ECONOMETRIE DES SERIES TEMPORELLES

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1 ECONOMETRIE DES SERIES TEMPORELLES Hélèe Hamisulae I/ ETUDE UNIVARIEE : MODELISATION D UNE SERIE TEMPORELLE I./ Focios d auocorrélaio : simple e parielle I./ Séries saioaires : processus TS e DS I.3/ Tess de saioarié (ou ess de racie uiaire) I.4/ Processus ARIMA I.5/ Processus ARMA I.6/ Méhode de Box e Jekis : ideificaio du ARMA(p,q), esimaio par la méhode du maximum de vraisemblace, validaio (es de Box-Pierce e es ARCH) e crières de choix des modèles (MAE, RMSE, MAPE, AIC, Schwarz, Haa-Qui). I.7/ Processus ARCH : ARCH, GARCH, EGARCH, TARCH, ARCH-M II/ ETUDE MULTIVARIEE : MODELISATION DE LA RELATION ENTRE DEUX SERIES TEMPORELLES : II./ Séries o saioaires, coiegraio e modèle à correcio d erreur II./ Modèle VAR e es de causalié au ses de Grager

2 BIBLIOGRAPHIE : Lardic S. e Migo V. (00), Ecoomérie des Séries Temporelles Macroécoomiques e Fiacières, Ecoomica. Bourboais R. (000), Ecoomérie, DUNOD. * * * I/ ETUDE UNIVARIEE : MODELISATION D UNE SERIE TEMPORELLE I. / Focios d auocorrélaio Défiiio : La focio d auocorrélaio es la focio oée ρ k qui mesure la corrélaio de la série avec elle-même décalée de k périodes : ρ k = cov(y, y - k ) σ y σ y - k = =k+ (y - y )(y - k - y) =k+ (y - y)² (y - k - y)² =k+ Nous pouvos e déduire que : ρ 0 = e - ρ k k Le graphe de la focio d auocorrélaio es appelé corrélogramme. Défiiio : La focio d auocorrélaio parielle mesure la corrélaio ere y e y -k, l ifluece des aures variables (y -, y -,,y -k+ ) aya éé reirée. I. / Séries saioaires Défiiio 3 : Ue série {y } pour =,, T es die saioaire si : (i) E(y ) = µ (cosae, e déped pas de ) ; (ii) Var(y ) = σ y < (cosae, e déped pas de ) ; (iii) Cov(y,y +k ) = E[(y µ)(y +k µ)] = γ k (e déped pas de ).

3 La série {ε } do E(ε ) = 0, Var(ε ) = σ ε, Cov(ε, ε +k ) = 0 es doc ue série saioaire. Elle es appelée aussi brui blac ( remarque : u brui blac es pas écessaireme gaussie). Ue série saioaire e doi comporer i edace e i saisoalié. Défiiio 4 : Séries o saioaires : processus TS e DS a/ Processus TS : Le processus TS (Tred Saioary) s écri : y = α + β + ε où ε représee l erreur du modèle à la dae. Il présee ue o saioarié de aure déermiise. Le processus TS es o saioaire car E(y ) = α + β déped du emps. Le processus y peu êre saioarisé e reracha à y la valeur esimée αˆ + βˆ par la méhode des Moidres Carrés Ordiaires (voir docume écoomérie.pdf pour MCO). b/ Processus DS : Le processus DS (Differecy Saioary) avec dérive (β 0) s exprime comme sui : y = y - + β + ε. Le processus DS avec dérive es appelé aussi marche au hasard (ou marche aléaoire) avec dérive. Il présee ue o saioarié de aure sochasique. Par récurrece, o obie (das le cas avec dérive) : y = y 0 + β + ε y = y + β + ε = y 0 + β + ε + β + ε = y 0 + β + ε + ε y = y 0 + β + i= ε i où ε i ~> iid(0, σ ε), ε i es ideiqueme e idépedamme disribuée. Le processus DS avec dérive es o saioaire car o a E(y ) = y 0 + β qui déped du emps. Plus e plus E(y ). Le processus DS (Differecy Saioary) sas dérive (β =0) s écri : 3

