Mini Dictionnaire Encyclopédique Mathématiques. Fonction affine
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- Germaine Boutin
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1 Fonction affine ) Définition et Propriété caractéristique a) Activité introductive Une agence de location de voiture propose la formule de location suivante : forfait de 50 et 0,80 le km. Quel est le prix à payer pour cette formule lorsqu on parcourt km? En posant : le nombre du km parcourus ; y le prix à payer pour km parcourus On trouve que y = = 0, b) Définition Une fonction est dite affine si, pour tout réel, (Avec a et b des nombres réels fixés ). La représentation graphique d une fonction affine est une droite de coefficient directeur a et de l ordonné à l origine b. Lorsque b = 0, la fonction est dite linéaire. Exemples La fonction de l activité introductive définie par = 0, est une fonction affine de coefficient directeur 0,80 et de l ordonné à l origine 50.
2 c) Propriété caractéristique Une fonction est affine si l accroissement de et celles de sont des nombres proportionnels. Exemple Voici le tableau de valeurs d une fonction affine Car le tableau des variations ci-dessous est un tableau de proportionnalité de coefficient directeur /3 Variation du nombre de livres Variation des dépenses totales 4,5 9 5 On calcule aisément l ordonnée à l origine : 3 +b donc b donc b = D où
3 Exemple : celui de l activité introductive , Variation de 5-0 = = = = = = 56 Variation de 5 = = = 5 4 On en déduit les formules permettant de calculer le coefficient d'une fonction affine : À partir de deux nombres et et de leurs images par : À partir de deux points A et B de la représentation graphique de : a = f ( x x ) f ( x) x a = y x A A y x B B ) Sens de variation d une fonction affine a) Théorème Une fonction affine f définie par est : Strictement croissante sur IR si le coefficient directeur a > 0 Strictement décroissante sur IR si a < 0 Constante sur IR si a = 0 3
4 b) Démonstration Soient x et x sont deux réels quelconques tels que x < x. On a : f ( x ) = a x +b f ( x ) = a x +b f ( x ) - f ( x ) = a x +b ( a x +b) = a x - a x = a ( x - x ) Puisque x < x on est sûr que x - x < 0. er cas : f ( x ) - f ( x ) < 0 :(ceci revient à dire que f est croissante (Voir déf de fonction croissante)) Si nous divisons l expression négative f ( x ) - f ( x ) par l expression négative ( x - x ), nous aurons une expression du signe positive. f ( x ) - f ( x ) = a ( x - x ) f ( x ) f ( x x x ) a( x x = x x ) = a Nous pouvons donc conclure que : f est croissante revient à dire que aest positif. ème cas : f ( x ) - f ( x ) > 0 :(ceci revient à dire que f est décroissante (Voir déf de fonction décroissante)) Si nous divisons l expression positive f ( x ) - f ( x ) par l expression négative ( x - x ), nous aurons une expression du signe négative. f ( x ) - f ( x ) = a( x - x ) f ( x ) f ( x x x ) a( x x = x x ) = a Nous pouvons donc conclure que : f est décroissante revient à dire que aest négative. 3ème cas : f ( x ) - f ( x ) = 0 :(ceci revient à dire que f est constante (Voir déf de fonction constante)) Si nous divisons l expression nulle f ( x ) - f ( x ) par l expression négative ( x - x ), nous aurons une expression nulle. f ( x ) - f ( x ) = a( x - x ) f ( x ) f ( x x x ) a( x x = x x ) = a Nous pouvons donc conclure que : f est constante revient à dire que a= 0 4
5 c) Lien entre le signe de ax + b, le sens de variation de la fonction affine et sa courbe représentative. Cas a > 0 Cas a < 0 Cas a = 0 5
6 Exercices (Reconnaître une fonction affine) ExerciceFA En achetant pour 43 une carte jeune -5 ans, valable un an, chaque voyage coûte 7. Quel est le montant M( x ) de la dépense annuelle pour effectuer x voyages? M est-elle une fonction affine? Si oui, quel est son coefficient directeur? Exercice FA Un rectangle a pour dimensions 4 cm et x cm. Quel est le périmètre P( x ) en cm de ce rectangle? P est-elle une fonction affine? Si oui, quel est son coefficient directeur? Exercice3 FA Un triangle a un côté de 0 cm. La hauteur relative à ce côté a une longueur de x cm. Quel est l'aire A( x ) en cm de ce triangle? A