Droites et plans dans l espace

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1 Droites et plans dans l espace Positions relatives de deux plans Deux plans de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives de deux plans Plans Deux plans peuvent être strictement Deux plans peuvent être confondus Plans sécants Deux plans sont sécants selon une droite Positions relatives d une droite et d un plan Une droite et un plan de l espace sont strictement s ils n ont aucun point en commun. Positions relatives d une droite et d un plan Une droite peut être incluse dans un plan. Plan et droite Une droite et un plan peuvent être strictement. Leur intersection est vide. Plan et droite sécants Une droite et un plan peuvent être sécants en un point. N. Duceux LFIB TS Page 1

2 Positions relatives de deux droites Deux droites de l espace sont strictement si elles sont coplanaires et qu elles n ont aucun point en commun. Remarque Dans l espace, deux droites n ayant aucun point en commun ne sont pas pour autant strictement. Position relative de deux droites Les deux droites sont strictement (ou confondues). Droites coplanaires Les deux droites sont sécantes (un seul point commun). Droites non coplanaires Aucun plan ne les contient toutes les deux. Elles n ont pas de point d intersection. Parallélisme dans l espace Propriétés Parallélisme de droites 1. Si deux droites sont, alors toute parallèle à l une est parallèle à l autre. 2. Si deux droites sont, alors tout plan qui coupe l une coupe l autre. Propriétés Parallélisme de plans 1. Si deux plans sont, alors tout plan parallèle à l un est parallèle à l autre. 2. Si deux droites sécantes d! et d! d un plan P sont à deux droites sécantes d! et d! d un plan P alors P et P sont. N. Duceux LFIB TS Page 2

3 3. Si deux plans P! et P! sont alors tout plan qui coupe l un coupe l autre et les droites d intersection sont. Propriétés Parallélisme d une droite et d un plan 1. Si un plan P contient une droite d parallèle à une droite alors P et sont. 2. Si une droite d et un plan P! sont alors tout plan P! contenant d et sécant à P! coupe P! selon une droite parallèle à d. Théorème du toit Si deux plans P et P sont sécants selon une droite et si d et d sont deux droites contenues respectivement dans P et P, alors la droite est parallèle à d et d. N. Duceux LFIB TS Page 3

4 Preuve par l absurde Soit u un vecteur directeur de et v un vecteur directeur de d et d. Supposons que d et ne soient pas. Alors u et v sont des vecteurs directeurs du plan P. et d ne sont également pas donc u et v sont des vecteurs directeurs du plan P. P et P ont des vecteurs directeurs en commun ils devraient donc être. Ce qui est contraire à l hypothèse de départ que les plans sont sécants Orthogonalité dans l espace Propriété Orthogonalité de deux droites Dire que deux droites sont orthogonales signifie que leurs menées d un point quelconque sont perpendiculaires. Exemple Dans le cube ABCDEFGH, les droites (AC) et (DF) sont perpendiculaires car (DF) est parallèle à (EA) et (EA) est perpendiculaire à (AC). Orthogonalité d une droite et d un plan Dire qu une droite d et un plan P sont orthogonaux signifie que la droite d est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Exemple Dans le cube ABCDEFGH, la droite (DF) est perpendiculaire au plan (ABC) car la droite (DF) est perpendiculaire aux droites (AB) et (AC). Théorème Une droite d est orthogonale à un plan P si, et seulement si, elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan P. Preuve dans le cours sur le produit scalaire Propriété et Projeté orthogonal sur un plan Soit P un plan et M un point de l espace. Il existe une unique droite d passant par M et orthogonale à P. Le point M intersection de la droite d avec le plan P est le projeté orthogonal de M sur P. N. Duceux LFIB TS Page 4

5 Propriété et Projeté orthogonal sur une droite Soit d une droite et M un point de l espace. Il existe un unique plan P passant par M et orthogonale à d. Le point M intersection du plan P avec la droite d est le projeté orthogonal de M sur d. Propriétés 1. Si deux droites sont, tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. 2. Si deux droites sont orthogonales à un même plan alors elles sont. 3. Si deux plans sont, alors toute droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. 4. Si deux plans sont orthogonaux à une même droite alors ils sont. N. Duceux LFIB TS Page 5