4 y = y - + ε. Le processus DS sas dérive es appelé aussi marche au hasard (ou marche aléaoire). Par récurrece, o obie (das le cas sas dérive) : y = y 0 + ε y = y + ε = y 0 + ε + ε y = y 0 + i= ε i où ε i ~> iid(0, σ ε) Le processus DS sas dérive es o saioaire car o a : Var(y ) = Var ε i = i= i= Var(ε i ) = σ ε = σ ε. i= O cosae que la variace du processus DS sas dérive déped du emps. Plus e plus Var(y ). Pour saioariser le processus DS (avec ou sas dérive), il suffi de le passer e différece première : y - y - = β + ε (cas avec dérive) ou y - y - = ε (cas sas dérive). Défiiio 5 : Ue série es die iégrée d ordre d (oée y ~> I(d)) s il covie de la différecier d fois afi de la saioariser. La série saioarisée es alors iégrée d ordre 0 e es oée y ~> I(0). I.3 / Tess de saioarié (ou ess de racie uiaire) Il exise plusieurs ess de racie uiaire : ess de Dickey-Fuller simple e Dickey-Fuller Augmeé, es de Phillips e Perro, es de Kwiakowski, Phillips, Schmid e Shi (es de KPSS). Nous éudieros ici que les ess de Dickey-Fuller e de Phillips-Perro. a/ Tes de Dickey-Fuller simple : Le es de Dickey-Fuller perme de savoir si ue série es saioaire ou o e perme aussi de déermier la boe maière de saioariser la série. Les hypohèses du es so les suivaes : 4

5 H 0 : processus o saioaire, il correspod à ue de ces formes de o saioarié : [] y = ø y - + ε [] y = ø y - + c + ε [3] y = ø y - + b + c + ε où ø = e ε ~> iid(0, σ ε) H : ø <. O peu écrire aussi les hypohèses sous la forme suivae : H 0 : processus o saioaire, il correspod à ue de ces formes de o saioarié : [] y = (ø ) y - + ε [] y = (ø ) y - + c + ε [3] y = (ø ) y - + b + c + ε où (ø -) = 0 e ε ~> iid(0, σ ε) H : ø <. Sous H 0 vraie, la saisique de es pour l esimaeur de ø es doée par : φˆ φˆ =. σˆ φ ˆ O commece par éudier le modèle gééral [3]. O regarde si b es sigificaiveme différe de 0 ou o. Si b es sigificaiveme o différe de 0, o passe à l éude du modèle [] e o cherche à savoir si c es sigificaiveme différe de 0 ou pas. Si c es sigificaiveme o différe de 0, o éudie le modèle []. ATTENTION : Sous H 0 vraie, les de Sude de la cosae e de la edace so à comparer avec les valeurs de la able de Dickey-Fuller (Pour ue aille d échaillo supérieure à 500 observaios, les valeurs criiques so :.78 à 5% pour la edace du modèle [3],.5 pour la cosae du modèle [] e.95 pour le paramère ø ) car sous H 0 vraie le processus éudié es o saioaire (y ~>I()) e l esimaeur de ø e sui pas la loi ormale. Les règles de décisio so les suivaes : Si > DF où DF désige la valeur criique doée par able de DF o accepe H : le coefficie de la variable explicaive es sigificaiveme différe de 0. Si o a b sigificaiveme différe de 0 pour le modèle [3], le es s arrêe ici, o éudie pas les aures modèles. De même que si o arrive au modèle [] e que l o a la cosae qui es sigificaiveme différee de 0, le es s arrêe au modèle []. 5

6 Si ø > DF O accepe H 0 : la série es o saioaire (ATTENTION : il fau observer ici que pour ø > DF, o a pas H! La règle de décisio es ici iversée). b/ Tes de Dickey-Fuller Augmeé : Das le es de Dickey-Fuller que ous veos d éudier, le processus ε es par hypohèse u brui blac. Or il y a aucue raiso pour que, a priori, l erreur soi o corrélée. Le es de Dickey-Fuller Augmeé e suppose pas que ε es u brui blac. Les hypohèses du es de Dickey-Fuller Augmeé se défiisse de la faço suivae : H 0 : processus o saioaire, il correspod à ue de ces formes de o saioarié : p [] y = ρy - - γk y -k+ + η k= p [] y = ρy - - γk y -k+ + c + η k= p [3] y = ρy - - k= γk y -k+ + b + c + η où ρ = 0, ø = e η ~>iid(0, σ η) H : ø <. Démosraio de l écriure des modèles [], [] e [3] : O a y = ø y - + ε où ε ~> AR(p-), ε es pas u brui blac : p- ε = θi ε -i + η où η ~>iid(0, ση) i= O peu écrire ces équaios à l aide de l opéraeur de décalage B el que By = y - e B p y = y -p. O obie alors : ( ø B)y = ε e ε = θ B ε + θ B² ε + + θ p- B p- ε + η p- - θi B i ε = η. i= O peu alors écrire p- - θi B i ( ø B)y = η i= 6

