Méthodes de calcul approché d une intégrale. Majoration de l erreur

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1 37 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Si I = ], b[ est u itervlle réel vec < b +, o ote C I l espce vectoriel réel des foctios défiies sur I à vleurs réelles et cotiues. Pour toute foctio f borée sur I, o ote : f = sup f t. x I O rppelle qu ue foctio f cotiue sur u segmet [, b] est borée et tteit ses bores. O ote R [x] l espce vectoriel sur R des foctios polyomiles à coefficiets réels. Cet espce est mui de s bse coique e k k N défiie pr : k N, x R, e k x = x k. Pour tout etier turel, o ote R [x] le sous-espce vectoriel de R [x] formé des foctios polyomiles de degré u plus égl à Formules de qudrture Défiitio 37.1 O ppelle formule ou méthode de qudrture à + 1 poits sur C I l doée d ue forme liéire ϕ défiie sur C I pr : f C I, ϕ f = λ,k f x,k k= où est u etier turel o ul, x,k k ue suite de poits deux à deux disticts ds l itervlle I et λ,k k ue suite de réels o tous uls. Si π C I, R +, est ue foctio poids sur I et f ue foctio cotiue sur I telle que l itégrle f x π x dx soit covergete, o cherche des formules de qudrture, vec des coefficiets x,k et λ,k idépedts de f, permettt d pproximer ue telle itégrle. O écrir lors : f x π x dx ϕ f = λ,k f x,k. k= 941

2 94 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Pour chque formule de qudrture il ser importt de svoir estimer l erreur de qudrture : E f = f x π x dx ϕ f. Ds le cs où cette erreur est ulle, o dir que l formule de qudrture est excte sur f. Défiitio 37. Ue formule de qudrture à + 1 poits sur C I est dite d ordre p si elle est excte sur R p [x] et iexcte pour u mois u polyôme de R p+1 [x]. Pour vérifier qu ue formule de qudrture est d ordre p, il suffit, pr liérité de ϕ et de l itégrle, de vérifier qu elle est excte sur ue bse de R p [x] pr exemple l bse coique et iexcte pour u polyôme de degré p + 1 pr exemple le polyôme x p+1. Exercice 37.1 Motrer que l ordre mximum d ue formule de qudrture à + 1 poits est + 1. Solutio 37.1 E cosidért le polyôme P de degré + défii pr P x = x x,k, o : quel que soiet les coefficiets λ,k. P x π x dx > = λ,k P x,k. Nous verros vec les méthodes de Guss que l o peut trouver des poits x,k et des coefficiets λ,k permettt d tteidre cet ordre mximum. O dit qu ue méthode de qudrture défiie pr ue suite de formes liéires ϕ N est covergete si pour toute foctio f C I l suite réelle ϕ f N coverge vers ϕ f. k= k= 37. L méthode des rectgles à guche Pour I = [, b] itervlle fermé boré, e pret les poits x,k équidistts ds I, c està-dire : x,k = + k b k et les coefficiets λ,k tous égux à b pour k compris etre et 1, le coefficiet λ, étt ul, o obtiet l formule des rectgles à guche : R f = b 1 f x,k k= et le cours sur l itégrle de Riem ous dit que : f C I, lim R f = + L méthode des rectgles à guche est doc covergete. f x dx.

3 L méthode des rectgles à guche 943 Fig Méthode du rectgle à guche Cette méthode est d ordre. E effet il est clir que R f = et pour f x = x sur [, 1], o pour tout etier 1 : R f = 1 1 k= k = + 1 = f x dx pour f costte xdx = 1. De mière plus géérle, e choisisst pour tout etier k compris etre et 1 u réel ξ,k ds l itervlle [x,k, x,k+1 ], les sommes de Riem : ϕ f = b 1 f ξ,k défiisset ue méthode de qudrture sur C I qui est excte sur l esemble des foctios costtes et pour toute foctio f ds C I o : lim ϕ f = + k= f x dx. L méthode des rectgles e u poit quelcoque de [x,k, x,k+1 ] est doc covergete. Pour f mootoe, o peut fcilemet obteir u ecdremet de l erreur d pproximtio pour l méthode des rectgles à guche. Théorème 37.1 Avec les ottios qui précèdet, o pour f mootoe sur [, b] : f x dx R f b f b f Démostrtio. Pr exemple, pour f croisste, o pour k compris etre et 1 : ce qui etrîe e itégrt sur [x,k, x,k+1 ] : x [x,k, x,k+1 ], f x,k f x f x,k+1 b f x,k,k+1 x,k f x dx b f x,k+1

4 944 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur et e effectut l somme : b 1 f x,k k= f x dx b f x,k soit : f x dx R f b f b f Ds le cs où f est décroisste, f est croisste et R f = R f. O doc : ou ecore : f x dx R f b R f f x dx b f b + f f f b. Remrque 37.1 Il est ps écessire de supposer que f est cotiue ds le théorème précédet puisque ue foctio mootoe est Riem-itégrble. de Pour f de clsse C 1 sur [, b], o peut doer ue mjortio de l erreur d pproximtio f x dx pr l méthode des rectgles à guche. Nous utiliseros à plusieurs reprises le lemme suivt, coséquece du théorème des vleurs itermédiires. Lemme 37.1 Si ϕ est ue foctio cotiue sur [, b] et x k 1 k ue suite de poits de [, b] vec, il existe lors u réel c ds [, b] tel que : 1 ϕ x k = ϕ c Démostrtio. E désigt pr m [resp. M] l bore iférieure [resp. supérieure] de ϕ sur [, b], o : m 1 1 ϕ x k M et le théorème des vleurs itermédiires ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 ϕ c. k= 1 ϕ x k = Lemme 37. Soit f ue foctio de clsse C 1 sur [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : f x dx f b = f c b.

5 L méthode des rectgles à guche 945 Démostrtio. E désigt pr F : x f t dt l primitive de f ulle e, cette foctio est de clsse C sur [, b] et le théorème de Tylor-Lgrge ous dit qu il existe u réel c ], b[ tel que : F b = f x dx = F + F b + F c = f b + f c b b O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse du rectgle à guche : b f x dx f b f b O peut ussi utiliser l iéglité des ccroissemets fiis pour écrire que : x [, b], f x f f x puis : b f x dx f b = f x f dx f x f dx f x dx = f Pour ce qui est de l méthode composée des rectgles, o le résultt suivt. b Théorème 37. Soit f ue foctio de clsse C 1 sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : f x dx R f = b f c f x dx R f f b Démostrtio. O : 1 f x dx R f =,k+1 k= x,k 1,k+1 = k= 1 = k= où chque c,k est ds ]x,k, x,k+1 [. f x dx b 1 f x,k k= x,k f x dx x,k+1 x,k f x,k f c,k x,k+1 x,k = b 1 f c,k k=

6 946 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Le lemme 37.1 ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 doc : et : f x dx R f = Avec ce théorème, o retrouve le fit que : b f c = f x dx R f f b lim R f = + f x dx. k= f c,k = f c. O b f c Pour ue foctio f suffismmet dérivble, o peut doer, e utilist l formule de Tylor- Lgrge, u développemet symptotique de l erreur d pproximtio ds l méthode des rectgles à guche. Pr exemple, pour f C 3 [, b], R o le résultt suivt. Lemme 37.3 Pour toute foctio f C 3 [, b], R, il existe des réel c 1, c, c 3 ds [, b] tels que : F b = f b + b b f b f f b f 1 b 4 + f 3 c 1 f 3 c + f 3 c 3 4 Démostrtio. E désigt pr F : x f t dt l primitive de f ulle e, cette foctio est de clsse C 4 sur [, b] et le théorème de Tylor-Lgrge ous dit qu il existe u réel c 1 ], b[ tel que : F b = f x dx = F + F b + F = f b + f b + f 6 b + F 3 6 b 3 + f 3 c 1 4 O ussi, vec l formule de Tylor-Lgrge pour f : b 3 + F 4 c 4 b b ce qui doe : f b = f + f b + f b + f 3 c 6 b 3 f b = b f b f f 4 b 3 f 3 c 1 b 4

