Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs. Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires. Elles ont un point commun.

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1 Chapitre 8 : Droites et plans de l espace - Vecteurs I Positions relatives de droites et de plans Positions relatives de deux droites Deux droites de l'espace sont soit coplanaires, soit non coplanaires Non coplanaires : Aucun plan ne les contient toutes les deux Coplanaires : Elles sont sécantes ou parallèles leur intersection est vide Exemple Elles ont un point commun Elles sont disjointes ou confondues ABCDEFGH est le cube ci-contre Les droites( EG) et( GC) sont coplanaires et sécantes en G Les droites ( BC) et( FG) sont coplanaires et parallèles Les droites( EF ) et ( AC) sont non coplanaires Positions relatives de deux plans Deux plans sont : soit confondus Soit strictement parallèles Soit sécants Selon une droite d'incidence Lorsque deux plans sont parallèles, tout plan coupant l un coupe l'autre et les droites d'intersection sont parallèles

2 3 Positions relatives d une droite et un plan Une droite et un plan de l'espace sont soit sécants, soit parallèles Sécants Parallèles Soit la droite est incluse dans le plan, soit elle est strictement parallèle Leur intersection est un point unique Une droite D est parallèle à un plan s il existe une droite D incluse dans le plan et parallèle à D Application Soit ABCDEFGH un cube et N un point de [ EH ] Déterminer la section du cube par le plan passant par N et parallèle au plan( AFH ) Application ABCD est un tétraèdre I, J, K sont les points des arêtes respectives[ ] 3 que : AI = AB, AJ = AC et AK = AD 3 4 Préciser, en justifiant la position relative : des droites( IJ ) et ( BC ) des droites ( IJ ) et ( BD ) 3 de la droite ( IJ ) et du plan ( ) 4 des plans ( IJK ) et ( ) BCD BCD Tracer leur droite d'intersection AB, [ AC ], [ ] AD tels

3 II Caractérisations vectorielles Vecteurs de l espace : définition et opérations On étend à l'espace la notion de vecteur définie dans le plan, ainsi que les opérations associées : multiplication par un réel, somme de deux vecteurs a Multiplication par un réel Définition Soit λ un réel et un vecteur non nul u!! = AB On définit le vecteur λu! par λu!! = AC, où C est le point d'abscisse λ dans le repère A, B ( ) de la droite( AB) De plus, pour tout réel λ, on pose λ0! = 0! Rappel On dit que les vecteurs u! et λu! sont colinéaires ABCD est un parallélogramme ssi AB = DC b Somme de deux vecteurs Définition Pour tous vecteurs u! et v! de l'espace, on définit la somme u! + v!!!! comme la somme vectorielle de leurs représentants respectifs AB et BS dans un même plan On a donc : u! + v!!!! = AB + BS = AS 3

4 Caractérisations vectorielles d'une droite, d'un plan Caractérisation d'une droite Soit A un point de l'espace et u! un vecteur non! nul L'ensemble des points M de l'espace tels que AM = xu, x!, est la droite AB On dit que u! est un vecteur directeur de la droite( AB ) Caractérisation d'un plan ( ), où AB = u Soit A un point de l'espace, u! et v! deux vecteurs non colinéaires de l'espace L'ensemble des points M de l'espace tels que! AM = xu + yv, où x! et y!, est le plan ABC = u et AC = v ( ), où AB Démonstration u! et v! étant non colinéaires, les droites AB ( ABC ) ( ) et ( AC) sont sécantes et définissent bien le plan Soit M un point vérifiant! AM = xu + yv On considère le point N du plan( ABC) qui admet pour coordonnées( x; y)dans le repère ( ABC,, ) Alors : AN = x AB + y AC! Ainsi, AM = AN donc M et N sont confondus et N ABC Réciproquement, tout point M du plan ( ) ( ) coordonnées x; y Conséquences ( ) ( ) des ABC admet dans le repère A, B,C telles que :! AM = x AB + y AC = xu + yv Deux droites sont parallèles si, et seulement si, leurs vecteurs directeurs sont colinéaires Deux plans ayant même couple de vecteurs directeurs sont parallèles Une droite D et un plan P sont parallèles si, et seulement si, un vecteur directeur de D est un vecteur du plan P 4