est-elle une fonction affine? Si oui, quel est son coefficient directeur? Exercice4 FA Une pyramide de hauteur 9 cm, a une base carrée de côté x cm. Quel est le volume V( x ) en cm 3 de cette pyramide?v est-elle une fonction affine? Si oui, quel est son coefficient directeur? EXO5_CAPA8_HYP47_P77_CHP4 Dans chacun des cas suivants, existe-t-il une fonction affine qui, à tout réel x positif, fait correspondre le nombre y? a) x est le prix d'un objet en dollars et y le prix du même objet en euros. x b) est l'arête d'un cube et y le volume du même cube. x c) est la hauteur en cm d'un cylindre de rayon 5 cm et y son volume en cm 3. EXO6_CAPA8_HYP49_P77_CHP4 Dans ma ville, le prix à payer pour une course de taxi s'obtient en additionnant deux nombres - la prise en charge, qui ne dépend pas du nombre de kilomètres parcourus ; - le prix des kilomètres parcourus, proportionnel au nombre de kilomètres. J'ai payé 6 pour une course de 0 km et 9 pour une course de 6 km. Exprimer le prix y (en ) d'une course en fonction de la distance x (en km). 6
7 Exercice 7 FA Parmi les expressions suivantes préciser celles qui correspondent à une fonction affine (Indiquer dans ce cas, les coefficients a et b). f( ) = 5 - f( ) = ² + 3 f( ) = 4 + ( - ) f( ) = 3 x Exercice 8 FA Parmi les expressions suivantes préciser celles qui correspondent à une fonction affine (Indiquer dans ce cas, les coefficients a et b). f( )= 3 x + 4 f( ) = x 5 + ; f( ) =-7 ; f( )=-6 7
8 Exercices (Utilisation de la propriété caractéristique : ) EXO_CAPA8_HYP3_P67_CHP4 Démontrer que la fonction f définie sur IR par f ( x) = x + n'est pas affine. CORR_EXO_CAPA8_HYP3_P67_CHP4 On choisit trois valeurs de x, on calcule leurs images par la fonction f et on reporte les résultats dans le tableau de valeurs ci-contre. 4 5 donc les accroissements de f ne sont pas proportionnels aux accroissements de la variable. Ainsi f n'est pas une fonction affine. EXO_CAPA8_HYP4_P77_CHP4 f est une fonction affine telle que f () = 3 et f (-5) =. Calculer f (0). EXO3_CAPA8_HYP43 45_P77_CHP4 8
9 Exercice 0 FA On donne une fonction affine f telle que : f(- ) = et f(l ) =. a) Sans calculer f(x), représenter graphiquement la fonction f. b) Lire sur la représentation graphique f(-3) ; f(- ) ; f(0) ; f() ; f(3). Exercice FA On donne une fonction affine f telle que : f(-) = + et f() = - a) Sans calculer f( ), représenter graphiquement la fonction f. b) Lire sur la représentation graphique : f(-) ; f(0) ; f(l) ; f(3). Rappel : f est la fonction affine a + b, pour tous, (. ) on a : 9
10 f ( x ) f ( x x x ) = a Exercice FA f est une fonction affine telle que : f() = et f(4) = 5. Calculer a et b. Exercice 3(Déterminer une fonction affine connaissant deux nombres et leurs images) f est une fonction affine telle que: f() = 4 et f(-3) = 4. Calculer a et b. Exercice 4 FA f est une fonction affine telle que : f(-) = et f(5) = -. Calculer a et b. 0
11 Exercices (Équations de droite) Exercice N 35 (Tracer une droite d'équation y = a + b) Tracer les droites d, d d'équations d : y = d : y = -. Exercice N 36 (Tracer une droite d'équation y = a + b) Tracer les droites d, d d'équations : d : = - d : y = 3. Quelles sont les coordonnées de leur point d'intersection? Exercice N 37 (Tracer une droite d'équation y = a + b) Soit la droite d, d'équation : y= 3 + a) Tracer la droite d, déterminer graphiquement l'abscisse du point où d coupe l'axe des abscisses. b) Retrouver ce résultat par le calcul. Exercice N 38 (Tracer une droite d'équation y = a + b) a) Tracer la droite d passant par le point P(5 ;-) et dont le coefficient directeur est : -. Sur le même graphique tracer la droite d passant par le point R(- ; 3) et dont le coefficient directeur est :. Que peut- on dire de ces deux droites? Justifier. b) Déterminer une équation des droites d et d Exercice N 39. a) Déterminer une équation de la droite d passant par les points A(l,5 ; 3), B(4; 4,5). b) Le point C(-5 ;-) appartient-il à la droite d? Exercice N 40 a) Déterminer une équation de la droite d passant par les points A(6; 6) ; B(7;3). b) Déterminer une équation de la droite d passant par C(3 ; 5) et parallèle à la droite (BC).