7 L méthode des rectgles à guche 947 et e reportt ds 37.1, o obtiet : F b = f b + b + f b 3 + f 3 c = f b + b De même, vec : o obtiet : et : f 1 f b f f 4 b 4 f b f f 1 b 3 f 3 c 1 b 3 + f b = f + f b + f 3 c 3 b 3 = b 1 b 4 4 b f b f f 3 c 3 4 b 4 f 3 c 1 f 3 c b 4 F b = f b + b b f b f f b f 1 b 4 + f 3 c 1 f 3 c + f 3 c 3 4 Théorème 37.3 Pour toute foctio f C 3 [, b], R o le développemet symptotique : R f = f x dx b f b f + b 1 Démostrtio. O, pour tout k compris etre et 1 : 1 f b f + O. 3,k+1 x,k f x dx = f x,k x,k+1 x,k + x,k+1 x,k f x,k+1 f x,k x,k+1 x,k f x,k+1 f x,k 1 + x,k+1 x,k 4 f 3 c 1,k f 3 c,k + f 3 c 3,k 4 = b f x,k + b f x,k+1 f x,k b f x 1,k+1 f x,k b 4 + f 3 c 4 4 1,k f 3 c,k + f 3 c 3,k

8 948 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur et : 1 f x dx = k= = b +,k+1 x,k 1 b 1 b k= 1 f x dx f x,k + b 1 f x,k+1 f x,k k= f x,k+1 f x,k k= 1 f 3 c 1,k f 3 c,k + f 3 c 3,k soit e désigt pr c, d et e des réels ds [, b] tels que 1 1 k= f 3 c,k = f 3 d, et 1 k= k= f 3 c 3,k = f 3 e : k= f 3 c 1,k = f 3 c, vec : f x dx = R f + b + f b f b 1 b f 3 c f 3 d + f 3 e f 3 c f 3 d + f 3 e 3 f 3 f b f ce qui doe bie le résultt océ. Exemple 37.1 Pour f t = t Exemple 37. Pour f t = 1 α 1 k= 1 k= 1 k sur [, 1], o obtiet : 1 = l O t α sur [, 1], vec α >, α 1 : 1 k = 1 1 α 1 α α α O. α 1 α L méthode des poits milieux Cette méthode cosiste à utiliser les sommes de Riem vec le poit milieu ξ,k = x,k + x,k+1. O utilise doc l opérteur M défii sur C [, b] pr : M f = b 1 x,k + x,k+1 f k=.

9 L méthode des poits milieux 949 L méthode de bse, qui correspod à = 1, est défiie pr : + b f x dx M 1 f = b f. Si f est ue foctio ffie, elle peut s écrire f x = α x + β et le chgemet de vrible x = + b + b t ous doe : f x dx = α x + β dx = α b b t β dt et : α b = + β + b = b f 1 b dt = 1 x,k + x,k+1 1 M f = x,k+1 x,k f = k= α b + β k=,k+1 b x,k f x dx = Pour f x = x sur [, 1], o pour tout etier 1 : M f = 1 1 k + 1 = 1 1 k + k k= k= = = x dx = 1 3. f x dx. L méthode est doc d ordre 1. Ds le cs ou f est ue foctio dérivble, l tgete u grphe de f e + b équtio : et vec O doc : + b y = h x = f x + b dx =, o déduit que : x + b + f + b h x dx = b f M 1 f = h x dx.. + b pour Ds le cs où f est ue foctio dérivble covexe, so grphe est toujours u dessus des tgetes, o doc f x h x pour tout x [, b] et : + b f x dx h x dx = b f. Pour ce qui est d ue estimtio de l erreur d pproximtio, ds le cs d ue foctio de clsse C, o s itéresse d bord à l méthode de bse.

10 95 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Fig. 37. Méthode du poit milieu Lemme 37.4 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : + b f x dx b f = b 3 f c 4 Démostrtio. O se rmèe à l itervlle [ 1, 1] e utilist le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1], ce qui coduit à itroduire l foctio g défiie sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t. L erreur ds l méthode du poit milieu de bse pour f sur [, b] est : + b E f = f x dx b f = b g t dt g 1 O désige pr G : x défiie sur [, 1] pr : ϕ x = g t dt l primitive sur [, 1] de g ulle e et pr ϕ l foctio x g t dt xg = G x G x xg erreur ds l méthode du poit milieu sur [ x, x]. L foctio G est de clsse C 3 sur [, 1] et l formule de Tylor-Lgrge ous doe pour x [ 1, 1] \ {} : G x = G + G x + G x + G3 c x x 3 6 = g x + g x + g c x x 3 6

11 L méthode des poits milieux 951 vec < c x < x et e coséquece : ϕ x = G x G x xg = g c x + g c x x 3. 6 vec x < c x <. Le lemme 37.1 ous dit lors qu il existe d x ds [ x, x] ] 1, 1[ tel que g c x + g c x = g d x. O doc : et : ϕ x = g d x x 3 3 E f = b ϕ 1 = b g d 1 3 = b b f c b 3 = f c 3 4 vec c = + b + b d 1 ], b[. O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse du poit milieu pour ue foctio f de clsse C sur [, b] : + b f x dx b f f b Exercice 37. Soit f de clsse C sur [, b]. Motrer l iéglité 37.3 e utilist l formule de Tylor-Lgrge à l ordre etre x et + b, pour tout x [, b]. Solutio 37. Soit h l foctio défiie sur [, b] pr : + b h x = f x + b + b + f équtio de l tgete u poit milieu. Pour f de clsse C sur [, b], l formule de Tylor-Lgrge ous permet d écrire : + b + b f x = f + f x + b + 1 = h x + 1 x + b f c où c est compris etre x et + b. Il e résulte que : + b f x dx b f = f f 4 f x h x dx x + b b 3 x + b f c dx = f 3 b 3

12 95 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt. Théorème 37.4 Soit f ue foctio de clsse C sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : f x dx M f = f x dx M f b 3 4 f c b 3 4 f Démostrtio. O : b 1,k+1 x,k + x,k+1 f x dx M f = f x dx x,k+1 x,k f k= 1 x,k x,k+1 x,k 3 = f c,k = 4 k= b f c,k où chque c,k est ds ]x,k, x,k+1 [. Le lemme 37.1 ous dit qu il existe c ds [, b] tel que 1 f c,k = f c. O doc : et : f x dx M f = Là ecore, o retrouve le fit que : f x dx M f lim M f = + Exercice 37.3 Motrer que pour 1, o : Solutio 37.3 O : et : R f = b = b = b 1 k= 1 b f c = b 3 4 f x dx. M f = R f R f k= k= b 3 4 f c f f x,k = b 1 f + k b k= f + j b 1 + f j= j= 1 x,j + x,j+1 f x,j + f 1 j= R f = b 1 j= j= f x,j + b = R f + M f. + j + 1 b 1 x,j + x,j+1 f j=

