( e ) x 2 e x 1 = 1. CORRIGÉ PARTIEL Fonction exponentielle. Ch 5. = donc lim x. Exercice 2. e x e2 =. = +. Par produit lim ( 3 x)e x =.

Transcription

1 C 5 CORRIGÉ PARTIEL Fonction eponentielle Eercice e + = e e = e e. En + : + e = 0 (ite de référence), donc + e e = 0. En : e 0 + = donc e =. e > 0, donc e e =. En + : 3 = et e = +. Par produit ( 3 )e = En : On a une F.I. du type " + 0". On développe : ( 3 )e = 3e e. e = 0 donc 3e = 0. Et e = 0 (ite de référence). Donc 3e e = 0. e e = ( e ) e. En : e = 0 donc ( e ) e =. En + : e e = e e e. e + = +, donc e + e = +. On en déduit que e e + e = +. En 0 : e 0 = et la fonction eponentielle est continue donc e = 0 0 La fonction eponentielle est croissante donc 0 e = 0 et 0 + e = 0 +. On en déduit que 0 + e e En : e = 0 donc = et 0 e e e e = +. = 0. On en déduit que e e =. En + : e e = e. + e = 0, donc + e =. On en déduit que e + e = +.

2 En l'infini : En 0 + : ± = 0 0 e = 0 + = + + e = + par composition ± donc 0 + (ites obtenues par comparaison) e =. e = +. En 0 : 0 = e = 0 donc 0 e = 0 En 0 : e e 0 Donc 0 En + : e e + ( ) ( e + ) = e = e ( e + ). = (ite du tau d'accroissement de la fonction ep en 0), et e + =. 0 e ( e + ) =. = e = e e. e = +, e = + et = 0 donc e = +. Eercice 3 ) a ) Calculs de dérivées : f = e ; f = e + e = e = e g = ( )e ; g = e + ( )e = e + = cos.e sin : on a : ( e ) sin = ( sin ) e sin = cos e sin On a alors : u = e = e = ( cos ) e sin + cos ( e ) sin = sin e sin + cos cos e sin + + ; on a : + = + On a alors : u = + + e = = ( +) ( +) e b ) Variations de la fonction f : la fonction f est définie sur! + = sin e sin + cos e sin = sin e sin + sin cos e sin = sin e sin cos Étudier les variations de f revient à étudier le signe de sa dérivée : on a f = e!, e > 0, donc f a le signe de. On réalise le tableau de signe suivant :

3 f On obtient le tableau de variations suivant : 0 + f f e = e f = e Détermination des ites au bornes de l ensemble de définition : Quand! 0 d 'où par composition, e par produit, quand 0, e Quand +! 0 d 'où par composition, e par produit, quand 0, e + Quand 0! d 'où par composition, e 0 d 'où quand, e 0 0 Quand 0 +! + d 'où par composition, e + F.I. quand +, e f = f = + + f ( ) = 0 0 Levons l indétermination, en posant : = ; e s écrit alors e. Quand 0 +, on a +, et par croissance comparée, e Variations de la fonction g : la fonction g est définie et dérivable sur!. Étudions le signe de sa dérivée. +. Ainsi f ( ) = e = +.

4 !, e > 0, donc g a le signe de. On obtient alors le tableau de variations suivant : g( 0) = ( 0 )e 0 = e g g e Déterminons les ites de la fonction g au bornes de son ensemble de définition : Quand! par composition, e 0 quand, e 0 F.I. par produit, ( ) Levons l indétermination et posons = ; ( )e s écrit alors e. Quand, e 0 ( croissances comparées) par produit, e 0 ; ( e ) = g = 0 Quand +! + par composition, e + quand +, e + + par produit, + par produit, g + = + ) Soit la fonction f définie sur 0;+ par f = e. a ) La fonction racine carrée est dérivable sur 0;+. Il en résulte que pour tout > 0, la fonction! e est dérivable. Ainsi, la fonction f est dérivable sur 0 ; + comme produit de fonctions dérivables sur cet intervalle. b ) Pour > 0, f = e = e + e = e +. c ) Prouvons que f est dérivable en 0 : calculons d abord le tau d accroissement de la fonction f en 0 : f ( 0) f 0 + = e 0 = e ; on a alors : 0 + Quand 0 +! 0+ par composition, Quand 0 +, e 3) Soit la fonction g définie sur 0;+ par g f ( 0) f 0 + ( e ) = = 0 + = e f 0 si > 0 et g 0 ( e ) 0 + = = 0. a ) La fonction g s écrit comme la composée de la fonction u définie par u = et de la fonction eponentielle. La fonction g est donc continue et dérivable sur 0;+ comme composée de fonctions continues et dérivables sur cet intervalle.

