Corrigé Exercice 1 : IDENTIFICATION DE SYSTÈMES.

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1 TD 7 corrigé - Identification temporelle des SLCI Page 1/5 Corrigé Exercice 1 : IDENTIFICATION DE SYSTÈMES. 1 er graphe. La courbe présente des dépassements. Il s agit donc d une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d un système d ordre. la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 16 la valeur du 1 er dépassement absolu D la valeur de la période Ta,65,,45 s la valeur du temps de réponse tr 5%,6 s le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ) Ec z le facteur d amortissement du système D D1 6,375 ( 37,5%) s 16 par la formule des dépassements relatifs : z lnd lnd par l abaque des dépassements relatifs : D,375 z,3 z 16,8 ln,375 ln,375,3 la pulsation propre non amortie du système par la formule de la pseudo-période (à partir du relevé de T a ) : Ta a 1 z 15 rad / s Ta 1 z, 45 1,3 par l abaque du temps de réponse réduit (à partir du relevé de tr 5% ) : z,3 tr 5% rad / s,6,8 Donc H1( p) Ep ( ) z 1.,3 1 1 p p 1 p p 14 14,8 H ( p) 1,4 p,5 p 1 ème graphe. La courbe ne présente pas de dépassement mais possède une tangente de pente nulle à l origine. Il s agit donc d une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d un système d ordre. la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) 8 la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 16 les instants :, s et 1,6 s où la tangente au point d inflexion coupe l axe des abscisses et l asymptote finale le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ) Ec 16 8 MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 3/11/11

2 TD 7 corrigé - Identification temporelle des SLCI Page /5 Les constantes de temps du système à l aide des instants relevés précédemment 1, s et 1 1,6 s 1,4 s Donc H( p) E( p) (1 1 p) (1 p) H( p) (1, p) (1 1, 4 p) 3 ème graphe. La courbe ne présente pas de dépassement et possède une tangente de pente non nulle à l origine. Il s agit donc d une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d un système d ordre 1. la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) 5 la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 1 l instant,7 s où la réponse atteint,63 s( ) le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ). Ec 1 5 la constante de temps du système à l aide de l instant relevé précédemment. ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l échelon Ce n est pas parce que vous mettez votre four en marche, avec 1h de retard que celui-ci est lent Donc,7,5, s Donc H3( p) E( p) 1. p H 3 ( p) 1,. p 4 ème graphe. la valeur de l amplitude de l échelon Ec la valeur (de l amplitude) de la sortie en régime permanent s( ) l instant, s où la réponse atteint 63% de l amplitude de la sortie en régime permanent, c est-à-dire l instant ou la sortie vaut st ( ) 8, 63 4 La courbe obtenue dans ce cas ne ressemble pas à celles rencontrées jusqu à présent. On peut imaginer qu elle correspond à la réponse d un four dans lequel il règne une température de 8 (malgré une consigne de 1 C) et pour lequel on impose une baisse de température de 5 C. Il ne faut alors pas oublier que ce qui nous intéresse, c est d observer la façon dont réagit le système à cette échelon d amplitude 5 C depuis sa température initiale qui était de 8 C. La courbe ne présente pas de dépassement et possède une tangente de pente non nulle à l origine. Il s agit donc d une courbe qui correspond à la réponse à un échelon d un système d ordre 1. 4 le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ). Ec,8 5 Remarque : on retrouve bien le gain du système avant t=s. On avait une sortie égale à 8 alors que l entrée était de 1. C est logique car il s agissait du même système. la constante de temps du système à l aide de l instant relevé précédemment. ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l échelon Donc,, s Donc H4( p) E( p) 1. p,8 H 4 ( p) 1,. p MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 3/11/11