7 p- - θi B i ( ø B)y = η i= p- - θi B i (y ø y - ) = η i= p- (y ø y - ) - θi B i (y ø y - ) = η i= p- p- (y ø y - ) - θi y -i + ø θi y --i = η i= i= y ø y - - θ y - - θ y θ p- y -(p-) + ø θ y - + ø θ y ø θ p- y -p = η y = (ø + θ )y - + (θ - ø θ )y (θ p- - ø θ p- )y -p+ - ø θ p- y -p + η p- y = [(ø -)(- θ - θ - - θ p- )]y - - γk y -k + η k= car o a : y = (ø + θ )y - + (θ - ø θ )y (θ p- - ø θ p- )y -p+ - ø θ p- y -p + η y = α y - + α y α p- y -p+ + α p y -p + η. Or o cosae que pour u modèle AR(), o a l écriure suivae : y = α y - + η y - y - = α y - - y - + η y = (α -) y - + η. Pour u modèle AR(), il vie : y = α y - + α y - + η y - y - = - y - + α y - + α y - + α y - α y - + η y = (α + α ) y - + α (y - - y - ) + η y = (α + α ) y - - α (y - - y - ) + η y = (α + α ) y - - α y - + η Pour u modèle AR(3), o obie : y = α y - + α y - + α 3 y -3 + η y = (α + α + α 3 ) y - (α + α 3 ) y - - α 3 y - + η 7

8 O cosae doc que pour u modèle AR(p) : y = p αi - y - p- p αi y -k + η i= i=k+ k= Comme o avai supposé que : α = ø + θ, α = θ - ø θ,, α p = - ø θ p- O obie alors : y = (ø + θ + θ - ø θ θ p- - ø θ p- - ø θ p- )y - - p- p αi y -k + η i=k+ p- y = (ø + θ + θ - ø θ θ p- - ø θ p- - ø θ p- )y - - γk y -k + η k= k= p- y = (ø (- θ - θ - - θ p- ) + θ + θ + + θ p- )y - - γk y -k + η k= p- y = [(ø -)(- θ - θ - - θ p- )]y - - γk y -k + η k= O rouve alors l écriure du modèle [] e posa ρ = (ø -)(- θ - θ - - θ p- ) : ou ecore p- y = ρ y - - γk y -k + η k= p y = ρ y - - γk y -k+ + η. k= Déermiaio du reard p du es ADF : La valeur p es déermiée à l aide du corrélogramme pariel de la série différeciée y. Ue fois déermiée la valeur p, o procède de la même faço qu avec le es de Dickey- Fuller simple : o commece par éudier la sigificaivié de b du modèle [3]. La règle de décisio es la même que pour le es de DF simple. 8

9 La saisique de es pour l esimaeur de ø es : φˆ = φˆ σˆ φˆ qui es à comparer avec la valeur criique DF de la able de Dickey-Fuller. Si ø > DF O accepe H 0 : la série es o saioaire (ATTENTION : il fau observer comme das le cas du es de DF simple que pour ø > DF, o a pas H! La règle de décisio es iversée ici! ). c/ Tes de Phillips-Perro : Le es de Phillips e Perro perme de predre e compe à la fois l auocorrélaio e l hééroscédasicié des erreurs. Il s appuie sur les mêmes modèles que ceux du es de Dickey e Fuller simple mais propose ue correcio o-paramérique de la saisique. φ ˆ Le dérouleme du es de Phillips-Perro s effecue e quare éapes qui so : ) Esimaio par la méhode des moidres carrés ordiaires les rois modèles du es de Dickey-Fuller simple e calcul des résidus. εˆ ) Déermiaio de la variace die de cour erme : σˆ = εˆ. = 3) Esimaio du faceur correcif s appelé variace de log erme : où s = = εˆ + b j= j b+ ( ) / 9 b = j+ εˆ εˆ j 4) Calcul de la saisique de Phillips e Perro : avec (ˆ φ ) k σˆ (k )σˆ PP φˆ ˆ = + φ ˆ k φ 9