13 Les méthodes de Newto-Cotes 953 L exercice précédet ous dit qu o ccéléré l covergece de l suite R f 1 e utilist l suite M f 1 formée des moyees de R f et R f vec les poids et 1 respectivemet Les méthodes de Newto-Cotes Ces méthodes sot bsées sur l iterpoltio de Lgrge. O se plce ici ds le cs où I = [, b] est itervlle fermé boré, o se doe u etier p 1 et o lui ssocie les poits x p,k défiis pr : x p,k = + k b p k p. Théorème 37.5 Pour tout etier turel o ul p, il existe des coefficiets réels uiques µ p,k k p tels que pour toute foctio polyomile P de degré u plus égl à p o it : Ces coefficiets sot doés pr : P x dx = b p µ p,k = 1p k Cp k p! p p µ p,k P x p,k k= p t j dt k p j= j k Démostrtio. O désige pr L p,k k p l bse de Lgrge de R p [x] défiie pr : L p,k x = p x x p,j x p,k x p,j j= j k Pr liérité, l propriété 37.4 est vérifiée pour tout P ds R p [x] si, et seulemet si, elle est vérifiée pour tous les L p,k, ce qui équivut à : L p,k x dx = b p µ p,k pour tout etier k compris etre et p. O doc isi prouvé l existece et l uicité des coefficiets µ p,k. Le chgemet de vrible x = + t b ous doe : vec : µ p,k = p L p,k + t b = p L p,k + t b dt p p t j k j = j= j k = 1p k p! C k p 1p k k! p k! p t j j= j k p t j j= j k

14 954 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Remrque 37. Les coefficiets µ p,k k p e dépedet que de p et de k, mis ps de l itervlle I. Remrque 37.3 O peut ussi détermier les coefficiets µ p,k k p e utilist l bse x i de R p [x], ce qui fit pprître ces coefficiets comme solutios du système i p liéire : Soit : p k= µ p,k x p,k i = p b p k= k i µ p,k = pi+1 i + 1 x i dx i p L mtrice de ce système est l mtrice de type Vdermode : A = p p p p p i p 37.5 de détermit p 1 p 1 det A =.... = p! p p p p 1 p p p 1 p p = p! i j = p! i 1! = i!. 1 j<i p i= i= Ce détermit étt o ul, o retrouve l existece et l uicité des coefficiets µ p,k. E résolvt ces systèmes o obtiet les coefficiets µ p,k. Si f est ue foctio cotiue sur I, e ott P p le polyôme d iterpoltio de Lgrge ssocié à f et ux poits x p,k k p, o : P p x dx = b p p k= µ p,k P x p,k = b p p µ p,k f x p,k. k= L méthode de Newto-Cotes correspodte cosiste à remplcer f x dx pr P p x dx, ce qui reviet à utiliser l méthode de qudrture décrite pr l foctioelle ϕ p défiies pr : f C I, ϕ p f = b p p µ p,k f x p,k. k= Théorème 37.6 Avec les ottios qui précèdet, les coefficiets µ p,k k sot des ombres rtioels et o : µ p,p k = µ p,k k p

15 Les méthodes de Newto-Cotes 955 Démostrtio. Pour tout k compris etre et p, le polyôme π p,k défii pr : p π p,k t = p t j j= j k est à coefficiets etiers, doc π p,k t dt est u ombre rtioel et il e est de même de µ p,k. O peut ussi dire que les µ p,k sot rtioels comme solutios du système liéire 37.5 qui est à coefficiets rtioels. E ott π p t = p t j, le chgemet d idice k = p j ous doe : j= π p p t = p p p t j = 1 p+1 t p j j= j= p = 1 p+1 t k = 1 +1 π p t, k= et e écrivt que π p,k t = π p t, o obtiet : t k π p,k t = π p p t t p k = π p t 1p t p k = 1 p π p,p k t. Le chgemet de vrible t = p u ous doe lors : et tet compte de Cp p k p. p p π p,k t dt = 1 p π p,p k u du = C k p, o e déduit que µ p,p k = µ p,k pour tout k compris etre et Remrque 37.4 Les formules de Newto-Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p [x], elles sot doc d ordre u mois égl à p. Exercice 37.4 Motrer que pour tout etier turel o ul p pir, les formules de Newto- Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p+1 [x]. Solutio 37.4 E effectut u chgemet de vrible o se rmèe à l itervlle I = [ 1, 1]. O sit déjà que les formules de Newto-Cotes à p + 1 poits sot exctes sur R p [x]. Soit p = q vec q o ul. L foctio x p+1 étt impir, o : D utre prt, vec : µ p,p k = µ p,k 1 x p+1 dx =. x p,p k = 1 + q k 1 q = 1 k q = x p,k

16 956 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur pour k compris etre et q 1, x p,q = et p + 1 impir, o déduit que : q 1 q 1 p µ p,k x p+1 p,k = µ p,k x p+1 p,k + µ p k,k x p+1 p k,k =. k= L formule de qudrture correspodte est doc excte sur R p+1 [x]. k= Remrque 37.5 O peut motrer que les formules de Newto-Cotes à p+1 poits sot d ordre p pour p impir et d ordre p + 1 pour p pir voir [78]. Pour ce qui est de l erreur d pproximtio, o peut motrer le résultt suivt voir [78], où π p t = p t j. j= Théorème 37.7 Soiet f ue foctio de clsse C p+ sur I = [, b] et E p f = f x dx b p µ p,k f x p,k p l erreur de qudrture ds l méthode de Newto-Cotes à p + 1 poits ds I. Si p est pir, il existe lors u réel ξ ds [, b] tel que : p+3 b f p+ ξ p E p f = tπ p t dt. p +! k= k= Si p est impir, il existe lors u réel ξ ds [, b] tel que : p+ b f p+1 ξ E p f = p p + 1! p π p t dt. Les méthodes que ous veos de décrire sot les méthodes de Newto-Cotes de bse. E prtique, o utilise les formules de Newto-Cotes composées qui cosistet à se fixer u etier turel o ul p égl ds l prtique à 1,, 4 ou 6 et pour tout etier turel o ul o utilise ue formule de Newto-Cotes d ordre p sur chcu des itervlles [x,k, x,k+1 ] pour k compris etre et 1, où x,k = + k b. Ces formules sot décrites pr les foctioelles ϕ,p défiies sur C I pr : E écrivt : ϕ,p f = ϕ,p f = 1 p j= k= µ p,j p b p 1 k= p µ p,j f j= x,k + j b 1 = p b f x,k + j b = 1 p p k= ϕ,p,k f p µ p,j S,p,j f et e remrqut que pour tout etier j compris etre et p, S,p,j f est ue somme de Riem de f sur [, b], o : et vec p j= µ p,j = p, o déduit que : lim S,p,j f = + f C I, lim ϕ,p f = + f x dx j= f x dx. Les méthodes de Newto-Cotes composées sot doc covergetes.

17 L méthode des trpèzes L méthode des trpèzes O coserve les ottios du prgrphe précédet. Pour p = 1, o x 1, =, x 1,1 = b et : µ 1, = µ 1,1 = tdt = 1. L formule de qudrture de bse correspodte est l formule du trpèze : f x dx b f + f b. Cette formule est excte pour les polyômes de degré 1 mis ps pour x, elle est doc d ordre 1. L méthode composée est l méthode des trpèzes défiie pr : T f = b = b 1 f x,k + f x,k+1 k= f + f b 1 + f x,k où o oté x,k = + k b pour tout k compris etre et. Ue estimtio de l erreur d pproximtio ds l méthode de bse du trpèze est doée pr le lemme qui suit. Lemme 37.5 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : f x dx b f + f b = b 3 f c 1 Démostrtio. Ue itégrtio pr prties ous doe ue expressio de l erreur pour f de clsse C 1 sur [, b] : x + b [ f x dx = x + b ] b f x f x dx = b f + f b f x dx Ds le cs où f est de clsse C sur [, b], cette itégrtio pr prties peut se fire ussi comme suit : x + b [ f x dx = f x 1 x + b ] b b 1 b x + b b f x dx = 1 b b x + b f x dx

