1 Fonction en escalier (ou étagée)

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1 : Fontion en eslier (ou étgée) 1 Dns tout e hpitre, I = [, b] désigner un segment fermé borné de R ve < b. 1 Fontion en eslier (ou étgée) 1.1 Subdivision 1.1 DÉFINITION On ppelle subdivision d un intervlle réel [, b] toute fmille finie σ = (x i ) i n d éléments du segment [, b] telle que : = x < x 1 <... < x n = b On ppelle ps (ou dimètre) de l subdivision σ le réel positif σ = mx i n (x i x i 1 ) 1.2 DÉFINITION ( SUBDIVISION RÉGULIÈRE) On ppelle subdivision régulière d ordre n N de [, b] l unique subdivision σ n obtenue en déoupnt l intervlle [, b] en n sous-intervlles de même longueur. Ainsi : σ n := (x k ) k n telle que x k = + k b n pour tout k {,..., n} et σ n = b n. 1.3 DÉFINITION On dit qu une subdivision σ est plus fine qu une subdivision σ si tous les éléments de σ pprtiennent à σ. En prtiulier σ σ. On utiliser souvent les nottions suivntes : 1) σ σ pour signifier que l subdivision σ est plus fine que l subdivision σ. 2) σ σ l subdivision formée des éléments de σ et σ. On remrquer que σ σ est toujours plus fine que σ et σ. 1.2 Fontion en eslier

2 : 1.3 Intégrle d une fontion en eslier DÉFINITION (FONCTION EN ESCALIER) On ppelle fontion en eslier ou étgée sur [, b] une fontion f : [, b] R pour lquelle il existe une subdivision σ = {x <... < x n } de [, b] telle que, pour tout entier i {,..., n 1}, l restrition de f à l intervlle ]x i, x i+1 [ soit onstnte. Une telle subdivision σ est dite dptée à f. On désigner pr E([, b]) l ensemble des fontions en eslier sur [, b]. 1.5 REMARQUE Ainsi, si f : [, b] R est en eslier et si σ = {x <... < x n } est une subdivision dptée à f, il existe des onstntes réelles i, i {,..., n 1} telles que : x ]x i, x i+1 [, f (x) = i. 1.6 REMARQUE 1) Si σ est dptée à f, lors toute subdivision σ plus fine que σ est enore dptée à f. 2) On en déduit que si f et g sont deux pplitions en eslier, ve des subdivisions dptées respetives σ et σ, lors σ σ est une subdivision dptée ux deux pplitions f et g à l fois. 1.7 EXEMPLE. Toute fontion onstnte sur [, b] est en eslier sur [, b]. 1.8 EXEMPLE. L fontion f : [, 2] R définie pr : 1 si x < 1 f (x) = 1 si x = 1 2 si 1 < x 2 est en eslier sur [, 2]. Pour le voir, il suffit de remrquer que l subdivision σ = {, 1, 2} est dptée à f. Le hoix d une subdivision dptée à f n est ps unique ( il y en mêmeune infinité). Pr exemple, l subdivision σ = {, 2 1, 1, 2} est ussi dptée à f puisque f ], 1 2 [ et f ] 2 1,1[ sont des fontions onstntes. 1 si x = 1 si < x < Exerie Soit f : [, 3] R l fontion définie pr : f (x) = 3 si x = 1 2 si 1 < x 2 4 si 2 < x 3. Montrer que f est en eslier sur [, 3] et identifier une subdivision dptée à f. 1.3 Intégrle d une fontion en eslier L notion d intégrle repose sur l proposition suivnte. 1.1 PROPOSITION Soient f : [, b] R une fontion en eslier et σ = {x <... < x n } une subdivision dptée à f. Pour tout entier i [,..., n 1], posons : f (x) = i si x ]x i, x i+1 [. Alors l expression I(σ, f ) = i= σ dptée à f. Le nombre réel I(σ, f ) insi obtenu se note et s ppelle intégrle de f sur [, b]. i (x i+1 x i ) ne dépend ps du hoix de l subdivision I(σ, f ) = i (x i+1 x i ) i=