10 σˆ k =. s Phillips e Perro (988) more que cee correcio o-paramérique apporée à modifie pas la disribuio asympoique de la saisique qui rese ideique à celle qui es observée das le cas du es de Dickey-Fuller simple. E coséquece, les valeurs criiques abulées par Dickey e Fuller demeure égaleme valables pour le es de Phillips-Perro. φ ˆ e I.4 / Processus ARIMA Lorsque l o a ue série {y } à o saioarié sochasique, il covie de la modéliser à l aide d u processus ARIMA(p,d,q) où d désige l ordre de différeciaio (ou d iégraio). Défiiio 6 : U processus ARIMA(p,d,q) ou "Auoregressive Iegraed Movig Average" d ordre p, d, e q pour la série {y } es u processus de la forme suivae : (- Φ B - - Φ p B p ) d y = (- θ B - - θ q B q ) ε ou ecore (- Φ B - - Φ p B p ) (-B) d y = (- θ B - - θ q B q ) ε où ε ~> BB(0,σε), B es l opéraeur de reard el que By = y - e B p y = y -p, d es l opéraeur de différece de degré d (d 0 es u eier posiif), (Φ,, Φ p ) e (θ,, θ q ) so des coefficies à esimer. La série {y } es ue série o saioaire alors que la série w = d y es ue série saioaire. Esimer les paramères du processus ARIMA(p,d,q) pour la série {y } o saioaire revie à esimer les coefficies du processus ARMA(p,q) pour la série {w }saioaire. I.5 / Processus ARMA Wold (954) more que les séries saioaires peuve êre représeées par les processus ARMA. Défiiio 7 : Soi {y } ue série saioaire. Le modèle AR(p) ou auorégressif d ordre p es défii par : y - Φ y - - Φ y Φ p y -p = ε ou ecore (- Φ B - - Φ p B p ) y = ε 0

11 où Φ, Φ,..., Φ p so des coefficies (posiifs ou égaifs) à esimer e ε ~ BB(0, σ ε). U modèle AR(p) présee u corrélogramme simple caracérisé par ue décroissace géomérique de ses ermes e u corrélogramme pariel caracérisé par ses p premiers ermes différes de 0. Défiiio 8 : Le modèle MA(q) ou "Movig Average" (moyee mobile) d ordre q es doé par : y = ε θ ε - θ ε θ q ε -q ou ecore y = (- θ B - - θ q B q ) ε où θ, θ,, θ q so des paramères à esimer. U modèle MA(q) présee u corrélogramme simple défii par ses q premiers ermes sigificaiveme différes de 0 e u corrélogramme pariel caracérisé par ue décroissace géomérique des reards. Défiiio 9 : Le modèle ARMA(p,q) es ue combiaiso des processus AR(p) e MA(q) : y - Φ y - - Φ y Φ p y -p = ε θ ε - θ ε θ q ε -q ou ecore ou ecore où (- Φ B - - Φ p B p ) y = (- θ B - - θ q B q ) ε Φ(B)y = θ(b)ε ε ~ BB(0, σ ε). Le modèle ARMA(p,q) présee u corrélogramme simple e pariel qui so u mélage des deux corrélogrammes des processus AR e MA purs.

12 I.6 / Méhode de Box e Jekis La méhode de Box e Jekis perme de déermier le modèle ARIMA pouva coveir à ue série emporelle selo ses caracérisiques. Elle se décompose e plusieurs éapes : Déermiaio e élimiaio de la saisoalié de la série chroologique Aalyse du corrélogramme simple e pariel Déermiaio e élimiaio de la edace de la série chroologique désaisoalisée Tess de saioarié : es de Dickey-Fuller es de Phillips-Perro es de KPSS (Kwiakowski, Phillips, Schmid e Shi) Déermiaio des ordres p e q du modèle ARMA : aalyse des corrélogrammes simple e pariel si le résidu es pas u brui blac Esimaio des coefficies du modèle Méhode du maximum de vraisemblace Aalyse des coefficies e des résidus Prévisio

13 a/ Esimaio des paramères du processus ARMA(p,q) : L esimaio des coefficies du processus ARMA(p,q) s effecue pricipaleme à l aide de la méhode du maximum de vraisemblace. O suppose pour cela que ε ~> N(0,σ ε ). Méhode d esimaio du maximum de vraisemblace : La méhode du maximum de vraisemblace es couramme uilisée pour esimer les coefficies des modèles des séries emporelles car c es ue méhode simple à mere e place pour esimer des modèles plus complexes que le modèle liéaire. Soi le modèle suiva : O a alors : y = a 0 + a x + ε. E(y ) = a 0 + a x e Var(y ) = σ ε. La focio de desié de la loi ormale de la variable y s écri : f(y ) = σ ε π exp - (y - E(y ))² σ = ε σ ε π exp - (y - a 0 - a x )² σ. ε La focio de vraisemblace es doée par : f(y, y,, y ; a 0, a, σε) = = f(y ; α,β,σ ε) où f(y ; α,β,σ ε) es la focio de desié de y. O obie alors : f(y, y,, y ; a 0, a, σε) = = f(y, y,, y ; a 0, a, σε) = σ ε π σ ε π exp - (y - a 0 - a x )² σ ε exp = - (y - a 0 - a x )² Pour facilier les calculs, o cosidère pluô le logarihme de la focio de vraisemblace. Il vie alors : L f(y, y,, y ; a 0, a, σ ε) = l σ ε π - = σ ε (y - a 0 - a x )² σ ε. 3