5 Application (Déclic 4 p 63) On considère le tétraèdre ABCD 3! Construire les points F et E définis par : AF = AB Démontrer que les droites ( BC) et FE! 3 Soit G le point défini par EG = 3 CD a Que peut-on dire des plans BCD ( ) sont parallèles ( ) et ( EFG) ( ) ( ) et ( GF ) sont parallèles b Justifier que G appartient à la droite AD c Démontrer que les droites BD! et CE = AC 3 Décomposition de vecteurs a Vecteurs coplanaires Définition On dit que trois vecteurs u!, v!! et w de l'espace sont coplanaires lorsqu'il existe quatre points A, B, C et D appartenant à un même plan et tels que : u!! = AB, v!! = AC! et w =! AD Soient u!, v! et w! trois vecteurs de l'espace, tels que u! et v! ne sont pas colinéaires Les vecteurs u!, v!! et w! sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels x et y tels que w = xu + yv Démonstration Soient A, B, C et D des points tels que u!! = AB, v!! = AC! et w =! AD, u! et v! étant non colinéaires, les points A, B et C définissent un plan dont A;u!,v! Par définition u!, v! et w! sont coplanaires ssi D ABC D'après la caractérisation vectorielle d'un plan, D ABC réels x; y = xu + yv ( ) tels que AD ( ) est un repère Ainsi u!, v! et w! sont coplanaires ssi w! = xu + yv, avec x et y réels Remarque ( ) ( ) équivaut à : il existe un couple de Si trois vecteurs sont non coplanaires, aucun des trois ne peut se décomposer en fonction des deux autres 5

6 b Vecteurs non coplanaires Soient u!, v! et w! trois vecteurs non coplanaires de l'espace, alors pour tout vecteur t! de l'espace, il existe un unique triplet x; y;z Application ( ) de réels tels que : t! = xu! + yv! + zw! ABCD est un tétraèdre, M est le point tel que! AM =! 3 AB!! et N est le milieu de l'arête [ ] CD! Exprimer le vecteur MN en fonction des vecteurs AB, AC et! AD III Repères de l'espace Coordonnées d'un point, d'un vecteur Théorème et définition Soit O un point de l'espace et i!, j! et k! trois vecteurs non coplanaires ( ) de réels tel que : Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet x; y;z OM!!!! = xi + y j + zk ( x; y;z) est le triplet des coordonnées du point M dans le repère ( O;i!,! j,k! ) ( ) L'espace est muni d'un repère O;i!, j!,k! Pour deux points A x A ; y A ;z A x x B A AB y B y A z B z A ( ) et B( x B ; y B ;z B ) on a : AB : Coordonnées de I, milieu de [ ] x A + x B ; y A + y B ; z A + z B 6

7 Coordonnées de G, centre de gravité du triangle ABC : x A + x B + x C ; y + y + y A B C ; z + z + z A B C Si u! x y et v! x' y', alors u! + v! x + x' y + y' z z' z + z' et pour tout réel k, AH Application ABCDEFGH est un cube Soit I le milieu de AH et J le point de FI tel que! FJ = 3 FI! Démontrer que les points E, J et C sont alignés Réponse : Pour prouver cet alignement, on va démontrer que les vecteurs EJ! et EC sont colinéaires Les vecteurs AB, AC et AE sont non coplanaires donc il est possible de décomposer les vecteurs EJ! et EC en fonction de ces trois vecteurs!!! EC = EA + AB BC = AB + AD AE! EJ = EF + FJ = AB + 3 FI!! = AB + 3 FH +! FA =! AB! + 3 FH +!!! ( FA )! EJ = AB + 3 FE!!!!!!!!! ( + EH + FE + EA ) = AB + 3 AB!!!!!! ( + AD AE ) =! 3 AB! + 3 AD! 3 AE Donc EJ! = 3 EC Les vecteurs EJ! et EC sont colinéaires donc les points E, J et C sont alignés 7

8 Représentation paramétrique d'une droite L'espace est muni d'un repère ( O;i!,! j,k! ) Soit D une droite passant par un point A( x A ; y A ;z A ) et dirigée par le vecteur u! a b c et soit M un point de l'espace de coordonnées ( x; y;z) x = x A + at On a l'équivalence : M D il existe un réel t tel que : y = y A + bt z = z A + ct Ce système s'appelle une «représentation paramétrique» de la droite D Démonstration M D! AM et u!! sont colinéaires, donc il existe un réel t tel que AM = tu Remarque Une représentation paramétrique de la droite est une condition sur les coordonnées d'un point permettant d'affirmer qu'il appartient à cette droite, ou qu'il n'y appartient pas Application L'espace est muni d'un repère ( O;i!,! j,k! ) On donne les points A ;4; ( ) et B( ; 3;4 ) ( ) Déterminer une représentation paramétrique de la droite AB Déterminer les coordonnées du point M d'intersection de la droite ( AB)et du plan O;i!,! j 3 Les points C 3; 0;9 ( ) et D( 0;; 8 ) sont-ils des points de la droite ( AB)? ( ) 8

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