3 TD 7 corrigé - Identification temporelle des SLCI Page 3/5 Corrigé Exercice : IDENTIFICATION DE SYSTÈMES. Système 1. Question 1 : Identifier le gain statique et la constante de temps. En déduire la fonction de transfert H(p) du système (= modèle de comportement). la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) 4 la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 415 l instant 1,13s où la réponse atteint,63. s( ) le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ). Ec la constante de temps du système à l aide de l instant relevé précédemment. ATTENTION : il faut soustraire le retard du au lancement de l échelon Donc 1,13,7,43 s 415 1,4 4 Donc Hp ( ) E( p) 1. p 1,4 Hp ( ) 1, 43. p Question : Sachant que l expression littérale de la réponse temporelle d un système du 1 er ordre à une t entrée en échelon est s(t).e c 1 e.u(t ), déterminer l expression numérique de s(t). Attention au retard par rapport à l origine Attention, il existe un changement d origine donc : t,7 t,7 Ici : s( t) 1,4.41 e,43. u( t,7) s( t) 4161 e,43. u( t,7) Question 3 : Afin de valider ce modèle de comportement, tracer précisément sa réponse sur le même graphique que la réponse expérimentale S expérimentale S théorique -1,5 1 1,5,5 3 Question 4 : Conclure. Il n était pas très judicieux de modéliser le système par un 1 er ordre Pour mieux épouser la courbe, on aurait pu modéliser ce système par un ème ordre pseudo-périodique. MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 3/11/11

4 TD 7 corrigé - Identification temporelle des SLCI Page 4/5 Système. Question 5 : Identifier les paramètres caractéristiques du système (, z et ). En déduire la fonction de transfert H(p) du système (= modèle de comportement). la valeur de l'entrée en régime permanent e( ) 5 la valeur de la sortie en régime permanent s( ) 4,9 la valeur du 1 er dépassement D1 7, 4,9,3 la valeur de la période Ta 1,59,91,68 s la valeur du temps de réponse tr 5% 1,85,35 1,5 s le gain statique du système à l aide de la valeur finale s( ). Ec z le facteur d amortissement du système D D1,3,47 ( 47%) s 4,9 par la formule des dépassements relatifs : z lnd lnd par l abaque des dépassements relatifs : D,47 z, z 4,9,98 5 ln, 47 ln, 47, la pulsation propre non amortie du système par la formule de la pseudo-période (à partir du relevé de Ta) : Ta a 1z 9,5 rad / s Ta. 1z,68. 1, par l abaque du temps de réponse réduit (à partir du relevé de tr 5% ) : z, tr5% ,7 rad / s 1,5 Donc,98 Hp ( ) Ep ( ) z 1., p p p p 9 9,8 Hp ( ) 1,5. p,1. p Question 6 : Sachant que la réponse temporelle d un système du ème ordre à une entrée en échelon est z.t e s(t) E c. 1 sin 1 z.t.u(t) avec arccos(z ), déterminer 1 z l expression numérique de s(t). Attention au retard par rapport à l origine Attention, il existe un changement d origine donc :,.9.( t,35) e s( t), sin 9. 1,.( t,35) arccos,. u( t,35) 1, MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 3/11/11

5 TD 7 corrigé - Identification temporelle des SLCI Page 5/5 Question 7 : Afin de valider ce modèle de comportement, tracer précisément sa réponse sur le même graphique que la réponse expérimentale. Il faut TOUJOURS placer les points au niveau des dépassements, avant de tracer la courbe!!! S expérimentale S théorique,5 1 1,5,5 3 Question 8 : Conclure. Le modèle du ème ordre semble moyennement correct Pourtant, l'amplitude des oscillations ainsi que la période semblent coïncider. En fait, le problème vient du régime entre,5s<t<,8s, la courbe correspond à une droite!! En effet, si on mesure la demi-période entre le départ et le 1 er dépassement, on trouve,91-,35=,56s, et si on mesure la période entre le 1 er dépassement et le 3 ème, on trouve 1,59-,91=,68s! Le système devait être saturé entre,5s<t<,8s, et ne peut donc être modélisé correctement par un SLCI. (voir TP 5.1 Axe autonome de la plate-forme pour les PCSI). MPSI-PCSI Sciences Industrielles pour l Ingénieur S. Génouël 3/11/11