14 L f(y, y,, y ; a 0, a, σ ε) = - l σ ε - l π - = (y - a 0 - a x )² σ ε. Cee focio es à maximiser. Les valeurs des coefficies qui permee de maximiser la focio so issues des codiios du premier ordre suivaes : L f( ) a 0 = 0, L f( ) a = 0, L f( ) σ ε = 0. b/ Validaio du processus ARMA(p,q) : Lors de la déermiaio des ordres p e q du processus ARMA(p,q) à l aide des corrélogrammes simple e pariel, o peu êre ameé à sélecioer plusieurs ordres possibles p e q pour le processus ARMA(p,q). Après avoir esimé les différes processus ARMA(p,q) possibles, il rese à les valider e à les déparager. La validaio des processus passe par u exame des coefficies esimés (ils doive êre sigificaiveme différe de 0) e par u exame des résidus (les résidus esimés doive suivre u processus de brui blac : e ~ BB(0, σ e) où e es l esimaeur de l erreur ε puisque l o a supposé que ε ~ BB(0,σ ε) lors de la défiiio du processus ARMA(p,q)). b./ Tess sur les coefficies : Parmi les processus ARMA esimés, o e reiedra que ceux do ous les coefficies o u de Sude >,96 (pour u risque de 5% e pour ue aille d échaillo suffisamme grade : T > 30). b./ Tess sur les résidus : Tess d auocorrélaio : Il exise u grad ombre de ess d auocorrélaio, les plus cous so ceux de Box e Pierce (970) e Ljug e Box (978). Nous éudieros ici que le es de Box e Pierce. Le es de Ljug e Box es à appliquer lorsque l échaillo es de peie aille. Soi ue auocorrélaio des erreurs d ordre K (K>) : ε = ρ ε - + ρ ε ρ K ε -K + υ où υ ~>N(0, σ υ) Les hypohèses du es de Box-Pierce so les suivaes : H 0 : ρ = ρ = = ρ K = 0 H : il exise au mois u ρ i sigificaiveme différe de 0. Pour effecuer ce es, o a recours à la saisique Q qui es doée par : 4

15 K Q = k= ρˆ k où es le ombre d observaios e résidus esimés e. ρˆ k es le coefficie d auocorrélaio d ordre k des Sous l hypohèse H 0 vraie, Q sui la loi du Khi-deux avec K degrés de liberé : La règle de décisio es la suivae : Q = K k= ρˆ k ~> χ²(k). si Q > k* où k* es la valeur doée par la able du Khi-Deux pour u risque fixé e u ombre K de degrés de liberé O rejee H 0 e o accepe H (auocorrélaio des erreurs). Tess d hééroscédasicié : Il exise plusieurs ess possibles : es de Goldfeld e Quad, es de Whie, es de Breusch e Paga e es ARCH de Egle. Nous éudieros ici le es ARCH car il es rès fréquemme employé e écoomérie des séries emporelles fiacières. Tes ARCH : Le es ARCH cosise à effecuer ue régressio auorégressive des résidus carrés sur q reards : e = α 0 + q i= α i e i où e désige le résidu à l isa issu de l esimaio des paramères du processus ARMA(p,q). Pour déermier le ombre de reards q, o éudie le corrélogramme des résidus au carré. Les hypohèses du es ARCH so les suivaes : H 0 : homoscédasicié e α = = α q = 0 H : hééroscédasicié e il y a au mois u coefficie α i sigificaiveme différe de 0. 5

