La dérivation. Partie A. Objectifs : - revoir et consolider les bases de 1 ère. f (a + h) - apprendre de nouvelles formules de calcul. a + h.

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1 TS La dérivatio C Objectis : - revoir et cosolider les bases de ère - appredre de ovelles ormles de calcl (a + ) M T I. Foctio dérivable e réel - ombre dérivé Partie A (a) A ) Déiitio [octio dérivable e réel] : I (I : itervalle de ) a I O dit qe est dérivable e a por eprimer qe le qotiet lorsqe ted vers 0. ( a ) ( a) admet e limite iie j O i a a + ( a ) ( a) Le qotiet rapport de Newto de e a. est le ta de variatio de etre a et a. O l appelle parois assi le Lorsqe ted vers 0, la droite (AM) viet se coodre avec la droite T passat par A et de coeiciet directer (a) («positio limite»). ) Déiitio [ombre dérivé] Avec les otatios de la déiitio, la limite de ombre dérivé de e a. O le ote (a). O a doc ' a lim 0 ( a ) ( a). II. Tagete à la corbe d e octio ) Approce grapiqe ; visio dyamiqe Mêmes otatios. ( a ) ( a) lorsqe ted vers 0 est appelée le ) Déiitio Lorsqe est dérivable e a, la droite T passat par A et de coeiciet directer (a) est appelée la tagete à la corbe C e A. ) Éqatio de la tagete La tagete T e A à C a por éqatio y = (a) ( a) + (a). III. Foctio dérivée ) Déiitio [octio dérivable sr itervalle] : I (I : itervalle) O dit qe est dérivable sr I por eprimer qe est dérivable e tot réel a I. O ote C la corbe représetative de das repère et A le poit d abscisse a. ) Déiitio [octio dérivée] Avec les otatios précédetes, o pet déiir la octio : I appelée octio dérivée ()

2 de. ) Déiitio [octio dérivable sr e réio d itervalles] V. Opératios algébriqes : D avec D réio d itervalles O dit qe est dérivable sr D por eprimer qe est dérivable sr les itervalles qi costitet D. O pet alors déiir la dérivée de déiie sr D. V. Dérivées des octios selles Foctio + v k Dérivée + v k Foctio Esemble de déiitio Esemble de dérivabilité Dérivée k (k ) 0 ( * ) * * * ( * ) * * cos si v v + v ( 0) ' v ' v v' (v 0) v ( * ) ' ( * ', 0 ) Formle de dérivatio d e octio omograpiqe itéressate à coaître : a b ad bc c d ' c d c d c d a b si cos si ta \ k, k \ k, k ta cos cos Les dérivées des octios cosis et sis sot admises provisoiremet ; elles serot démotrées ltérieremet. VI. Les grades amilles de octios ) Propriété Les octios polyômes sot dérivables sr. ) Propriété Les octios ratioelles sot dérivables sr ler esemble de déiitio. 4