5 b ) Déterminons g ( ) : 0 + Quand 0 +! Quand e 0 On observe alors que : 0 + g par composée, g ( ) = = 0 = g( 0), la fonction g est donc continue en 0. c ) Prouvons que g est dérivable en 0 : calculons d abord le tau d accroissement de la fonction en 0 : g( 0) g 0 + = e g( 0) 0 = g 0 + e ; on a alors : 0 Quand 0! par composée, e 0 quand, e 0 F.I + = 0 e Levons l indétermination, posons =, e s écrit e. Quand 0 +, e 0 par produit, e 0 Ainsi, 0 e = ( e ) = 0 = g 0. Eercice 4 Montrons que pour tout réel, + e 4 + e = e ( + e ) 4 e + e = e + e 4 + e = e + e 3 e + e : + e e 4 e + e e = e + e +4 e + e = e + e 3 + e + e CQFD Résolution d équations et inéquations dans! : 3e = 3e + = 3 e + =, absurde (pour tout réel, e + > 0 ) 0 e + e e e e + e ( +!, e + > 0) + " $ # %$ 0 P On observe que est une racine évidente de P P = = = d où =. a le signe de «a» donc positif à l etérieur des racines. P On obtient : e 3e 4 = 0 e S = ; ; + S =. Notons P le produit des racines : 3e 4 = 0. Posons = e, l équation s écrit alors :! # " 3 $ 4 # = 0 On observe que est une racine évidente de Q( ). Notons P le produit des racines. Q

6 On a P = = = 4 d où = 4. On résout alors : e = absurde, pour tout réel, e > 0 e = 4 e = e ln4 = ln4 S = { ln4} Eercice 5 On considère la fonction définie sur! par : f f 0 = e = e si 0. On note C la courbe représentative de f dans un repère O ;! i ;! j Partie A continuité et ites ep( 0) e ep = ep( 0) e ep D où = Or la fonction eponentielle est dérivable sur!. = e p ( 0) = ep( 0) =. CQFD. Pour 0, on a : f = : Déterminons f 0 Quand 0 f = e e e e e donc par inverse, e par produit, e f 0 = f ( 0) = Quand e 0 ( croissances comparées) e 0 par somme, par quotient, f e = 0. On en déduit que la courbe C admet l ae des abscisses pour asymptote. Pour 0, f = e e = e e e e = e 0 e 0 e = e = e. (Hors programme) Montrons que la droite d'équation y = est asymptote à C en + : Quand + + e + donc par inverse, e = e 0 par somme, e par quotient, f = + + Partie B variations Montrons que pour tout!, e + et que l'égalité n'a lieu que pour = 0. Soit g la fonction définie sur! par g g est dérivable sur! et pour tout réel, g g > 0 e > 0 e > e > e 0 > 0 = 0 e = 0 e = e = e 0 = 0. et g = e. Étudions les variations de la fonction g : = e.

7 Ainsi, g cange de signe en = 0 et s annule en = 0. Il en résulte que la fonction g atteint son minimum en = 0. D où, pour tout réel, g g( 0) cad g e 0 0 soit encore g 0. Conclusion :!, e > 0 cad e > + et e = + ssi = 0. CQFD Sur! { 0}, la fonction f est définie par : f = e e. la fonction eponentielle est dérivable sur!, ainsi la fonction qui à tout réel associe e est dérivable comme produit de fonctions dérivables ; Sur! 0 { } la fonction qui à tout réel associe e est dérivable et ne s annule pas sur cet intervalle., { } { }, f = e ( e ) ( e ) ( e ) ( e ) ( = e + e ) ( e ) e ( e ) ( e ) ( = e +) ( e ) e ( e ). ( e ) On en déduit que la fonction f est dérivable sur! 0! 0 = e e + e e ( e ) ( ) ( e ) = e e + Variations de f : étudions le signe de f 0, on a e > 0, e > + cad e + La fonction f est donc strictement croissante sur! 0 comme quotient de fonctions dérivables sur cet intervalle. > 0 et ( e ) > 0. Il en résulte que f > 0. { }. Déterminons les ites de la fonction f au bornes de l intervalle d étude : = 0 et On a vu précédemment que : f f + Nous pouvons établir le tableau de variations qui suit : = + et 0 f = 0 + f f 0 Montrons que l'équation f = e admet une unique solution α dont on donnera une valeur approcée au centième : Pour tout réel < 0, on observe que f <. Donc l équation f = e n a aucune solution dans ; 0. Sur 0 ; +, la fonction f est continue car dérivable ; elle est aussi strictement croissante sur cet intervalle.

8 On a aussi : f 0 + f + = = + la fonction f réalise une bijection de 0 ; + vers ; +. De plus, e ; + alors d après le téorème des valeurs intermédiaires, l équation f = e admet une unique solution α 0 ; +. Partie C une famille de droites Soit un réel non nul et la droite D = M M Pour tout! { 0}, f ( ) = e On a alors : f ( ) f Pour 0, y y M M M M où M ( ; f ) et M ( ; f ( ) ). = e e = e e e e = e e e = e e = f ( ) = f = f f ( ) + e + e = e0 = = e 0 e e e = e e = =. = e. On observe que toutes les droites D ont le même coefficient directeur égal à. Elles sont donc parallèles.