16 Pour meer le es, o uilise la saisique de es R² où correspod au ombre d observaios de la série e e R² représee le coefficie de déermiaio associé à la régressio e = α + α e. 0 q i= i i Sous l hypohèse H 0, la saisique de es R² sui la loi du Khi-deux à q degrés de liberé. La règle de décisio es alors : -Si R² χ²(q) où χ²(q) désige la valeur criique figura das la able du Khi-deux, o accepe ici l hypohèse H 0 d homoscédasicié. -Si R² > χ²(q) où χ²(q) désige la valeur criique valeur figura das la able du Khideux, o rejee ici l hypohèse H 0 d homoscédasicié e o adme qu il y a de l hééroscédasicié. b.3/ Crières de choix des modèles : Après exame des coefficies e des résidus, cerais modèles so écarés. Pour déparager les modèles resas, o fai appel aux crières sadards e aux crières d iformaio. Crières sadards : L erreur absolue moyee (Mea Absolue Error) : MAE = e où e es le résidu du modèle ARMA éudié e le ombre d observaio. Racie de l erreur quadraique moyee (Roo Mea Squared Error) : RMSE = e Ecar absolu moye e pourceage (Mea Absolue Perce Error) : MAPE = 00 e X. Plus la valeur de ces crières es faible, plus le modèle esimé es proche des observaios. 6

17 Crières d iformaio : Le crière d Akaike : AIC = l σ ε + (p+q) où p es l ordre de la parie AR e q es l ordre de la parie MA. Le crière de Schwarz : SIC = l σ ε + (p+q) l() Le crière d iformaio de Haa-Qui : où α (> ) es ue cosae. HQ = l σ ε + α(p+q)l l() O choisi le modèle qui miimise les crières sadards e les crières d iformaio. Le modèle sélecioé sera alors uilisé pour la prévisio. I.7 / Processus ARCH Les processus ARCH (AuoRegressive Codiioal Heeroskedasiciy) so uilisés pour modéliser la volailié d ue série. O a vu que le modèle ARMA(p,q) s écrivai Φ(B)y = θ(b)ε où ε ~ BB(0, σ ε). Or σ ε peu e pas êre coa. O peu avoir V(ε ε - ) = σ qui es ue variace codiioelle. O uilise alors les processus ARCH pour modéliser cee variace codiioelle. E plus du processus ARCH, ous avos aussi les processus GARCH, EGARCH, TGARCH, ARCH-M, 7

18 Défiiio 0 : U processus ARCH(q) s exprime de la maière suivae : q σ = α 0 + α i ε -i i= avec α 0 > 0 e α i 0 i. Défiiio : U processus GARCH(p,q) (Geeralized ARCH) es défii comme sui : q σ = α 0 + i= p α i ε -i + j= β j σ -j où α 0 > 0, α i 0 e β j 0 i e j. Défiiio : U processus EGARCH(p,q) (Expoeial GARCH) s écri de la faço suivae : où z -i = ε -i σ -i q l σ = α 0 + i= représee l erreur sadardisée. p α i (ø z -i + γ( z -i - E z -i ) ) + j= β j lσ -j O peu remarquer ici qu il y a pas de coraie de posiivié qui pèse sur les coefficies car l équaio de la variace s exprime e log. A la différece des processus ARCH e GARCH, le processus EGARCH(p,q) perme à la volailié de réagir différemme selo le sige des chocs. Défiiio 3 : U processus TGARCH(p,q) (Threshold GARCH) es défii par : q σ = α 0 + ( α + i ε -i + - α - p iε - -i )+ i= j= β j σ -j où ε + = max(ε,0) e ε - = mi(ε,0). Le modèle compore des coraies de posiivié qui so : α 0 >0, α + i 0, α ī 0, β j 0 i,j. Touefois, le modèle perme ici de cosidérer les effes asymériques des chocs sur la volailié. 8

19 Défiiio 4 : U processus ARCH-M es doé par : Φ(B)y = θ(b)ε + δσ q σ = α 0 + α i ε -i où α 0 > 0 e α i 0 i i= La srucure ARMA es appelée équaio de la moyee. Pour u processus ARCH-M, o ajoue ue variace das l équaio de la moyee. O peu avoir aussi u processus GARCH-M, TGARCH-M, Les processus ARCH, GARCH, EGARCH, so esimés à l aide du maximum de vraisemblace (ou pluô du pseudo maximum de vraisemblace car les erreurs des séries emporelles e fiace e suive pas pour la plupar ue loi ormale). La focio log-vraisemblace à maximiser s écri ici de la faço suivae : L f(ε, ε,, ε ; θ) = = l( π) = ε l(σ + ) σ où θ es u veceur coea les paramères à esimer des processus ARMA e de la volailié (ARCH, GARCH, ). II/ ETUDE MULTIVARIEE : MODELISATION DE LA RELATION ENTRE DEUX SERIES TEMPORELLES : II./ Séries o saioaires, coiégraio e modèle à correcio d erreur (MCE) Soie y ~> I(), x ~> I(), x e y so idépedas, si o esime à l aide des MCO le modèle suiva : y = ax + b + ε o obie : y - ax - b = ε ~> I(). ε ~> I(0), ε es doc pas saioaire (le DW es ici rès faible). De plus, o aboui à ue régressio die fallacieuse ou illusoire ("spurious regressio") caracérisée par u R² e des de Sude rès élevés alors que les deux variables o aucu lie ere elles! O peu évier ce problème e passa les variables e différeces premières afi de les redre saioaires ( y ~> I(0) e x ~> I(0) si x e y so des processus o saioaires aléaoires) e e effecua la régressio suivae : 9