3 VII. Ses de variatio ) Téorème de Lagrage : I dérivable sr I (I : itervalle) Si I () 0, alors est croissate sr I. Si I () 0, alors est décroissate sr I. Si I () = 0, alors est costate sr I. ) Propriété sr la stricte mootoie (admise sas démostratio) : I dérivable sr I (I : itervalle) Si I () > 0, alors est strictemet croissate sr I. Si I () < 0, alors est strictemet décroissate sr I. ) Propriété : [a ; b] (a < b) cotie sr [a ; b] (la otio de cotiité sera précisée das le capitre sivat) dérivable sr ]a ; b[ Si ]a ; b[ () > 0, alors est strictemet croissate sr [a ; b]. Si ]a ; b[ () < 0, alors est strictemet décroissate sr [a ; b]. 4 ) Applicatios a variatios d e octio L étde d sige de la dérivée d e octio doe les variatios de la octio. O cosige e gééral l étde d sige de la dérivée de a octio et ses variatios das même tablea. Ce tablea permet de lire les etremms de la octio. O doit bie peser à mettre les 0 sr la lige d sige de la dérivée. 5 ) Propriété sr la stricte mootoie Soit e octio dérivable sr itervalle I o rédit à sigleto. est strictemet croissate sr I si et selemet si I o rédit à sigleto. est strictemet décroissate sr I si et selemet si I o rédit à sigleto. Le cas le pls réqet sera : ««octio cbe» sr ). ' 0 et ' e s ale sr ac itervalle ' 0 et ' e s ale sr ac itervalle ' s ale évetellemet e ombre ii de valers» (eemple : I. Dérivée d e pissace d eposat etier atrel ) Propriété est e octio dérivable sr itervalle I. est etier atrel o l. La octio ) Démostratio Cas particliers Partie B est dérivable sr I et la dérivée est doée par la ormle ' ' Por =. ' ' ' ' ' (dérivée d carré d e octio) ormle de dérivatio d prodit Le cas particlier de l eposat est importat ; o retiet la ormle : ' '. ' ' ' ' ' ' ' ' ' Por = Cas gééral : Il at aire e démostratio par récrrece sr l etier atrel. ' '». Por *, o déiit la prase P() : «Iitialisatio : Vériios qe P() est vraie. D e part, o a : ' '. 0 D atre part, o a : ' ' ' D où P est vraie. Hérédité : ' k '. k k Cosidéros etier atrel k o l tel qe la prase P(k) soit vraie c est-à-dire Démotros q alors la prase k ' k '. k P k est vraie c est-à-dire k k k k k k k ' ' ' k ' ' k ' k '. O a : Doc P k est vraie. 5 6

4 Coclsio : O a démotré qe P() est vraie et qe si P(k) est vraie por etier atrel k o l, alors P(k + ) est vraie. Doc, d après le téorème de récrrece, la prase ) Eemples : 4 D = '( ) 4 O laisse le résltat sos cette orme sas cercer à arrager le résltat. : si si D = '( ) cos si '( ) cos si 4 ) Lie avec e atre ormle Das la ormle, désige e octio. O va appliqer la ormle das le cas particlier où O sppose qe est la octio déiie par est dérivable sr et O cosidère la octio O a doc La ormle doe Doc. '. ( ) ( ) por tot réel. ' '. '( ). P est vraie por tot etier atrel o l... II. Dérivée de l iverse d e pissace d eposat etier atrel ) Propriété est e octio dérivable sr itervalle I e s alat pas sr I. est etier atrel o l. La octio est dérivable sr I ' et la dérivée est doée par la ormle '. ) Cas particlier importat : eposat (déjà ve) ' ' ) Démostratio (dérivée de l iverse d e octio) ' ' ' ' ) Eemple : 5 D = '( ) ) Lie avec la ormle précédete (o laisse le résltat sos cette orme) E écrivat, o obtiet la même ormle qe das le I. O retrove aisi la dérivée de la octio. 7 8

5 III. Dérivée de la racie carrée d e octio O e dédit qe : a a '( a). 0 ( a) ) Propriété est e octio dérivable sr itervalle I telle qe 0 sr I. La octio est dérivable sr I et la dérivée est doée par la ormle ) Démostratio ' '. O doit travailler e littéral e tilisat la déiitio d ombre dérivé. a est élémet ié de I. est réel o l tel qe a + I. O cerce la limite d qotiet ( a ) ( a) lorsqe ted vers 0. Par site, o pet airmer qe la octio '( a) a. est dérivable e a et qe le ombre dérivé e a est égal à Comme le résltat est vrai por tot réel a I o e dédit qe est dérivable sr I et ) Lie avec la ormle de dérivatio da la pissace d e octio ' '. O admettra q il est possible de déiir l eposat ractioaire d réel qelcoqe positi o l et qe +. Pls gééralemet, la racie -ième ( etier atrel spérier o égal à ) d réel positi o l pet s écrire sos la orme d eposat ractioaire :. E admettat qe la ormle de dérivatio de la pissace d e octio reste valable por les eposats ractioaires, o obtiet ' ' ' '. O retrove bie la ormle de la racie carrée d e octio. O e pet trover cette limite directemet car o obtiet e orme idétermiée d type a a a a a a a a ( ) a a a a 0 " " 0. Cepedat, cette aée, os éviteros d tiliser eposat 4 ) Eemples : D = por les calcls de dérivées. a ( a ) a a a ( a) 0 Comme est dérivable e a, o a : ' 0 a (cette orme idétermiée d type " " 0 s obtiet bie sovet e pratiqe grâce à évaoissemet des a mérater et a déomiater). O admettra qe a ( a) 0 0). et qe 0 a ( a) ( a) Nos admettros provisoiremet qe la limite d prodit est égale a prodit des limites. (o «remplace» par 0 D après la propriété, est dérivable sr. : D = [ ; ] '( ) (o laisse le résltat sos cette orme) 9 0