18 958 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur vec : b x + b b = x + b b + x + b = b x x et e coséquece : b f + f b f x dx = 1 b x x f x dx. Comme sur l itervlle [, b], o b x x, o déduit du théorème de l moyee qu il existe c [, b] tel que : et : b x x f x dx = f c f x dx b b x x dx = f c f + f b = b 3 f c 1 b 3 6 O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse du trpèze pour ue foctio f de clsse C sur [, b] : f x dx b f + f b f b 3 1 Avec l exercice qui suit, o propose ue utre démostrtio du lemme précédet. Exercice Soit h ue foctio de clsse C sur [, 1] telle que h =. Motrer que : h t dt xh x = x t h t dt. b Motrer que pour tout x ], 1] il existe u réel c x [, 1] tel que : h t dt xh x = h c x x Soit f ue foctio à vleurs réelles défiie sur u itervlle [, b] et de clsse C. Déduire de ce qui précède ue expressio de l erreur de qudrture ds l méthode du trpèze. Solutio L formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre 1 ous permet d écrire : h x = h + h x + = h + x t h t dt. x t h t dt

19 L méthode des trpèzes 959 De même, l formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre pour l primitive de h ulle e, H : x h t dt qui est de clsse C 3 ous doe : H x = H + H x + H x x t + H t dt = h x + h x x t x + h t dt x t = h x + h t dt. O e déduit lors que : h t dt xh x = H x xh x = = x t h t dt x x t h t dt. x t h t dt b Pour x ], 1], l foctio t x t étt à vleurs positives sur [, x], le théorème de l moyee ous dit qu il existe c x [, x] tel que : h t dt xh x = h c x x t dt = h c x x Le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1] ous rmèe à l itervlle [ 1, 1]. E défiisst l foctio g sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t, l erreur ds l méthode du trpèze pour f sur [, b] s écrit : E f = f x dx b f + f b = b g t dt g 1 + g 1. 1 E désigt pr h l foctio défiie sur [ 1, 1] pr h t = g t + g t, o : E f = b h x dx h 1, l foctio h étt de clsse C sur [ 1, 1] vec h = g g = et l questio précédete ous dit qu il existe u réel c 1 ds [, 1] tel que : E f = b h c 3 = b g c 1 + g c 1. 3

20 96 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Le lemme 37.1 ous dit qu il existe d 1 ds [, 1] tel que g c 1 + g c 1 = g d 1. O doc : E f = b b 3 3 g d 1 = f c 1 vec c = + b + b d 1 ds [, b]. Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt. Théorème 37.8 Soit f ue foctio de clsse C sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : b 3 f x dx T f = f c 1 f x dx T f b 3 1 f Démostrtio. O : b 1,k+1 f x dx T f = k= 1 x,k x,k+1 x,k 3 = 1 k= f x dx x,k+1 x,k f b 3 1 c,k = 1 3 f x,k + f x,k+1 k= f c,k où chque c,k est ds [x,k, x,k+1 ]. Le lemme 37.1 ous dit qu il existe c ds [, b] tel que 1 f c,k = f c. O doc : et : k= b 3 f x dx T f = f b 3 c 1 3 = f c 1 De ce théorème, o déduit que : f x dx T f lim T f = + Exercice 37.6 Motrer que pour 1, o : 1 b 3 1 f x dx. T f = R f + R f où R f = b f x,k+1 est ue pproximtio de k= des rectgles à droite. f f x dx pr l méthode composée

21 L méthode des trpèzes 961 Solutio 37.6 O : T f = b 1 f x,k + f x,k+1 k= = R f + R f O doc ccéléré l covergece des suites R f 1 R f 1 e utilist l suite T f 1 formée des moyees de R f et R f vec les poids 1 et 1 respectivemet. Exercice 37.7 Motrer que pour 1, o : M f = T f T f E déduire ue méthode de progrmmtio du clcul des termes de l suite T p p où le clcul de T p+1 exploite celui de T p méthode dichotomique des trpèzes. Solutio 37.7 Pour 1 o : T f = b f + f b 1 + E remrqut que pour tout j compris etre et 1 o : o déduit que : T f = b { x,j = x,j x,j+1 = x,j + b f + f b 1 + = T f + M f. L formule précédete pour = p s écrit : et à l étpe p + 1 il suffit de clculer : M p = b p j= T p+1 = T p + M p p 1 k= f k= = m,j f x,k 1 f x,j + f m,j j= x p,k + b. p+1.

22 96 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Ue itértio de l méthode peut lors se progrmmer comme suit. Procédure Trp_Dicho Etrée f : Foctio,, b : Réel ; p : Etier ; Etrée_Sortie : Etier ; T : Réel ; Début Si p = Alors Début T = b f + f b ; = 1 ; Fi Sio Début h = b ; x = + h ; M = ; Pour j llt de à 1 Fire Début M = M + f x ; x = x + h ; Fi ; M = h M ; T = T + M ; = ; Fi ; Fi ; L procédure d itégrtio est lors l suivte où ε > est u réel doé et pmx u etier doé. Procédure It_Trp_Dicho Etrée f : Foctio ;, b : Réel ; Etrée_Sortie T : Réel ; Début p = ; T 1 = 1 38 ; Stop = F ux ; Tt que Stop = F ux Fire Début Trp_Dichof,, b, p,, T ; Stop = p = pmx ou T T 1 < ε ; T 1 = T ; p = p + 1 ; Fi ; Fi ; Exercice 37.8 Doer ue suite d pproximtios rtioelles de l et π e utilist les 4 méthodes composées des trpèzes. Doer ue expressio de l erreur d pproximtio. Solutio 37.8 O pplique, pour tout etier 1, l méthode composée des trpèzes à l foctio f : t 1 sur l itervlle [, 1] découpé e itervlles égux, ce qui doe : 1 + t l = dt 1 + t u = k +.

23 L méthode des trpèzes 963 Ue expressio de l erreur d pproximtio est doée pr : l u f = Nous verros plus loi que l formule d Euler-Mcluri ous doe le développemet symptotique : l u = b f 1 f 1 b 4 4 f 4 ξ 1 4 = ξ 5, vec ξ [, 1]. L suite v 1 défiie pr : coverge vers l plus vite que v 1. Pour = 1, o : v = k + u , v , l Pour π 1, o procède de même vec l foctio f : t sur l itervlle [, 1] t Exercice 37.9 Vérifier que, pour, l formule des trpèzes composées sur [, π] est excte pour l foctio cos. Qu e est-il pour l foctio x si x sur [, π]. Solutio 37.9 L formule composée des trpèzes pour l foctio cos sur [, π]s écrit : où : Pour = 1, o : et pour, o : 1 k= k= = π cos t dt τ, τ = π cos + cos π 1 + = π 1 cos k π. cos k π 1 = R L formule est doc excte pour tout. Pour f x = si x, o T = π et : π k= si x dx =, τ f = π τ 1 = π e ikπ 1 = R si k π cos k π 1 e iπ 1 e iπ =. = π si π cos π 1. Le résultt de l exercice précédet se géérlise à certies foctios périodiques comme ous le verros vec l formule d Euler et Mcluri.

24 964 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur 37.6 L méthode de Simpso Pour p = ds l méthode de bse de Newto-Cotes, o x, =, x,1 = + b, x, = b et : µ, = µ, = 1 t t 1 dt = 1 3 µ,1 = t t dt = 4 3 L formule de qudrture correspodte est l formule de Simpso : f x dx b + b f + 4f + f b. 6 O vérifie fcilemet, e se plçt sur I = [ 1, 1] o s y rmèe toujours pr chgemet de vrible ffie que cette formule est excte pour les polyômes de degré 3 mis ps pour x 4, elle est doc d ordre 3. L méthode composée de Simpso est défiie pr : S f = ϕ, f = b 1 f x,k + 4f m,k + f x,k+1 = b 3 6 k= f b f 1 + k= f x,k + f m,k où o oté x,k = + k b pour tout k compris etre et et m,k = x k + b de [x k, x k+1 ] pour tout k compris etre et 1. Pour ue mjortio de l erreur ous utiliseros le lemme suivt. le milieu Lemme 37.6 Soit h ue foctio de clsse C 4 sur [, 1] telle que h = et h 3 =. Pour tout x ds ], 1] il existe u réel c x ds [, 1] tel que : h x + h h t dt x 3 = h4 c x x Démostrtio. L formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre 3 ous permet d écrire : et : h x = h + h x + h x + h3 + 3! = h + h x x x t 3 + h 4 t dt. 3! h x + h 3 = h + h x x + 3! x t 3 h 4 t dt 3! x t 3 h 4 t dt. 3 3!

