pour tout n de N, u n u n+1 ( resp. u n > u n+1 ). On dit d une suite ( u n ) qu elle est décroissante ( resp. strictement décroissante ) si :

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1 Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal Pré reqis Axiome de la bore spériere Limite d e site Partie etière d réel Divisio eclidiee Sites mootoes Défiitios : O dit d e site ( ) q elle est croissate ( resp strictemet croissate ) si : por tot de N, + ( resp < + ) O dit d e site ( ) q elle est décroissate ( resp strictemet décroissate ) si : por tot de N, + ( resp > + ) O dit d e site ( ) q elle est costate si por tot de N, = + O dit d e site ( ) q elle est mootoe si ( ) est soit croissate, soit décroissate Théorème : Tote site croissate et majorée coverge Tote site décroissate et miorée coverge Démostratio : Soit A { } =, N A est e partie o vide de R et majorée car ( ) l est Doc A admet e bore spériere l Par défiitio, soit ε>, il existe N tel qe l ε< l ( ) est croissate, doc N, l ε< N l< l ε, doc ( ) coverge Si ( ) est décroissate miorée, alors ( ) est croissate majorée N Exemples : a La site > + = coverge vers b ( ) = + c ( ) = 5CAPES_Sites_motoes_adjacetes_Approximatios_réel

2 Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal 3 Sites adjacetes Défiitio et propriété : O dit qe dex sites ( ) et ( v ) sot adjacetes si ( ) est croissate ( v ) est décroissate lim v = Dex sites adjacetes sot covergetes et coverget vers la même limite Démostratio : Lemme Soiet dex sites ( ) et ( v ) adjacetes telles qe ( ) est croissate et ( v ) est décroissate Alors por tot etier v Démostratio : Par l absrde, spposos q il existe tel qe > v ( ) est croissate et ( v ) est décroissate doc > v v,, Doc,, v > v Par passage à la limite D où la cotradictio Démostratio sr la covergece : lim v v, soit v > ( ) est croissate et ( v ) est décroissate doc, v v et, v ( ) est croissate et majorée par v et ( v ) est décroissate miorée par Doc ( ) et ( v ) coverget Soiet lim = l et lim v = l ' lim v = l l ' =, d où lim = lim v Exercice O défiit les sites ( ) et ( v ) par = +! + 3! + +! et Motrer qe ( ) et ( v ) sot adjacetes Jstifier alors q il existe réel λ tel qe < λ< v v = +! 3 Motrer qe λ est irratioel Exercice Soit f e foctio cotie sr itervalle [ a, b ] telle qe f( a ) f( b ) < O défiit les sites ( a ) et ( b ) par a = a, b = b a+ = a a+ b a si f ( a) f ( b ) o + = a si f ( a ) f ( b ) b > < + b+ = b+ = b Motrer qe ( a ) et (b ) sot adjacetes et coverget vers réel c tel qe f( c ) = 5CAPES_Sites_motoes_adjacetes_Approximatios_réel

3 Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal 4 Valer approchée d réel Théorème et Défiitio : Soit x réel N, o pose x = E( x) et x = + x est appelée valer approchée par défat de x à près est appelée valer approchée par excès de x à près Alors ( x) et ( ) N Démostratio : sot dex sites adjacetes de limite x et o a, x N x< N E( x) E( x) E( x) x< E( x) + x< + x x< + E( x) x< E( x) + et E x x E x ( ) < ( ) + par défiitio de E Doc + E( x) E( x) + x x + ( ) ( ) + et + ( ) + ( ) ( ) ( ) lim x = lim = 5 Développemet décimal propre d réel Défiitio : Soit ( ) * { a N N / a 9, N et N N, N, a 9} = a= E( x) a+ = E x E x x x = E( + x) E( x) = a O costrit alors la site ( a ) aisi : O a + ( ) ( ) + + Par récrrece, x a a Défiitio : = + et comme ( ) x N a por limite x, o ote Alors x= a+ a est appelé développemet décimal propre de x x a a = + 3 5CAPES_Sites_motoes_adjacetes_Approximatios_réel

4 Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal a Motros qe ( ) E( x) x< E( x) + x < E( x) x E( x) x< E( x) + x < E( x) x Doc, x x< E( x) E( x) < x( x) < < a + ( ) ( ) 9 Raisoos par l absrde : Si N N, N, a = 9, alors N N= = 9 = ( ) = N+ N+ N+ x x a D où ( N ) ( = x x = x x N ) = Or lim N N N = x, doc N= x, ce qi est e cotradictio avec x< N Théorème : R δ : x a ( ) est e bijectio O a qe por tot réel x, x a a = + Démostratio O viet de jstifier l existece de δ Soit ( ) a, o défiit = a+ a et v = + Alors ( ) et ( v ) N E effet, a N + = + v v a + = ( + 9) lim v = lim = sot dex sites adjacetes qi coverget vers réel Remarqe Les ombres décimax o dex développemet possibles : =, ( développemet décimal propre ) =,99999 O ote qe ce est pas le développemet décimal propre car il a e ifiité de 9 à partir d certai rag O pet l accepter comme développemet décimal, mais das ce cas il e a dex développemets décimax por même ombre Cela pose alors des problèmes de choix 4 5CAPES_Sites_motoes_adjacetes_Approximatios_réel

5 Sites mootoes Sites adjacetes Approximatios d réel Développemet décimal 6 Développemet décimal propre d ratioel Défiitio : O dit d développemet décimal q il est périodiqe si ( ) a est périodiqe Propriété : Les ratioels sot les sels réels aat développemet décimal périodiqe Démostratio Soit réel dot le développemet décimal est périodiqe O se restreit a cas T T 3T T, aa at aa at aa at = aa at ( ) = aa at Q T a a r r = E + = a+ b b où r est le reste de la divisio eclidiee de a par b b b a a r r r a= E E E a a a E a E = + = + = b b b a est etier b b Doc o effecte la divisio eclidiee de r par b et o obtiet a, etc (A passage cela jstifie la divisio qe l o sait si bie poser!!) Or < r i < b doc les restes sot e ombre fii Il existe alors j et tels qe rj= r a j+ = a+ Doc le développemet est périodiqe Exercice Soit le ratioel,3434 Doer so écritre fractioaire 5 5CAPES_Sites_motoes_adjacetes_Approximatios_réel

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