6 0 < < D après la propriété, est dérivable sr ] ; [. ] ; [ '( ) (o laisse le résltat sos cette orme) O e s itéresse pas cette aée à l étde de la dérivabilité de la octio e et e. : D = [ ; + [ > 0 > D après la propriété, est dérivable sr ] ; + [ ] ; + [ '( ) Das les trois eemples, o voit q il at aire particlièremet attetio a itervalles. 5 ) Cas particlier a et b sot de réels tels qe a 0. O ote I l esemble des réels tels qe a + b 0 et I l esemble des réels tels qe a + b > 0. est la octio déiie par ( ) a b. est déiie sr I. est dérivable sr I. a I' '( ) a b. O retiet la ormle sos la orme : a b ' a a b. 6 ) Coditio d eistece de la racie carrée d e epressio La racie carrée d e epressio eiste si et selemet si cette qatité est positive o lle. E revace, lorsqe os vodros dériver e octio dot l epressio est de la orme ( ), os appliqeros la propriété de dérivatio qe por les valers de por lesqelles () > 0 sas os itéresser a valers de por lesqelles 0. IV. Dérivée de la composée d e octio aie sivie d e octio dérivable ) Propriété (admise sas démostratio) a et b sot de réels tels qe a 0. I et J sot de itervalles tels qe I a + b I. est e octio déiie et dérivable sr J. ( ) a b. est la octio déiie par I J a b a b La octio est dérivable sr I et I ' a ' a b. ) Atre écritre O retiet a b ' a ' a b. image de a + b par la octio ' ) Applicatio de la ormle à la octio «racie carrée» (dérivée d e octio d type a b ) : ': * Le domaie de dérivabilité est pls petit qe le domaie de déiitio ; est déiie e 0 mais est pas dérivable e 0. O retrove la ormle : a b ' a a b. 4 ) Applicatio de la ormle a octios «cosis» et «sis» a et b sot de réels qelcoqes.

7 ) Vocablaire (cos (a + b)) = a si (a + b) (si (a + b)) = a cos (a + b) Lorsqe et v sot de octios, la octio déiie par () = v [ () ] est appelée la composée de sivie de v. O ote parois = v et o lit «v rod». Cette otatio est cotraire à l ordre «sivie de v» mais elle respecte l ordre des paretèses. V. Formle géérale de la dérivée de la composée de de octios Les ormles précédetes pevet être ves comme applicatios d e ormle pls géérale qe l o va admettre sas démostratio. ) Propriété Formle iicatrice (admise sas démostratio) et v sot de octios déiies et dérivables sr des itervalles. O ote la octio déiie par v. O sppose qe est déiie sr itervalle I. La octio est alors dérivable sr I et la dérivée de est doée par () = () v [ () ]. ) Cas particliers La ormle de dérivatio de s obtiet par applicatio de la ormle géérale e preat la octio v :. La ormle de la dérivatio de v :. La ormle de la dérivatio de v :. () X v (X) s obtiet par applicatio de la ormle géérale e preat la octio s obtiet par applicatio de la ormle géérale e preat la octio La ormle de la dérivatio de : g (a + b) s obtiet par applicatio de la ormle géérale e preat les octios : a b et v g. v L epressio de la octio déped évidemmet de l ordre de compositio «sivie de v» (qi est bie sûr diéret de «v sivie de». O retiedra la ormle : v () = v [ ()] Le terme de composée por les octios est selemet employé das ce ses très précis et e pet être employé qe das ce ses. Lorsqe et v sot dérivables, la ormle de dérivatio de ler composée sos la orme sivate qe l o a itérêt à reteir : 4 ) Le mot «composée» (v ) () = () v[ () ]. Nos veos de voir la otio de composée de octios. Le mot «composée» e doit être employé eclsivemet qe das ce cotete et iqemet das ce ses-là. 5 ) Eemple de calcl de composée : v : Calcler v et v. v v X avec X X v 6 ) Écritre de la ormle de dérivatio d e composée O pet écrire la ormle de dérivatio d e composée sos la orme : g ' g ' ' g. 4