25 L méthode de Simpso 965 De même, l formule de Tylor vec reste itégrl à l ordre pour l primitive de h ulle e, H : x h t dt qui est de clsse C 5 ous doe : H x = H + H x + H = h x + h x + h 3! = h x + h x 3 + 3! O e déduit lors que : h x + h h t dt x 3 x + H3 3! x 3 + h3 x 4 + 4! x t 4 4! h 4 t dt. x 3 + H4 x 4 x t 4 + H 5 t dt 4! 4! x t 4 h 4 t dt 4! h x + h = H x x 3 x t 4 = h 4 t dt x = = 4! x t 3 3! x t 3 3! x h 4 t 3 x t 4 h 4 t x + 3t 1 dt x t 3 h 4 t dt 3 3! dt Pour x ], 1], l foctio t x t 3 x + 3t étt à vleurs positives sur [, x], le théorème de l moyee ous dit qu il existe c x [, x] tel que : h x + h h t dt x 3 = h4 c x 1 3! = h4 c x 1 3! x t 3 x + 3t dt 5 x5 = h4 c x x Lemme 37.7 Soit f ue foctio à vleurs réelles de clsse C 4 sur u itervlle [, b]. Il existe u réel c ds ], b[ tel que : f x dx b 6 f + 4f + b b 5 + f b = 88 f 4 c Démostrtio. Le chgemet de vrible x = + b + b t vec t [ 1, 1] ous rmèe à l itervlle [ 1, 1]. E défiisst l foctio g sur [ 1, 1] pr : + b g t = f + b t, l erreur ds l méthode de Simpso sur [, b] : E f = f x dx b 6 f + 4f + b + f b

26 966 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur s écrit lors : E f = b g t dt g 1 + 4g + g 1. E désigt pr h l foctio défiie sur [ 1, 1] pr h t = g t + g t, o : E f = b h 1 + h h x dx, 3 l foctio h étt de clsse C 4 sur [ 1, 1] vec h = h 3 = et le lemme précédet ous dit qu il existe u réel c 1 ds [, 1] tel que : E f = b h 4 c 1 18 x 5 = b g 4 c 1 + g 4 c Comme pour l méthode du poit milieu ou du trpèze, le lemme 37.1 ous dit qu il existe d 1 ds [ 1, 1] tels que g 4 c 1 + g 4 c 1 = g 4 d 1 et : E f = b g 4 d 1 9 b 5 = 5 9 f 4 b 5 c = 88 f 4 c vec c = + b + b d 1 ds [, b]. O déduit de ce lemme ue mjortio de l erreur ds l méthode de bse de Simpso pour ue foctio f de clsse C 4 sur [, b] : f x dx b + b f + 4f + f b f 4 b Pour l méthode composée, o e déduit le résultt suivt. Théorème 37.9 Soit f ue foctio de clsse C 4 sur [, b] et u etier turel o ul. Avec les ottios qui précèdet, il existe u réel c [, b] tel que : et o : Démostrtio. O : 1,k+1 f x dx S f = k= 1 b 5 f x dx S f = 88 f 4 c 4 f x dx T f x,k x,k+1 x,k 5 = 88 k= b f 4 f x dx x,k+1 x,k 6 f 4 b 5 1 c,k = 88 5 f x,k + 4f m,k + f x,k+1 k= f 4 c,k où chque c,k est ds [x,k, x,k+1 ]. Le lemme 37.1 ous dit lors qu il existe c ds [, b] tel que 1 f 4 c,k = f 4 c. O doc : f x dx S f = b f 4 c = b f 4 c k=

27 L formule d Euler-Mcluri 967 et : f x dx S f b f 4 De ce théorème, o déduit que : lim S f = + f x dx. Exercice 37.1 Motrer que pour tout etier 1 o : et : S f = T f + M f 3 S f = 4T f T f 3 c est l première étpe ds l méthode d ccélértio de Romberg. Solutio 37.1 Pour l première formule, il suffit de l vérifier pour les méthodes de bse, c est-à-dire ds le cs = 1. Ds ce cs o : S 1 f = 1 b f + f b + b f m 3 où m = + b, ce qui doe bie l reltio : S 1 f = T 1 f + R 1 f. 3 Puis e élimit M f ds les équtios : S f = T f + M f 3 T f = T f + M f o obtiet : soit S f = 4T f T f. 3 4T f 3S f = T f, 37.7 L formule d Euler-Mcluri L suite B N des polyômes de Beroulli est défiie pr l reltio de récurrece suivte : B x = 1, B 1 x = x 1, 37.7, B = B 1, B x dx =.

28 968 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur L équtio différetielle B = B 1 permet de détermier tous les coefficiets de B, excepté le coefficiet costt, e foctio de ceux de B 1, et l reltio B x dx = permet de détermier le coefficiet costt de B. L reltio de récurrece 37.7 permet doc de détermier ue uique suite de polyômes. O peut remrquer que l reltio B x dx = est églemet vérifiée pour = 1. O vérifie fcilemet que pour tout N le polyôme B est uitire de degré. L suite b N des ombres de Beroulli est défiie pr : Les istructios Mple suivtes : N, b = B. for from to 6 do beroulli,x ; beroulli ; od ; permettet de clculer les polyômes et ombres de Beroulli pour compris etre et 6. Les résultts sot les suivt : B x b x x x 3 3 x + 1x 4 x 4 x 3 + x x 5 5 x x3 1 6 x 6 x 6 3x x4 1 x Avec le théorème qui suit o résume quelques propriétés des polyômes de Beroulli qui ous serot utiles. Théorème 37.1 O :, B = B N, B 1 x = 1 B x p 1, b p+1 =., B k 1 = B k =! k! b k c B 1 1 = B 1 =!b 1 =! Démostrtio. Pour tout etier, o : B 1 B = B x dx = B 1 x dx =. O vérifie fcilemet que l suite de polyômes C N défiie pr C x = 1 B 1 x est solutio de 37.7, l uicité d ue telle solutio ous dit que C = B pour tout N. E pret x = ds 37.8, o : B 1 = 1 B

29 L formule d Euler-Mcluri 969 et pour p 1 o : b p+1 = B p+1 1 = B p+1 = b p+1, ce qui etrîe b p+1 =. Pour 1, o B = B 1 et pr récurrece : ce qui etrîe : B k = pour et k =, 1,,,. Pour k = 1, o :! k! B k k B k 1 = B k =! k! b k B 1 1 =!B 1 1 =! =!B 1 = B 1. Ue expressio de l erreur ds l méthode du trpèze sur [, 1] peut s obteir comme suit pour toute foctio f de clsse C sur [, 1]. Ue première itégrtio pr prties ous doe e pret B 1 x comme primitive de l foctio 1 : f x dx = [f x B 1 x] 1 B 1 x f x dx = f + f 1 B 1 x f x dx puis ue secode itégrtio pr prties vec 1 B b comme primitive de B 1 doe : [ f B 1 x f x x dx = = 1 ] 1 B x b 1 B x b f x dx. B x b f x dx E remrqut que l foctio B x b = x x 1 est égtive sur [, 1], o peut utiliser l formule de l moyee qui ous dit qu il existe u réel ξ [, 1] tel que : B x b f x dx = f ξ B x b dx = b f ξ et doc : f + f 1 f x dx = f ξ 1. L formule d Euler-Mcluri v géérliser ce résultt et ous permettre d obteir u développemet symptotique de l qutité : T f = b f + f b 1 + f + k b correspodte à l pproximtio de f x dx pr l méthode composée des trpèzes pour 1. E utilist le procédé d ccélértio de Richrdso prgrphe 4.4, o e déduir ue méthode d ccélértio de l covergece de l suite T f, c est l méthode de Romberg.

