Exercices sur la dérivation. ( ) = x 2 + 4x 6. Soit P la parabole représentative de f et S le sommet de cette parabole.

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1 Exercices sur la dérivation Exercice 1 Soit f la fonction définie sur! par f x ( ) = x 2 + 4x 6 Soit P la parabole représentative de f et S le sommet de cette parabole 1 a Déterminer les coordonnées de S b Déterminer les coordonnées des points A et B de P d'abscisses respectives 1 et 3 2 a Montrer que pour tout réel a, f ' a b En déduire f ' 1 ( ) = 2a + 4 ( ), f '( 2) et f '( 3) c Quels sont les coefficients directeurs de T A des tangentes à P respectivement en A, B et S d Déterminer une équation des tangentes T A 3 Dans un repère, tracer des droitest A ainsi que la courbe P Exercice 2 Étudier les variations des fonctions suivantes : 1 f 1 x ( ) = 3x 2 + 2x 1 sur! 2 f 2 ( x) = 1 3 x3 + x 2 15x + 2 sur! 3 f 3 ( x) = x x sur 0;+ 4 f 4 ( x) = x + 1 x sur!* 5 f 5 ( x) = x + 3 x 4 sur! \ { 4 } 6 f 6 ( x) = 5 2x f 7 ( x) = x2 +1 x 2 + x +1 sur! 8 f x 8 ( ) = x2 x + 2 x 2 + x 2 sur! \ { 2} sur! \ { 2;1} Exercice 3 La courbe C ci-dessous représente une fonction f dérivable sur 0;5 Les droites représentent des tangentes à C 1 Lire f ( 0), f ( 2), f ( 4,5), f '( 0), f '( 2), f '( 4,5) 2 Déterminer les équations des tangentes à C aux points d'abscisses respectives 0, 2 et 4,5 1

2 Exercice 4 On considère une fonction f définie et dérivable sur l'intervalle 2;4 On note f ' la fonction dérivée de f La courbe C f tracée ci-dessous représente la fonction f et T la tangente en B à C f 1 En utilisant les données graphiques, déterminer sans justifier : a Le nombre de solutions de l'équation f x ( ) = 1 et un encadrement d'amplitude 0,25 des solutions éventuelles si nécessaire b La valeur de f ' 1 ( ) 2 En utilisant les données graphiques, déterminer en justifiant : a Le coefficient directeur de la tangente T b Celle des trois courbes C 1, C 2 ou C 3 ci-dessous, qui représente la fonction dérivée f ' de f Exercice 5 Dire pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse 1 La courbe C ci-dessous représente une fonction f définie et dérivable sur! a f ' 2 ( ) = 3 b f ( 0) = 1 c f '( 1) = 0 d f '( 0) < 0 e L'équation de la tangente T en A à C est y = x +1 2 f est la fonction définie et dérivable sur 0;+ par : f ( x) = 3 x + 3x 2

3 a Pour tout x > 0, f '( x) = 3 x b Le nombre dérivé de f en 1 est 0 c f '( x) = 0 si et seulement si x = 1 d y = 6 est l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse 1 Exercice 6 Un berger dispose de champ situé devant sa bergerie Il décide de poser une clôture pour obtenir un enclos rectangulaire dont l un des côtés sur le mur de la bergerie selon le plan cidessous : Ce champ doit avoir une aire de 300 m 2 Le but de l exercice est de trouver les dimensions x et y du champ pour que la longueur de la clôture soit minimale 1 Sachant que l aire du champ est égale à 300 m 2, exprimer y en fonction de x 2 Exprimer en fonction de x la longueur de la clôture, notée l x ( ) ( ) = 2x On vérifiera que l x x 3 Calculer l '( x), dérivée de la fonction l 4 Étudier les variations de l sur 0;+ En déduire les dimensions x et y pour lesquels la clôture à une longueur minimale 5 Préciser cette longueur En mathématiques, le coût marginal de production est l accroissement de coût résultant de la production d une pièce supplémentaire On pose : q : Nombre d objets fabriqués C( q) : Coût total engendré par la fabrication de q objets Le coût marginal est alors : C m ( q) = C( q +1) C( q) Les économistes considèrent que la dérivée du coût total C ' q du coût marginal On a donc : C m ( q) = C '( q) Le coût moyen unitaire est défini par : C M ( q) = C q q Les coûts fixes sont déterminés par C( 0) ( ) ( ) est une bonne approximation, avec q 0 3

4 Exercice 7 Une entreprise fabrique une quantité q d un produit avec un coût total en euro exprimé par : C( q) = q2 20q Déterminer les coûts fixes 2 Déterminer le coût moyen unitaire C M ( q) en fonction de q 3 a Calculer C M '( q) b En déduire les variations de C M c Pour quelle valeur q 0 de q, C M q 4 a Calculer le coût marginal C ' q b Vérifier que C ' q 0 ( ) ( ) = C M ( q 0 ) ( ) est-il minimal? 5 Vérifier que la tangente à la courbe «coût total» au point d abscisse q 0 passe par l origine Exercice 8 Un producteur de truffes noires cultive, ramasse et conditionne de 0 à 45 kg de ce produit par semaine durant la période de production de la truffe On désigne par x le nombre de kilogrammes de truffes traitées chaque semaine et par f ( x) le coût unitaire de revient en euros Chaque kilogramme de truffe conditionnée est vendu 450 On admet, dans la suite du problème, que la fonction f est définie sur 0;45 par : f ( x) = x 2 60x Justifier que le coût de production total C( x) pour x kilogrammes de truffes est : ( ) = x 3 60x x C x 2 Exprimer le bénéfice B( x) réalisé par le producteur pour x kilogrammes de truffes conditionnés et vendus 3 Déterminer la fonction dérivée B ' de la fonction B et montrer que : B' x ( ) = ( 3x +15) ( x 35) 4 a Étudier le signe de B' ( x) b En déduire le tableau de variation de la fonction B 5 Pour quelles productions de truffes l exploitation est bénéficiaire? On utilisera la calculatrice pour trouver une approximation des résultats 6 a Pour quelle quantité de truffes le bénéfice du producteur est-il maximal? b Quel est alors ce bénéfice maximal? 4

5 Exercice 9 Une agence de publicité est chargée, par un laboratoire pharmaceutique, d assurer la promotion d un nouveau médicament, disponible sans ordonnance, contre les maux de gorge Une étude réalisée par cette agence prouve que la fréquence f ( t) de personnes connaissant le nom du médicament après t semaines de publicité est donnée par : f ( t) = 3t t > 0 1 a Calculer ( 2) f 3t + 2 ( ) b En déduire le pourcentage de personnes qui ignorent le nom de ce médicament après deux semaines de publicité f 0? c Comment peut-on interpréter ( ) 2 a Calculer f '( t) pour t dans l intervalle ] ] 0;18 b Étudier les variations de f sur l intervalle] 0;18 ] 3 Représenter graphiquement la fonction f on note C f cette courbe Unités graphiques : 1 cm sur l axe des abscisses et 10 cm sur l axe des ordonnées 4 a Calculer f '( 1) b Tracer la tangente T à la courbe C f au point d abscisse 1 dans le même repère 5 a Lire sur le graphique, à partir de combien de semaines 95 % de personnes connaissent le nom du médicament b Retrouver le résultat par le calcul 5