8 O pet même écrire cette ormle sos la orme : g' g ' ' g. Eemple : por calcler ', la calclatrice calcle ) Calcler la dérivée d e octio avec Symbolic por e valer de proce de 0. VII. Utilisatio d logiciel de calcl ormel 7 ) La otio de composée das le programme La otio de composée e sera pas beacop tilisée cette aée. Malgré tot c est e otio de première importace e matématiqes. D cop, la otatio sera pe tilisée cette aée. La otio de composée réapparaîtra cepedat ltérieremet cette aée a momet des limites. Résmé : Das le cadre des octios, le mot «composée» ara ses très précis. VI. Utilisatio de la calclatrice (modèle TI) ) Tracer e tagete sr la calclatrice O etre otre octio das d prgm taget( O retore sr grape. (eemple : ). O coisit le poit e leqel o vet tracer la tagete. O pet «taper» soi-même la valer de l abscisse d poit. L éqatio rédite de la tagete s aice e bas de l écra. ) Obteir le ombre dérivé d e octio mat 8 [ bredérivé( ] Partie C (qelqes otios sr les primitives) La otio de primitive est tilisée e matématiqes et e pysiqe. U capitre spécial sera cosacré pls tard a primitives. Das ce paragrape, o se cotete de doer qelqes otios sr les primitives tilisées e pysiqe. O otera qe les octios qi itervieet e pysiqe dépedet de la variable t. ) Déiitio Soit e octio déiie sr itervalle I. O dit q e octio F déiie sr I est e primitive de sr I por eprimer qe : ) F est dérivable sr I et qe ) F'. ) Remarqe de otatio O a cotme de oter e primitive par la même lettre qe la octio mais e majscle ( F, g G, etc ). ) Remarqe sr les primitives d e octio Dès lors q e octio admet e primitive, elle e admet e iiité : totes celles obtees e ajotat e costate à la primitive. O démotre qe si est e octio qi admet e primitive sr itervalle, alors totes les primitives de sr I s obtieet e ajotat k à l e qelcoqe des primitives. 4 ) Téorème admis (téorème de Darbo) Tote octio cotie (c. capitre sivat) sr itervalle I admet des primitives sr cet itervalle. 5 ) Eemples O etre l epressio de la octio, oter la variable, oter la valer de e leqel o vet avoir le ombre dérivé. Remarqe : La calclatrice e calcle pas la dérivée de la octio. Elle procède par approimatio d ombre dérivée. O pet trover qe cela est pas précis. Il at savoir qe la calclatrice doe parois la valer eacte d ombre dérivé mais qe pls sovet elle doe e valer approcée. Cela e marce pas por des grads ombres. Même si cela est pas orcémet très précis, cela pet être e aide préciese e eercice. 5 Eemple : O pred la octio :. Les primitives de sr sot les octios F k : k Eemple : O pred la octio :. Les primitives de sr sot les octios F k : k k. k. Eemple : O pred la octio : C où C est réel ié (costate). 6

