NOUVEAU PROCÉDÉ POUR LE DÉVELOPPEMENT DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES SIMPLES

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1 NOUVEAU PROCÉDÉ POUR LE DÉVELOPPEMENT DES FRACTIONS DÉCIMALES PÉRIODIQUES SIMPLES Autor(en): Objekttyp: Pasternak, Léon Article Zeitschrift: L'Enseignement Mathématique Band (Jahr): 14 (1912) Heft 1: L'ENSEIGNEMENT MATHÉMATIQUE PDF erstellt am: Persistenter Link: Nutzungsbedingungen Die ETH-Bibliothek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften Sie besitzt keine Urheberrechte an den Inhalten der Zeitschriften Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern Die auf der Plattform e-periodica veröffentlichten Dokumente stehen für nicht-kommerzielle Zwecke in Lehre und Forschung sowie für die private Nutzung frei zur Verfügung Einzelne Dateien oder Ausdrucke aus diesem Angebot können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den korrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden Das Veröffentlichen von Bildern in Print- und Online-Publikationen ist nur mit vorheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt Die systematische Speicherung von Teilen des elektronischen Angebots auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber Haftungsausschluss Alle Angaben erfolgen ohne Gewähr für Vollständigkeit oder Richtigkeit Es wird keine Haftung übernommen für Schäden durch die Verwendung von Informationen aus diesem Online-Angebot oder durch das Fehlen von Informationen Dies gilt auch für Inhalte Dritter, die über dieses Angebot zugänglich sind Ein Dienst der ETH-Bibliothek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz, wwwlibraryethzch

2 En faisant enfin on a, pour tout x (?: Une vérification montre que cette forme des fonctions cherchées est non seulement nécessaire, mais encore que toute valeur de /tt fournit une solution La méthode s'applique aussi à la fonction tg [?] (Traduction de M F Lévy, Genève) H Schuepp (Zurich) NOUVEAU PROCÉDÉ POUR DÉVELOPPEMENT DES FRACTIONS DÉCIMALES LE PÉRIODIQUES SIMPLES I? On sait qu'une fraction proprement dite ~ à dénominateur N premier relativement à 10, fournit un développement décimal purement périodique On l'obtient par division décimale de R o par N Nous indiquons, dans ce qui suit, un procédé beaucoup plus simple, qui n'a pas été signalé jusqu'ici, bien qu'il soit élé mentaireil s'appuie uniquement sur l'addition et la multiplica tion,il est donc, quant au degré des opérations utilisées, plus simple que le procédé habituel Nous supposons le dénominateur N de la forme 10m? 1, ceci sans nuire à la généralité, car dans les 3 autres possibilités 10m -f- 1, 10/?2 -f- 3, 10m? 3, on peut passer à la forme choisie, en multipliant haut et bas par 9, 3 ou 7 Les équations suivantes : traduisentle procédé usité par division (!)

3 R2R où R d, 2 sont les restes des divisions successives et yi y%- les chiffres du développement cherché Avec ces équations on peut montrer, sous l'hypothèse faite, N premier relativement à 10, que le développement est purement périodique ; et aussi que Rk est en même temps reste de la divi sion10* R o : N Si R t est le premier reste égal à R o, t est la longueur de la pé riode,dont les chiffres sont yi?/ 2 y t% Décomposons Rk en la somme de ses dizaines et de ses unités : On déduit de (1), en faisant N = 10/72? 1, 11 en résulte que e k?yk est divisible par 10, ce qui ne peut être que si (3) D'où réduction de l'équation ci-dessus à ('*) On a donc le théorème : Si le dénominateur de la fraction forme ÏOm? 1, la suite des chiffres de la période de son dévelop pementdécimal est la même que celle des unités des restes suc cessifsen particulier, de R^ ~Ro résulte que le dernier chiffre de la période est le chiffre des unités du numérateur R o = 10z 0 eoe 4- Pour le 0 procédé habituel, cette propriété reste sans emploi, puique les e k se déduisent immédiatement après les y k Mais la formule récurrente (4) permet de calculer en sens con trairela suite des restes, d'où se déduira la période renversée D'abord nous avons de R o =R^la valeur e De t (4) résulte T> a la eet_ { et ainsi de suite Le calcul se termine sitôt qu'est obtenu un reste égal à R o La simplicité de ce procédé ressort des exemples suivants: 34 1 Développer ;

4 L'on peut disposer le calcul d'après le schéma suivant: D'où H = 0, Soit la fraction - Pour donner au dénominateur la forme voulue, multiplier haut et bas par 7 Alors m 5 et? l'on obtient Les opérations, effectuées de tête, sont IL? Après avoir exposé très élémentairement le procédé? donnons encore une deuxième démonstration moins simple, mais qui fait apparaître la dépendance de la suite des restes de la forme du dénominateur, et enlève à la première démonstration ce que son début a d'arbitraire Lorsque où a et h sont relativement premiers à N, les nombres a et b appartiennent au même exposant t (Euler appelle a et b, nombres associés ; Kronecker, diviseurs conjugués de l'unité) Ces nombres satisfont aux congruences : c'est-à-dire que les puissances croissantes de a

5 donnent les mêmes restes que les puissances décroissantes nombre associé b, du La justesse de cette propriété, qui est parfois utile lors de la détermination déracines primitives, se vérifie en élevant à la puis sances, la congruence D'où, après multiplication par b l s Mais 10 et m sont associés d'après Donc les restes de sont identiques à ceux de Par exemple, par suite de 10 4 = 1(m0d39), les puissances et les puissances donnent les mêmes restes en sens contraire De même, en général, les restes de et de sont les mêmes, en ordre renversé Soit donc, R k = ÏOz k + e k, le reste de 10 R o, ou, d'après ce qui précède, de mm t ~ k R 0 Alors on a, pour le module, N = 10m? 1, k

6 D'où De R k <N, ou 10z k +ek <10m?1, résulte z k <m?l En tenant compte, en plus, de e, -^ 9, on a me k +zk < 10m? 1 et ce qui est la formule récurrente, retrouvée à nouveau Le A iême chiffre de la période, se déduit comme nombre entiei! de 1OR /C-1 2l_L et comme 10m? 1 on voit de suite qu'il est justement e k La première démonstration, plus immédiate de la formule récur rente,est due à mon fils P Pasternak, ingénieur à Zurich Mai 1911 (Traduction de M F Lévy, Genève) Léon Pasternak (Zurich) MÉLANGES ET CORRESPONDANCE Sur l'axiome planaire de M Peano Parmi les axiomes adoptés par M Peano pour le fondement de la Géométrie figure une proposition que l'on peut exprimer de la manière suivante : A, B, C désignant trois points qui riappartiennent pas à une même droite,!) désignant un point du segment BC, et E un point du segment AD ; la droite BE contient un point F de la droite AC ; ce point appartient au segment AC, et le point E appartient au segment BF Je sépare, pour les distinguer, les trois propriétés ainsi postu léeset dont la première seule est proprement projective, tandis que les deux autres sont visiblement des propriétés de connexion On sait qu'un second axiome planaire de M Peano a été signalé

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