30 97 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Théorème Pour toute foctio f de clsse C +1 sur [, 1], où est etier supérieur ou égl à, o : f x dx = + f + f ! 1 k k + 1! b k+1 f k 1 f k B x b +1 f +1 x dx Démostrtio. Le polyôme B étt uitire de degré, o : f x dx = 1! et l formule d itégrtio pr prties itérée ous doe : soit : f x dx = 1! f x dx = + [ 1 k= f + f 1 1 B x f x dx ] 1 1 k B 1 k f k + 1! 1 k k + 1! b k+1 f k 1 f k + 1! Ue itégrtio pr prties ous doe, e pret de B : et doc : [ f B x f x dx = + 1 B +1 b +1 = f x dx = + f + f ! ] 1 B x f x dx B x f x dx B +1 b +1 comme primitive B 1 x b +1 f +1 x dx 1 k k + 1! b k+1 f k 1 f k B +1 x b +1 f +1 x dx + 1 B +1 x b +1 f +1 x dx Pour impir, o obtiet le résultt suivt.

31 L formule d Euler-Mcluri 971 Théorème 37.1 Euler-Mcluri Pour toute foctio f de clsse C p+ sur [, 1], où p est etier turel o ul, il existe u réel ξ ds [, 1] tel que : f + f 1 f x dx = p b j f j 1 1 f j 1 j! j=1 b p+ p +! f p+ ξ Démostrtio. E pret = p + 1 et e cosidért que les coefficiets b k+1 sot uls pour k 1, cette formule deviet : f + f 1 f x dx = p b j f j 1 1 f j 1 j! + j=1 1 p +! B p+ x b p+ f p+ x dx L foctio B p+ b p+ étt de sige costt sur [, 1], o peut utiliser le théorème de l moyee pour écrire que : B p+ x b p+ f p+ x dx = f p+ ξ où ξ est u réel ds [, 1]. E tet compte de B p+ x b p+ dx B p+ x dx =, o boutit à : f + f 1 f x dx = p b j f j 1 1 f j 1 j! j=1 b p+ p +! f p+ ξ Remrque 37.6 Cette formule ous dit que, pour f de clsse C p+ sur [, 1], l qutité : ϕ f = f + f 1 p j=1 b j f j 1 1 f j 1 j! est ue pproximtio de l itégrle f x dx, l erreur de qudrture étt égle à b p+ p +! f p+ ξ. Pour p =, c est l méthode du trpèze. Pour p = 1, o l formule de qudrture : f x dx f + f 1 + f f 1 1

32 97 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur vec ue erreur mjorée pr b 4 f f 4 4 4! =. Cette méthode cosiste à remplcer f pr 7 so polyôme d iterpoltio d Hermite H défii pr : H R 3 [x] H j = f j j =, 1 H j 1 = f j 1 j =, 1 De cette formule o déduit l formule composée suivte. Corollire 37.1 Pour toute foctio f de clsse C p+ sur [, ], où p et sot des etiers turels o uls, il existe u réel ξ ds [, ] tel que : f + f 1 f x dx = + f k p b j f j 1 f j 1 j! j=1 b p+ p +! f p+ ξ Démostrtio. Pour = 1, c est l formule précédete. O suppose doc que. Pour tout etier k compris etre et 1, o : k+1 k f x dx = f k + f k + 1 f k + t dt = p b j f j 1 k + 1 f j 1 k j! j=1 b p+ p +! f p+ ξ k vec ξ k [k, k + 1] et e sommt o obtiet : 1 f x dx = k= 1 = k= j=1 k+1 k f x dx f k + f k + 1 p b j 1 f j 1 k + 1 f j 1 k j! k= b 1 p+ f p+ ξ k p +! k=

33 L formule d Euler-Mcluri 973 ce qui s écrit ussi : f + f 1 f x dx = + f k p b j f j 1 f j 1 j! j=1 b 1 p+ f p+ ξ k p +! k= E ott respectivemet m p+ et M p+ les bores iférieures et supérieures de f p+ sur [, ], o : m p+ 1 1 f p+ ξ k M p+ et le théorème des vleurs itermédiires ous dit qu il existe ξ [, ] tel que 1 k= f p+ ξ, ce qui doe l formule océe. Remrque 37.7 L somme f k qui iterviet ds cette formule est l pproximtio de f + f k= f p+ ξ k = f x dx pr l méthode composée des trpèzes et p = ous permet de retrouver ue expressio de l erreur de qudrture. E effectut u chgemet de vrible ffie o boutit u résultt suivt, où τ f est l pproximtio de f x dx pr l méthode composée des trpèzes et h = b. Théorème Euler-Mcluri Pour toute foctio f de clsse C p+ sur [, b], où p est u etier turel o ul, il existe u réel ξ ds [, b] tel que : f x dx = T f p j=1 b b j f j 1 b f j 1 h j j! b p+ p +! f p+ ξ h p+ O dispose vec cette formule d u procédé d ccélértio de l covergece de T f. E ott : p b j T,p f = T f f j 1 b f j 1 h j, j! o : j=1 1 f x dx T,p f = O, p+ c est-à-dire que pour p 1, l suite T,p f 1 coverge plus vite vers T,p 1 f 1 e ott T, f = T f. f x dx que l suite

34 974 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Remrque 37.8 Pour f périodique de période T > et de clsse C p+ sur R, l formule d Euler-Mcluri deviet : T E utilist l équivlet : f x dx = T f T b p+ p +! f p+ ξ h p+. b p+ + 1 p p +! π p+, voir [?], o déduit que : b p+ p+ p +! hp+ T + π p + pour tout > T π. Si toutes les dérivées de f sot mjorées pr ue même costte M > c est le cs pr exemple pour les foctios cos et si, o e déduit que : > T T π, f + f T 1 f x dx = h + f k T, c est-à-dire que l formule composée des trpèzes est excte ds ce cs. Ds le cs des foctios cos et si, cel peut se vérifier directemet Méthode de Romberg Pour ce prgrphe, o se fixe ue foctio cotiue f défiie sur u itervlle [, b] et à vleurs réelles. Pour tout etier turel o ul, o ote T l pproximtio de f x dx pr l méthode composée des trpèzes vec le ps b. Si f est idéfiimet dérivble sur [, b], l formule d Euler-Mcluri ous fourit le développemet symptotique : T = p+1 f x dx + β j λ j + o λ p+1 où p est u etier turel o ul et : β j = b j f j 1 b f j 1 b j j! λ j = 1 4 j Les coefficiets β j, qui sot théoriquemet clculbles, e sot ps cous de mière explicite e géérl. Le procédé d ccélértio de Richrdso prgrphe 4.4 ous coduit à itroduire les suites ρ,k N, où k est u etier turel, défiies pr l reltio de récurrece : ρ, = T j=1 ρ,k = 4k ρ +1,k 1 ρ,k 1 4 k 1 k

35 Méthode de Romberg 975 Ces suites peuvet évidemmet être défiies e suppost seulemet f cotiue. L méthode de qudrture isi défiie est l méthode de Romberg E suppost les coefficiets β j tous o uls ce qui reviet à dire que f j 1 b f j 1 pour tout j 1, le théorème de Richrdso voir [77] pge 86 ous dit que pour tout k 1, l suite ρ,k N coverge vers f x dx plus vite que l suite ρ,k 1 N et : ou ecore : ρ,k f x dx β k k kk+1 4 k+1 ρ,k f x dx + f k+1 b f k+1 k +3k+1 b π k k+1. Pour f supposée seulemet cotiue, l reltio de récurrece 37.9 ous permet d exprimer l suite ρ,k N e foctio de suites ρ m, m N d pproximtios pr l méthode dichotomique des trpèzes. E suppost f de clsse C, l mjortio de l erreur de qudrture obteue pour l méthode des trpèzes ous fourir ue mjortio de l erreur pour l méthode de Romberg. Lemme 37.8 Pour tout etier turel k, il existe ue suite de ombres rtioels α k,j j k, uiquemet détermiée, idépedte de l foctio f, de l itervlle [, b] et de l etier, telle que : k N, ρ,k = α k,j ρ +j,. Démostrtio. Pour k =, o α, = 1. Pour k = 1, o α 1, = 1 3 et α 1,1 = 4 3. E suppost le résultt cquis u rg k 1, o pour tout N : j= vec : ρ,k+1 = 4 k+1 k α k,j ρ +j+1, k α k,j ρ +j, j= 4 k+1 1 α k+1, = α k, 4 k+1 1 j= k+1 = α k+1,j ρ +j, j= α k+1,j = 4k+1 α k,j 1 α k,j 4 k j k α k+1,k+1 = 4k+1 α k,k 4 k+1 1 Ce qui détermie bie de mière uique les coefficiets rtioels α k+1,j. Pour tout etier k 1, o ote θ k l foctio polyomile de degré k défiie pr : θ k x = k j=1 4 j x 1 4 j 1.