3 : 1.4 Interpréttion de l intégrle f (x)dx pour une fontion en eslier positive ou nulle 3 Démonstrtion: Choisissons une subdivision σ σ([, b]) telle que σ = {x <... < x n } soit une subdivision dptée à f sur [, b]. Considérons l subdivision σ = σ {y}, où y est un point de [, b], distint des points x i, i =,..., n. Soit i {, 1,..., n 1} tel que x i < y < x i +1. Alors σ = {x < x 1 <..., x i < y < x i +1 <... < x n } est dptée à f et on : I( σ, f ) = = i 1 i= i 1 i= i (x i+1 x i ) + i (y x i ) + i (x i +1 y) + i(x i+1 x i ) + i (x i +1 x i ) + i=i +1 i=i +1 i (x i+1 x i ) i (x i+1 x i ) = I(σ, f ). Soient mintennt σ et σ deux subdivisions dptées à f. Alors, l subdivision σ = σ σ est enore dptée à f et en itérnt le lul préédent pour hque point de σ, on obtient imméditement que I(σ, f ) = I(σ, f ), et ussi I(σ, f ) = I(σ, f ). Pr suite, I(σ, f ) = I(σ, f ) Exerie Soit f : [, 3] R l fontion définie u niveu de l exerie ) Cluler 3 f (x)dx puis 3 2) Soit x [, 3]. Cluler F(x) = f (x) dx. x f (t)dt. 3) Montrer que l pplition F : [, 3] R ( ve F(x) défini omme en 2) ) est ontinue sur [, 3]. L fontion F est-elle dérivble en tout point de l intervlle [, 3]? 1.4 Interpréttion de l intégrle eslier positive ou nulle f (x)dx pour une fontion en Si f : [, b] R est en eslier et positive ou nulle sur [, b], lors, pour tout entier i [,..., n 1], i est positif ou nul. Pr suite : I(σ, f ) = f (x)dx. De plus, de l définition de I(σ, f ), il résulte que e nombre est extement l mesure de l ire omprise entre l xe des bsisses, les deux droites t =, t = b, et le grphe de l fontion f. Lorsque f : [, b] R est en eslier et n est ps supposée positive ou nulle, I(σ, f ) = f (x)dx orrespond à l ire lgébrique omprise entre l xe des bsisses, les deux droites x =, x = b, et le grphe de l fontion f. Pr exemple, si f : [, b] R est onstnte et égle à 1, (b ) = b <. Soit ], b[. On onsidère f : [, b] R définie pr f (t) = si t [, b]\{} et f () R. Alors ( ) + (b ) =. Ainsi f (x)dx peut être nulle sns que f soit identiquement nulle. Plus générlement, si f (t) = suf en un nombre fini de points de [, b], lors f est en eslier sur [, b] et on 1.5 Propriétés de l intégrle d une fontion en eslier 1.13 PROPOSITION Soient f, g E([, b]). Alors : (i) f + g E([, b]) et ( f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx..

4 : 1.5 Propriétés de l intégrle d une fontion en eslier 4 (ii) Pour tout réel λ, on λ f E([, b]) et (λ f )(x)dx = λ f (x)dx. (iii) Si f g(i.e. : t [, b], f (x) g(x)), lors : f (x)dx En prtiulier, f (x)dx f (x) dx. g(x)dx (iv) Si f = g, suf en un nombre fini de points de [, b], (v) Pour tout ], b[, on : f (x)dx + f (x)dx, où g(x)dx. f (x)dx (resp. f (x)dx) désigne l intégrle de l restrition de f u segment [, ] (resp. [, b]). Cette reltion s ppelle reltion de Chsles pour les éléments de E([, b]). Démonstrtion: Soient σ et σ deux subdivisions de [, b] dptées à f et g. Alors σ = σ σ = {x,..., x N } est dptée à f et à g. On en déduit que : I(σ N 1, f ) = i (x i+1 x i ), i= où i = f (x) si x ]x i, x i+1 [ et I(σ, g) = N 1 i= i (x i+1 x i ) où i = g(x) si x ]x i, x i+1 [ et don I(σ, f + g) = I(σ, f ) + I(σ, g), d où (i) et, de même (ii), (iii). En prtiulier, si f E([, b]), f E([, b]) et omme f f f, on en déduit que b f (x)dx f (x) dx. Pour (iv), soit θ = {x,..., x N } une subdivision de [, b] ontennt les points x de [, b] pour lesquels f (x) = g(x). Alors, on imméditement : I(θ, f ) = I(θ, g), d où (iv). Soit mintennt ], b[. Notons f 1 et f 2 les restritions de f ux segments [, ] et [, b]; f 1 et f 2 sont enore des fontions en esliers. Considérons les fontions f 1 et f 2 définies pr : { { f f 1 (x) = (x) si x [, ] et si x ], b] f si x [, ] 2 (x) = f (x) si x ], b] Il résulte imméditement de l définition et de l proposition que : f 1 (x)dx = f 1 (x)dx et f 2 (x)dx = f 2 (x)dx. Pr illeurs, les fontions f et g = f 1 + f 2 oinident en tout point de [, b]\{}, d près (iv), on don : g(x)dx, e qui prouve (v) Exerie Soit f une fontion qui est en eslier sur [, 1] et qui prend ses vleurs dns l intervlle [, b] où < < b. On suppose de plus que. 1) Montrer que les fontions f + := mx( f, ) et f := min( f, ) sont en eslier. 2) Montrer que f + (x)dx = f (x)dx. On note γ e nombre. 3) Prouver qu il existe θ [, 1] tel que : γ min(θb; (1 θ)). 4) Etblir l inéglité : f (x) 2 dx b 5) Déduire de e qui préède l mjortion : f + (x)dx + f (x)dx. f (x) 2 dx b.

5 : Fontion intégrble u sens de Riemnn REMARQUE ll résulte de ette proposition que E([, b]) est un espe vetoriel sur R et que l pplition I( f ) = f (x)dx de E([, b]) à vleurs dns R est une forme linéire, omptible ve l struture d ordre prtiel sur E([, b]). 2 Fontion intégrble u sens de Riemnn On v étendre l notion d intégrle à des fontions f : [, b] R plus générles que les fontions en esliers. 2.1 DÉFINITION (FONCTION INTÉGRABLE AU SENS DE RIEMANN (OU RIEMANN-INTÉGRABLE)) Une fontion f : [, b] R est dite intégrble u sens de Riemnn (ou Riemnnintégrble) sur [, b] si, pour tout ɛ >, il existe des fontions en esliers u ɛ et v ɛ E([, b]) telles que : (i) u ɛ f v ɛ. (ii) (v ɛ u ɛ )(x)dx ɛ. On noter R([, b]) l ensemble des fontions Riemnn-intégrbles sur [, b].