est clair que (T x(t = a cos t + b sin t, où les constantes a et b sont telles que a = T x( = x(s cos s ds b = T x( π 2 = x(s cos( π 2 s ds = x(s sin s ds ii En écrivant cos(t s = cos t cos s+sin t sin s dans la formule (1, on obtient aussitôt ( ( (7 T x(t = x(s cos s ds cos t + x(s sin s ds sin t. 2

3 5 Dans la base hilbertienne des sinus-cosinus 1 on peut écrire x(s = n= a n cos(ns + b n sin(ns, en tant que série convergente dans L 2 ([, π], où les a n et b n sont les coefficients de Fourier de x. On voit alors que (8 (T x(t = π(a 1 cos t + b 1 sin t = πp V (x(t, où P V désigne la projection orthogonale sur le sous-espace V de (dimension 2 de L 2 ([, π] engendré par les deux fonctions cos et sin. Ainsi T = πp V est, au coefficient multiplicatif π près, la projection orthogonale de H sur V (pour ceux qui n en sont pas convaincus voir la remarque à la fin de l exercice. De plus comme pour x V, on a P V (x = x, donc T x = π x, il en résulte que T π. Grâce à la question 1, on en déduit que T = π. 6 Compte tenu de ce qui précède, l équation aux valeurs propres T x = λx est équivalente à : (9 π(a 1 cos t + b 1 sin t = λ L unicité du développement implique n= (a n cos(nt + b n sin(nt. (1 πa 1 = λa 1, πb 1 = λb 1, λa n = λb n = si n 1. Discussion du système d équations (1 : 1 si a 1 : il est nécessaire que λ = π et dans ce cas a n = b n = pour tout n 1. 2 si a 1 = et b 1 : alors λ = π et on a aussi a n = b n = pour tout n 1. 3 si a 1 = et b 1 = : il y a deux sous-cas : i si l un des a n ou b n (n 1 est non nul, nécessairement λ =. ii si λa n = λb n = pour tout n 1, λ pourrait être quelconque mais ce cas est impossible (pas de vecteur propre x. Conclusion : λ = ou π. Récapitulons pour préciser les vecteurs propres : si λ =, les vecteurs propres sont toutes les fonctions (11 x(t = a + n=2 (a n cos(nt + b n sin(nt. si λ = π, les vecteurs propres sont les fonctions (12 x(t = a 1 cos t + b 1 sin t. L opérateur T est de Hilbert-Schmidt car c est un opérateur à noyau et il est autoadjoint donc il est diagonalisable d après le cours. En fait la forme diagonale est donnée par (8 : (13 T x = π < x, φ 1 > φ 1 + π < x, φ 2 > φ 2, 1 attention ici les fonctions sinus-cosinus ne sont pas de norme un pour le produit scalaire usuel de L 2 ([, π] mais ceci n a aucune importance si nous utilisons les formules correctes du développement d une fonction en série de Fourier come il est expliqué dans la remarque à la fin de l exercice. 3

4 où φ 1 (t = cos t π et φ 2 (t = sin t π (voir la fin de la remarque suivante. Remarque (commentaire détaillé de la formule (8 de la question 5 : L expression usuelle des coefficients de Fourier sinus-cosinus (voir chapitre 3, paragraphe 2.1, formule (11 est (14 a = 1 f(tdt, a n = 1 f(t cos nt dt, b n = 1 f(t sin nt dt (n 1, 2π π π on les obtient en considérant l espace L 2 ([, π] muni du produit scalaire avec lequel on a travaillé dans le chapitre 3, i.e. < x, y >= 1 2π x(ty(tdt, est pour lequel les exponentielles complexes : e int, n Z forment une base hilbertienne. Dans cet espace il faut normaliser les sinus et cosinus pour obtenir une autre base hilbertienne : ce sont les fonctions : f = 1, f 2k 1 (t = 2 sin(kt et f 2k (t = 2 cos(kt k 1 qui forment la base hilbertienne qu on appelle des «sinus-cosinus» (voir le corollaire 1.4 du chapitre 3. La série de Fourier d une fonction x dans cette base hilbertienne est par définition la fonction + k= < x, f n > f n (s mais il se trouve qu elle coïncide avec l expression traditionnelle : (15 k= < x, f n > f n (s = n= a n cos(ns + b n sin(ns, où les a n et b n sont donnés par (14. Donc la projection P V (x de la fonction x sur le sous-espace V engendré par les fonctions cos et sin est P V (x(s =< x, f 1 > f 1 (s+ < x, f 2 > f 2 (s = a 1 cos(ns + b 1 sin(ns, On remarque donc que la formule traditionnelle donnant la série de Fourier en «sinus-cosinus» est bien adaptée pour faire des projections orthogonales. On notera aussi que la projection étant une opération géométrique, le vecteur P V (x est intrinsèque, il ne change pas si on modifie le produit scalaire par une constante multiplicative. Par exemple si, comme on l a supposé, on munit L 2 ([, π] du produit scalaire < x, y >= x(ty(tdt, Pour ce produit scalaire la base hilbertienne des «sinus-cosinus» est composée des fonctions : φ = 1 2π, φ 2k 1 (t = 1 π sin(kt et φ 2k (t = 1 π cos(kt k 1 et pour laquelle on a aussi une formule analogue à (15 où on remplace les f k par les φ k, ce qui explique qu on à aussi la formule (13 qui représente la fonction T x. 4