36 976 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Lemme 37.9 Pour tout k 1 et tout réel x, o : θ k x = k α k,j x j, j= θ k x = 1 k k j= α k,j x j. Pour réel x >, o : 1 k θ k x < x k e 4 x+1 9 x Démostrtio. O : de sorte que si o ote θ k x = récurrece : θ k+1 x = 4k+1 x 1 4 k+1 1 θ k x, k j= β k,j x j, les coefficiets β k,j sot défiis pr l reltio de β k+1, = β k, 4 k+1 1 β k+1,j = 4k+1 β k,j 1 β k,j 4 k j k β k+1,k+1 = 4k+1 β k,k 4 k+1 1 vec les coditios iitiles β 1, = 1 3 et β 1,1 = 4 3. De l uicité des coefficiets α k,j comme solutios de cette équtio de récurrece, o déduit que β k,j = α k,j pour tout etier k 1 et tout etier j compris etre et k. Ce qui ous doe l première formule. Pour l deuxième formule, il s git de vérifier que chque coefficiet α k,j est du sige de 1 k+j, c est-à-dire que 1 k+j α k,j >. Pour k = 1, o α 1, = 1 3 > et α 1,1 = 4 3 >. E suppost le résultt cquis u rg k 1, o : 1 k+1 α k+1, = 1k α k, 4 k+1 1 > 1 k+1+j α k+1,j = 4k+1 1 k+j 1 α k,j k+j α k,j 4 k+1 1 α k+1,k+1 = 4k+1 α k,k 4 k+1 1 > c est-à-dire le résultt u rg k + 1. O doc : k θ k x = α k,j 1 j x j = 1 k Pour x >, o : j= 1 k θ k x = k j=1 4 j x j 1 = xk k j=1 k α k,j x j. j= j x j > > 1 j k 1

37 Méthode de Romberg 977 et : vec : l 1 k θ k x = x k k j=1 u j u j = l l j x j L formule des ccroissemets fiis ppliquée à l foctio l 1 + t sur l itervlle ous permet d écrire que : u j = x + 1 1, 4 j x 1 + c j ] vec c j 1 [ 4, 1. O lors 1 + c j 4 j j > 1 1 x 4 3 j 4 et : ce qui doe : k j=1 < u j < 4 3 u j < 4 x x x + 1 x k j=1 1 4, j 1 4 < 4 x + 1 j 9 x et 1 k θ k x < x k e 4 x+1 9 x. E pret x = 1 ds l première formule du lemme précédet, o e prticulier : k α k,j = 1. j= [ 1 ] 4, 1 j 4 j x Théorème Si f est de clsse C sur [, b] o, pour tout etier k, l mjortio suivte de l erreur de qudrture : N, f x dx ρ,k f b k Démostrtio. Pour k =, l méthode est celle des trpèzes vec le ps b et o vu que l erreur de qudrture est de l forme : ce qui doe : E,1 f = f ξ b , f x dx ρ, f b 3 Pour k 1, o ρ,k = k α k,j ρ +j, et vec k α k,j = 1, o peut écrire que : j= j= k f x dx ρ,k = α k,j f x dx ρ +j, j= f b k α k,j 1 4 j j=

38 978 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur vec k j= α k,j 1 4 = j 1k θ k 1 < e 1 k 9 < 4 k iéglité 37.1 pour x = 1, ce qui doe : 4 f x dx ρ,k f b k. Si o cosidère l suite digole ρ, N, ds le cs d ue foctio de clsse C sur [, b], o pour tout N : f x dx ρ, f b E fit, o peut motrer directemet que, pour toute foctio f cotiue sur [, b], l suite ρ, N coverge vers f x dx. Théorème Pour toute foctio cotiue f sur [, b], o lim R, = + f x dx. Démostrtio. O : f x dx ρ, = α,j f x dx ρ +j, j= et o sit que l suite ρ m, m N coverge vers ε >, u etier m tel que : m m, ce qui etrîe, pour tout m : f x dx ρ, ε f x dx, o peut doc trouver, pour tout réel f x dx ρ m, ε, α, j = ε 1 k θ k 1 < εe 8 9. j= O doc isi motré que lim ρ, = f x dx. + Pour =, l étude précédete ous dit que pour f de clsse C sur [, b], o : k N, f x dx ρ,k f b k. E prtique, o costte que l suite ρ,k k N coverge très rpidemet vers f x dx et c est cette suite que l o utilise e géérl pour pprocher l itégrle pr l méthode de Romberg.

39 Méthode de Guss Méthode de Guss Ds les méthodes de Newto-Cotes, les poits x,k pour k compris etre et sot fixés et o obtiet des méthodes de qudrture d ordre ou + 1. Ds ce prgrphe ous llos voir qu u choix judicieux des poits x,k, vec k compris etre 1 et, ous permettr d obteir des méthodes d ordre mximum, à svoir 1. De plus, les méthodes obteues ous permettros de clculer des itégrles impropres sur u itervlle ouvert boré ou o. Plus précisémet, étts doés u itervlle ouvert o écessiremet boré I = ], b[ et ue foctio poids π sur I, o cherche à détermier des poits x,k ds I et des coefficiets réels λ,k, où est u etier turel o ul et k u etier compris etre 1 et, tels que : P R 1 [x], P x π x dx = λ,k P x,k Ds ce qui suit P N est suite de polyômes orthogoux ssociés à l foctio poids π sur l itervlle ], b[ vec P de degré pour tout N. Pour tout etier turel, o ote : P x = k= α k xk vec α >. O rppelle que l suite P N est ussi défiie pr l reltio de récurrece : vec : P 1 x =, P x = α 1 = π x dx b +1 P +1 x + P x + b P 1 x = xp x = α1 α 1 1 = α 1 α α+1 α b = b = α 1 α O rppelle églemet que pour tout 1, le polyôme P rcies distictes ds I. O pourr cosulter [78] pour plus de détils sur les polyômes orthogoux. Le lie etre les polyômes orthogoux et le problème qui ous itéresse est doé pr le résultt suivt. Lemme 37.1 Pour N, il existe des coefficiets réels λ,k 1 k tels que l coditio soit vérifiée si, et seulemet, si les réels x,k 1 k sot les rcies du polyôme P. Démostrtio. Supposos qu il existe des coefficiets λ,k 1 k tels que l coditio soit vérifiée. O désige pr ω le polyôme uitire de degré qui s ule e chcu des x,k 1 k, soit : ω x = x x,k.