20 y = a x + b + µ. Par ailleurs, o obie : y - a x - b = µ ~> I(0). Touefois, il arrive que l o souhaie ravailler avec des variables pluô e iveau qu e différeces premières (doc pluô avec des variables o saioaires). Das ce cas, comme savoir si la régressio effecuée es fallacieuse ou o? C es alors que la oio de coiégraio pred oue so imporace ici. Nous avos pas de régressio fallacieuse lorsque les variables x e y so coiégrées, c es à dire lorsque l o a y - ax - b = ε ~> I(0) alors que y ~> I() e x ~> I(). a/ Défiiio de la coiégraio : Grager a moré que si o avai deux variables o saioaires (y ~> I() e x ~> I()), o pouvai avoir : y - ax - b = ε ~> I() ou y - ax - b = ε ~> I(0)! Défiiio 5 : Deux séries o saioaires (y ~> I() e x ~> I()) so dies coiégrées si o a : y - ax - b = ε ~> I(0). Les séries y e x so alors oées : x, y ~> CI(,). c/ Tes de coiégraio ere deux variables : Eape : eser l ordre d iégraio des variables : Ue codiio écessaire de coiégraio es que les séries doive êre iégrées de même ordre. Si les séries e so pas iégrées de même ordre, elles e peuve êre coiégrées. Il covie doc de vérifier l ordre d iégraio des chroiques éudiées à l aide par exemple du es de Dickey-Fuller (simple ou augmeé). Si les séries cosidérées e so pas iégrées de même ordre, il y a alors pas de risque de coiégraio e la procédure s arrêe à cee première éape. Eape : esimaio de la relaio de log erme Si o a : x ~> I() e y ~> I(). 0

21 O esime par les MCO la relaio de log erme : y = ax + b + ε. Pour qu il y ai coiégraio, il fau que le résidu e issu de la régressio soi saioaire : e = y âx bˆ ~> I(0). La saioarié du résidu es esée à l aide du es DF ou DFA. O remarque ici que la relaio pore sur les résidus esimés e o pas sur les «vrais» résidus de l équaio de coiégraio. Par coséque, ous e pouvos pas ous référer aux ables de Dickey-Fuller pour meer le es de saioarié. Il fau regarder ici les ables de MacKio. Si le résidu es saioaire ous pouvos alors esimer u modèle appelé modèle à correcio d erreur (MCE) qui iègre les variables e variaio e e iveau (héorème de la représeaio de Grager). L emploi d u modèle à correcio d erreur das le cas de la coiégraio perme d obeir des prévisios plus fiables que si o avai uilisé la relaio de log erme car les résulas de l esimaio de cee relaio so faussés par la o saioarié des séries. b/ Modèle à correcio d erreur : Si o a deux séries coiégrées (y âx d erreur (MCE) suiva : bˆ ~> I(0)), o peu esimer le modèle à correcio y = γ x + δ(y - ax - b) + υ avec δ < 0. O peu remarquer que le paramère δ doi êre égaif pour qu il y ai u reour de y à sa valeur d équilibre de log erme qui es (ax - + b). E effe, lorsque y - es supérieur à (ax - + b), il y a ue force de rappel vers l équilibre de log erme que si δ < 0. Le MCE perme de modéliser cojoieme les dyamiques de cour e log erme. La dyamique de cour erme s écri : y = α 0 + α y - + α x + α 3 x - + υ La dyamique de log erme s exprime de la maière suivae : y = ax + b + ε car à log erme, o a y - = y, x - = x e la dyamique de cour erme devie à log erme : y = α 0 + α y + α x + α 3 x + υ (- α )y = (α + α 3 )x + α 0 + υ