5 2 Exercice Énoncé Soit f L 2 ([, 1]. On considère le problème aux limites { x (16 (t = f(t x( = x(1 = 1. 1 Montrer que (16 a une solution unique de la forme (17 x(t = (Kf(t = où (18 k(t, s = 1 k(t, sf(sds { s(t 1 si s t t(s 1 si t s 1 2 Réciproquement, vérifier que pour toute f L 2 ([, 1], la fonction Kf définie en (17 est deux fois dérivable sur [, 1] et vérifie (16. 3 En déduire que n est pas valeur propre de l opérateur K et que λ est valeur propre de K de fonction propre associée f si et seulement si f est deux fois dérivable et vérifie { f (19 (t 1 f(t = λ f( = f(1 =. 4 Montrer que les seules valeurs de λ telles que (19 ait une solution non nulle sont de la forme λ k = 1 π 2 k avec k 2 N et que le sous espace propre de K associé à λ k est de dimension 1 et engendré par la fonction φ k : t φ k (t = 2 sin(kπt. 5 Que peut-on dire de la famille des fonctions φ k (k 1 de la question 4 relativement à l espace L 2 ([, 1] et à l opérateur K? 2.2 solution 1 En intégrant directement, on obtient et x(t = x (t = ( u f(udu + A f(sds du + At + B, où A et B sont des constantes. Mais grâce au théorème de Fubini-Tonelli, on a ( u ( f(sds du = f(s du ds = (t sf(sds, d où (2 x(t = s (t sf(sds + At + B. 5

6 Mais la condition x( = implique B = et x(1 = exige A = 1 ( (1 t sf(sds. Ainsi en écrivant A = + 1 (1 sf(sds et en remplaçant dans t (2, on obtient (21 x(t = = 1 s(t 1f(sds + k(t, sf(sds, 1 t t(s 1f(sds où la fonction k est donnée par la formule (18. 2 Grâce à (21, (Kf(t = (t 1 sf(sds+t 1 (s 1f(s ds et en dérivant t deux fois cette fonction de t, on obtient immédiatement (22 (Kf (t = f(t, d où le résultat car les conditions aux bords sont évidentes. 3 Si Kf =, (22 implique f = donc λ = n est pas valeur propre, c est à dire que l opérateur K est injectif. Si maintenant λ et une fonction f sont telles que Kf = λf, en dérivant deux fois cette relation et en utilisant (22, on obtient aussitôt (19. Réciproquement si f vérifie (19, en utilisant (22, on obtient Kf = λf. 4 L équation différentielle (19 est du second ordre homogène et à coefficients constants ; son équation caractéristique est r 2 1 = dont les racines sont λ r = ± 1/λ si λ > et r = ±i 1/λ si λ <. Ainsi si λ >, la solution générale de (19 est f(t = C 1 e t 1/λ + C 2 e t 1/λ, mais f( = impose C 2 = C 1 donc f(t = 2C 1 sh(t 1/λ, puis f(1 = exige 2C 1 sh( 1/λ = i.e. C 1 =. D où f = et donc λ > n est jamais valeur propre. si λ <, la solution générale est f(t = C 1 e it 1/λ + C 2 e it 1/λ et f( = implique C 2 = C 1 donc f(t = 2iC 1 sin(t 1/λ. La condition f(1 = et f non nulle impose alors qu on ait sin( 1/λ =. Nécessairement 1/λ = kπ avec k N. Les seules valeurs propres possibles sont donc les nombres (23 λ k = 1 π 2 k 2 avec k N, et une fonction propre associée à la valeur propre λ k est de la forme f(t = 2iC 1 sin(kπt, où C 1 est une constante complexe arbitraire. L espace propre associé est donc de dimension un et si on veut f = 1, il suffit de prendre le vecteur propre φ k (t = 2 sin(kπt comme vecteur de base du sous-espace propre associé à λ k. 5 Comme K est un opérateur de Hilbert-Schmidt d après le cours et qu il est autoadjoint car son noyau k est réel et symétrique, il est diagonalisable et pour toute f L 2 ([, 1], on a (24 Kf = k=1 1 k 2 π 2 < f, φ k > φ k, 6

7 où, a priori, la série converge au sens de L 2. D autre part, comme K est injectif, on sait d après le cours que les fonctions φ k (k 1 forment une base hilbertienne de L 2 ([, 1]. De plus le noyau k étant continu, un exercice de la feuille sur les opérateurs, montre que la série de fonctions (24 est uniformément convergente sur [, 1] et de somme Kf. 7