9 Les primitives de sr sot les octios F k : C k k. Eemple 4 : O pred la octio : e. Les primitives de la octio epoetielle sr sot les octios F k : e k k. La octio g : verticale à l origie. est pas dérivable e 0 (à droite). La corbe représetative admet e demi-tagete Eemple 5 : O pred la octio :. Actellemet, os e coaissos pas de primitives de sr 0 ;. Nos verros éamois pls tard q e primitive de sr 0 ; est la octio F : l où l désige le logaritme épérie de. La coditio «k» se lit «k décrivat». Utilisatio e pysiqe : o coaît la dérivée d e octio et o cerce la octio. 6 ) Primitives preat e valer doée e réel Eemple : Détermier la primitive F de la octio : preat la valer e. Partie E (approimatio aie tagete) I. Qelqes approimatios aies importates e pysiqe (jstiiées esite) ) Propriété ) Propriété Por «proce» de 0, o a :. Les primitives de sr sot les octios F : k k. O trove la valer de k avec la coditio de l éocé F (). Por «proce» de 0, o a :. () k () 8 k La primitive cercée est la octio F : 8. Cette propriété est d aillers pltôt tilisée sos la orme sivate (das le cors sr la relativité) : Por «proce» de 0, o a :. ) Propriété Utilisatio e pysiqe : coditios iitiales 7 ) «Dobles primitives» Utilisées e pysiqe qad o coaît l accélératio (éqatio oraire de movemet). Partie D (o dérivabilité) Por «proce» de 0, o a : si. Por «proce» de 0, o a : ta. Cette ormle est tilisée e pysiqe par eemple avec le demi-agle de diractio. De eemples à coaître : La octio : est pas dérivable e

10 Il s agit de ormles d approimatios. Formle géérale La première applicatio évidete est liée a calcl metal. Eemple avec la ormle : Cette ormle est ablese por le calcl metal Détermier de tête e valer approcée,000 O costate avec la calclatrice qe l approimatio est pas mal. O parle d approimatio aie o d ordre car les epressios d secod membre sot totes des epressios aies de. a a a a 'a a a ' a Por «proce» de 0, o a : a a ' a 0 'a. Eplicatio avec. Il y a de aspects, liés etre e III. Errer Approimatio aie tagete er aspect : grapiqe O trace C, o trace la tagete a poit d abscisse. Elle a por éqatio y. Por proce de 0,. Il est possible de préciser l errer e aisat e étde spéciiqe por caqe octio. IV. Approimatio d ordre spérier Il est possible de doer des approimatios d ordre spérier e tilisat les dérivées première, secode, troisième c est-à-dire des approimatios polyomiales de degré spérier o égal à. Celles-ci sot étdiées a ivea post-bac. e aspect : limite 0 ' Partie F (dérivées e pysiqe) I. Notatio de Leibiz (diéretielle) ) Notatio ' d d (Newto : ) Il s agit de la meillere approimatio aie e ses qe os epliciteros pas cette aée. Commetaire : Attetio, il e at pas compredre cette otatio comme qotiet. O remarqera qe c est ce qe ait la calclatrice por calcler ombre dérivé. ) Eemples ' a 9 dcos si (se lit dérivée de «cos par rapport à»). d d si cos d 0

11 E pysiqe, la variable q o tilise le pls sovet est t (le temps). ) Itérêt E pysiqe, o cosidère des octios de la variable t, le temps. O travailler cepedat réqemmet avec des epressios littérales comportat beacop de costates. Doc il est itéressat de savoir par rapport à qelle variable o dérive. d Vitesse volmiqe de réactio : v dt V dq Itesité : i (dérivée de la carge par rapport a temps) dt 6 ) Dérivées d ordre spérier d Dérivée secode : '' d (attetio o e met pas de paretèses ator d d car il e s agit pas carré). d cos Eemple : cos d Dérivée troisième : d d 4 ) Lie avec le ombre dérivé calclé sr la calclatrice Nos avos déjà recotré la otatio de Leibiz sr la calclatrice. Calclatrice TI-8 Pls.r Dérivée -ième : d d d X X dx X4 désige le ombre dérivé de la octio : O obtiet. La calclatrice calcle e estimatio d ombre dérivé. e 4 (c est-à-dire ' 4 II. Vitesse et accélératio d... dx Attetio, das la otatio acter). 5 ) Origie de la otatio y y X... a M A m M A a a 0 O a alors : 0 remplacé par d d a d '. a, il e s agit pas d prodit (l epressio etre paretèses est pas