22 où a = α + α 3 - α, b = α 0 - α, ε = υ - α. y = ax + b + ε Le MCE s obie à parir de la dyamique de cour erme : y = α 0 + α y - + α x + α 3 x - + υ y y - = α 0 + α y - - y - + α x - α x - + α x - + α 3 x - + υ y = (α -)y - + α (x -x - ) + α 0 + (α +α 3 )x - + υ y = -(-α )y - + α (x -x - ) + α 0 + (α +α 3 )x - + υ y = -(-α ) y - - α + α 3 x α + α x + υ - α α 0 y = γ x + δ(y - ax - b) + υ où α = γ, δ = -(-α ), a = α + α 3 α e b = 0. - α - α d/ Esimaio du MCE avec ue seule variable explicaive : Si les séries Y e X so coiégrées : ous pouvos esimer le MCE. x, y ~> CI(,) Eape : esimaio par les MCO de la relaio de la relaio de log erme : y = ax + b + ε. Eape : esimaio par les MCO de la relaio du modèle dyamique de cour erme : où e = y âx bˆ. y = γ x + δe - + υ avec δ < 0 Le coefficie δ doi êre sigificaiveme égaif. Das le cas coraire, la spécificaio de ype MCE es pas valable.

23 II./ Modèle VAR L absece de coiégraio ere deux séries o saioaires y, e y, (y, ~> I() e y, ~> I()), mais l exisece d ue causalié ere les séries saioaires y, e y, ( y, ~> I(0) e y, ~> I(0)) ous perme d esimer u modèle VAR. a/ Préseaio du modèle VAR : Le modèle VAR("Vecor AuoRegressive") à k variables (hors cosae) e p reards oé VAR(p) s écri : Y = A 0 + A Y - + A Y A p Y -p + ν y, y, :. y k, = a 0, a 0, :. a 0,k + a, a, a,k a, a, a,k a k, a k, a k,k y,- y,- :. y k,- + a, a, a,k a, a, a,k a k, a k, a k,k y,- y,- :. y k,- + + a p, ap, ap,k a p, ap, ap,k a p k, ap k, ap k,k y,-p y,-p :. y k,-p + ν, ν, :. ν k, Les variables y,, y,,, y k, so saioaires. Les perurbaios ν,, ν,,, ν k, so des bruis blacs de variaces cosaes e o auocorrélées. b/ Tes de causalié au ses de Grager : Soi le modèle VAR(p) pour lequel les variables y e y so saioaires : y, = γ + α y,- + α y,- + + α p y,-p + β y,- + β y,- + + β p y,-p + υ, y, = γ + α y,- + α y,- + + α p y,-p + β y,- + β y,- + + β p y,-p + υ, Le es cosise à poser ces deux hypohèses : 3

24 y, e cause pas y, si l hypohèse H 0 suivae es accepée : β = β = β 3 = = β p = 0 y, e cause pas y, si l hypohèse H 0 suivae es accepée : α = α = α 3 = = α p = 0 O ese ces deux hypohèses à l aide d u es de Fisher classique. O peu faire le es équaio par équaio : H 0 : β = β = β 3 = = β p = 0 e y, = γ + α y,- + α y,- + + α p y,-p + υ, H : au mois u des coefficies β 0 e y cause y,, H 0 : α = α = α 3 = = α p = 0 e y, = γ + β y,- + β y,- + + β p y,-p + υ, H : au mois u des coefficies α 0 e y, cause y, Si ous sommes ameés à acceper les deux hypohèses que y, cause y, e que y, cause y,, o parle de boucle réroacif. c/ Esimaio du modèle VAR(p) : Das le cas du modèle VAR, chacue des équaios peu êre esimée par les MCO, idépedamme les ues des aures (ou par la méhode de vraisemblace). Comme il y a éorméme de coefficies à esimer das u modèle VAR, il es préférable d effecuer u es de causalié ava de chercher à esimer le modèle VAR. O pourra aisi élimier du modèle à esimer les variables qui ierviee pas sur la variable à expliquer. CONCLUSION : Si x, y ~> I(0) e y - x a - b ~> I(0) : o esime y = x a + b + ε ou u modèle VAR e iveau pour plusieurs variables. Si x, y ~> I() e y - x a - b ~> I(0) : o esime u modèle à correcio d erreur ou u modèle VECM pour plusieurs variables. Si x, y ~> I() e y - x a - b ~> I(0) e x, y ~> I(0) avec lie de causalié : o esime la relaio y = x a + b + η ou u modèle VAR e différece première pour plusieurs variables. 4