12 Exercice N 4 a) Déterminer une équation de la droite (D) passant par A( ; 4) et B (8 ; -). b) Calculer les coordonnées du point l milieu de [A, B]. Placer le point I c) Déterminer une équation de la droite ( ) perpendiculaire à la droite (D) passant par M. Tracer la droite ( ). Que représente cette droite pour le segment [A, B]? Exercice N 4 a) Parmi les dix équations suivantes, trouver les équations des droites D, D, D 3, D 4, D 5, D 6. y = + ; y = ; y = - 4 ; y = 3 ; y = - 3 ; y = ; y = - - ; y = ; =-4; y = x b) Que peut-on dire des droites D et D 4? Justifier.
13 Exercices (Problèmes) Exercice N 50 Une voiture consomme 8 litres d'essence aux 00 km. On note f( ) le nombre de litres consommés pour une distance de x kilomètre. a) Exprimer f( ) en fonction de. b) Représenter graphiquement la fonction linéaire f : f( ) sur [0; 600]. c) Utiliser le graphique pour déterminer une valeur approchée : - du nombre de litres nécessaires pour aller de Nantes à Paris (390 km) ; - de la distance que peut parcourir cette voiture avec le plein d'essence (43 L). d) Contrôler vos résultats par te calcul. Exercice N 5 Une agence de location de voiture propose deux types de contrat pour une journée. Premier type :,50 par kilomètre parcouru. Deuxième type : un forfait de 40 et le kilomètre. Pour x kilomètres parcourus, le prix à payer est noté f( ) pour le premier contrat, g( ) pour le second. a) Donner les expressions de f( ) et de g( ) en fonction de. b) Construire dans le même repère, les représentations graphiques de ces fonctions pour compris entre 0 et 500. c) Indiquer en utilisant ce graphique le type de contrat le plus avantageux suivant le nombre de kilomètres parcourus. d) Retrouver et préciser ces résultats par le calcul. 3
14 Exercice N 5 Un vidéo - club propose à ses clients deux tarifs. Tarif A : 5 par cassette louée. Tarif B. 50 d'abonnement, plus 0 par cassette louée.. Quel est le tarif le plus intéressant pour une personne qui loue en un an. a) 4 cassettes? b) 56 cassettes?. Exprimer pour chaque tarif, le prix à payer en fonction du nombre x de cassettes louées. On note le prix p( ) pour le tarif A ; et q( ) pour le tarif B. 3. Représenter graphiquement les fonctions p et q pour compris entre 0 et Déterminer graphiquement l'abscisse du point d'intersection des deux droites. 5. Indiquer le tarif le plus intéressant suivant le nombre de cassettes louées. Exercice N 53 Si on suspend à un ressort de longueur 0 cm un corps de poids Newtons. Le ressort subit un allongement l. On a relevé les mesures suivantes. en N ,5 8 0 l en cm 0,6 3, 4,8 8 0,5,8 6. Vérifier que l est proportionnel à. Exprimer l en fonction de.. En déduire l'expression de la longueur du ressort l en fonction de. 3. Dans un repère orthogonal d'unité graphique cm pour les abscisses et 0, cm pour les ordonnées, représenter graphiquement la fonction f( ). 4. En utilisant le graphique, déterminer : a) La longueur du ressort si on lui suspend un poids de 4 N ; b) Le poids que l on suspend si la longueur du ressort est : 5 cm 4
15 Exercice N 54 (fonction linéaire, fonction affine, mise en inéquation et résolution) Une agence de location de voiture propose deux formules : ère formule: forfait de 50 et 0,80 le km, ème formule :,60 le km. a) Quel est le prix à payer pour 50km ou 500 km? b) Déterminer suivant les distances parcourues la formule la plus rentable. Corrigé Posons le nombre du km parcourus ; le prix à payer pour km parcourus avec la première formule ; le prix à payer pour km parcourus avec la deuxième formule. ère formule: = 0, ème formule : =,60 a) 50 km 500 km ère formule = 0, = 0, = 450 ème formule =,60 =,60 50 = 400 = 0, = 0, = 650 =,60 =, = 800 b) La formule la plus rentable est la moins chère pour un c'est-à-dire : trouvons tel que. 5
16 0, ,60 0,80 -, ,80, ,8-50,, 3,5 km Conclusion = le prix à payer pour km parcourus avec la deuxième formule est la plus rentable pour moins de 3,5 km. Au-delà de 3,5 km ; c est la première formule qui est la plus rentable. 6
Items étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
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