40 98 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Pour tout polyôme Q R 1 [x], o ω Q R 1 [x] et : ω Q = ω t Q t π t dt = λ,k ω x,k Q x,k =, c est-à-dire que ω est orthogol à R 1 [x]. Ce polyôme, de degré, est doc proportioel à P et les x,k 1 k sot rcies de P. Réciproquemet, supposos que les x,k 1 k soiet les rcies de P. Pr divisio euclidiee, tout polyôme P R 1 [x] s écrit sous l forme P = QP + R vec Q, R ds R 1 [x] et o : P t π t dt = P Q + = R t π t dt, R t π t dt puisque P R 1 [x]. E remrqut que P x,k = R x,k pour tout k compris etre 1 et, o déduit qu il ous suffit de motrer que est vérifié sur R 1 [x], ce qui équivut à prouver l existece de coefficiets λ,k 1 k solutios du système liéire de équtios à icoues : x,i k 1 λ,i = x k 1 π t dt 1 k. i=1 Le détermit de ce système étt 1 j<i x,i x,j détermit de Vdermode, o est ssuré de l existece et de l uicité d ue solutio λ,k 1 k. Les coefficiets λ,k 1 k défiis pr le lemme précédet sot ppelés coefficiets de Christoffel ssociés à l foctio poids π et à l itervlle I. O suppose ds ce qui suit que, pour 1, les réels x,k 1 k sot les rcies du polyôme P et o désige pr L,k 1 k l bse de Lgrge de R 1 [x] défiie pr : k {1,, }, Cette bse est églemet défiie pr : L,k R 1 [x] {, si i k L,k x,i = 1 si i = k 1 i. L,k x = x x,i = x,k x,i i=1 i k P x 1 x x,k P x,k 1 k. Le résultt qui suit ous doe ue formule explicite des coefficiets de Christoffel. Lemme Pour tout k compris etre 1 et, o : λ,k = 1 b 1 P x,k P 1 x,k. Démostrtio. Pour tout k compris etre 1 et, o : L,k x π t dt = λ,i L,k x,i = λ,k, i=1

41 Méthode de Guss 981 soit : λ,k = 1 b P t π t dt 1 k. P x,k x x,k E utilist l idetité de Drboux-Christoffel voir [78], o : x x,k ce qui doe, pour x x,k : et : P i x P i x,k = b +1 P x P +1 x,k, i= P x = 1 1 x x,k b +1 P +1 x,k λ,k = 1 b +1 1 P +1 x,k P x,k P i x P i x,k i= P i x,k P i P. Tet compte de l orthogolité de l fmille P i i, o e déduit que : i= α λ,k = 1 b +1 1 P +1 x,k P x,k. D utre prt, e utilist l reltio de récurrece 37.1, o : b +1 P +1 x,k + b P 1 x,k =, soit : et : b +1 = b P 1 x,k P +1 x,k λ,k = 1 b 1 P x,k P 1 x,k. Remrque 37.9 Ds le cs où π est ue foctio pire sur l itervlle I = ] c, c[ vec c ], + ], chque polyôme P est de l prité de et e ordot ses rcies ds l ordre croisst, o : x, k+1 = x,k 1 k. Avec P x = 1 1 P x et P 1 x = 1 1 P 1 x, il e résulte que : λ, k+1 = λ,k 1 k. L méthode de qudrture de Guss est ssociée ux foctioelles liéires ϕ défiies sur C I, pour N, pr : f C I, ϕ f = λ,k f x,k, où les x,k sot les rcies du polyôme P et les λ,k les coefficiets de Christoffel correspodts.

42 98 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur Pour toute foctio f C I telle que l itégrle f x π x dx est covergete, o pproximer cette derière pr ϕ f. Cette méthode est excte sur R 1 [x] et vec : ϕ P = λ,k P x,k = < P x π x dx, le polyôme P étt de degré, o déduit que l méthode est d ordre 1. Exemple 37.3 polyômes de Legedre E utilist les reltios de récurrece : { b+1 P +1 x + b P 1 x = xp x x 1 P x = b +1 P +1 x + 1 b P 1 x vec b =, o pour tout k compris etre 1 et : 4 1 { b+1 P +1 x,k + b P 1 x,k = x,k 1 P x,k = b +1 P +1 x,k + 1 b P 1 x,k ce qui doe e élimit b +1 P +1 x,k : x,k 1 P x,k = + 1 b P 1 x,k et : 1 x,k 1 1 x,k λ,k = = + 1 b P 1 x,k P 1 x,k. L formule de qudrture correspodte est doc : f x dx 1 1 x,k 1 P 1 x,k f x,k. Exemple 37.4 polyômes de Tchebychev Les rcies du polyôme P x = cos rccos x π sot les x,k = cos θ,k vec θ,k = k 1 π et k compris etre 1 et, ce qui doe : P x,k = π si θ,k 1 = 1 k+1 x π si θ,k,k P 1 x,k = π cos k 1 π θ,k = π 1k+1 si θ,k et : λ,k = 1 b 1 P x,k P 1 x,k = 1 b π. Pour = 1, o b 1 = 1 et pour, b = 1, ce qui doe ; λ,k = π, 1 k. L formule de qudrture correspodte est doc : f x dx π f cos 1 x 1 k 1 π.

43 Mjortio de l erreur ds l méthode de Guss 983 Exemple 37.5 polyômes de Lguerre E utilist l reltio : xp x = P x + b P 1 x vec b = + α et α > 1, o pour tout k compris etre 1 et : λ,k = x,k + α b P 1 x,k. L formule de qudrture correspodte est doc : + f x x α e x dx 1 + α x,k P 1 x,k f x,k. Exemple 37.6 polyômes d Hermite E utilist les reltios de récurrece : { b+1 P +1 x + b P 1 x = xp x P x = xp x + 1P +1 x vec b = ce qui doe : et :, o pour tout k compris etre 1 et : { b+1 P +1 x,k + b P 1 x,k = P x,k = + 1P +1 x,k P x,k = + 1 b b +1 P 1 x,k λ,k = 1 P 1 x,k. L formule de qudrture correspodte est doc : + f x e x dx 1 f x,k P 1 x,k Mjortio de l erreur ds l méthode de Guss O coserve les ottios du prgrphe précédet. Les coefficiets de Christoffel peuvet ussi se clculer e utilist les polyômes L,k. Ces polyômes étt de degré, o pour tout k compris etre 1 et : L,k x π t dt = λ,i L,k x,i = λ,k, i=1 ce qui ous motre que les coefficiets λ,k sot tous strictemet positifs. Ds le cs où l itervlle I est boré et e suppost l foctio poids π défiie sur [, b], les foctioelles ϕ défiisset ue méthode de qudrture sur C [, b] et le théorème de Stekloff voir [78] ous dit que cette méthode est covergete. Nous llos vérifier que l méthode de Guss est covergete ds tous les cs.

44 984 Méthodes de clcul pproché d ue itégrle. Mjortio de l erreur O se doe ue foctio f ds C ], b[ telle que l itégrle et pour tout etier turel o ul, o ote : E f = l erreur de qudrture de Guss. f t π t dt λ,k f x,k Théorème Si f C ], b[ est telle que l itégrle f est borée sur ], b[, lors : E f f.! α f t π t dt soit covergete f t π t dt est covergete et Démostrtio. O désige pr H 1 le polyôme d iterpoltio d Hermite défii pr : { H 1 R 1 [x] H 1 x,k = f x,k, H 1 x,k = f x,k, 1 k E cosidért que : H 1 t π t dt = λ,k H 1 x,k = λ,k f x,k o déduit que l erreur de qudrture ds l méthode de Guss est doée pr : E f = f t π t dt λ,k H 1 x,k = f t H 1 t π t dt. D utre prt, o sit que pour f C ], b[ l erreur d iterpoltio d Hermite est de l forme : f x H 1 x = f c x P x! α où c x ], b[ et pour f borée sur ], b[ o e déduit que : f E f f P =.!! α α Exemple 37.7 polyômes de Legedre Le coefficiet domit de P est α et : E f ! C f. = C Exemple 37.8 polyômes de Tchebychev Le coefficiet domit de P est α = π et : E f 1 π f!