Introduction - p. 2/39. - p. 1/39. Introduction. Intégration numérique. Principe. Méthodes simples de quadrature. - p. 3/39. - p. 5/39.

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1 Méthodes de VIET HUNG NGUYEN - FABIEN RICO Hug.Nguye@lip6.fr Itégrtio uérique EPU Pierre et Mrie Curie - Sicece de l Terre Itégrtio uérique - p. /9 - p. /9 O cherche à pprocher l itégrle d ue foctio : Dot o e coît l vleur qu e certis poits esures Dot o peut clculer les vleurs, is dot o e peut ps clculer l priitive ps de forule lytique trop coplexe Il fut pprocher I(f = Itégrtio uérique O dispose de l vleur de f sur des poits régulièreet espcés f(y, f(y,...,f(y vec y = < y < < y < y = b et y i+ y i = b O sépre [, b] e sous-itervlles i.e. o regroupe les poits y i pr pquets de u, deux ([y i, y i+ ] ou trois ([y i, y i+, y i+ ] poits cosécutifs. O iterpole l foctio sur chque sous-itervlle pr des polyôes g i (t. O clcule l itégrle du polyôe d iterpoltio de chque sous itervlle, cel s exprie sipleet e foctio des vleurs f i = f(y i : Itégrtio uérique +k g i (tdt = k α l f i+l l= - p. /9 - p. 4/9 L soe de ces vleurs est ue pproxitio de l itégrle de f sur [, b]. Cette soe s exprie ussi sipleet e foctio des vleurs f i I(f β i f i ( L différece etre les éthodes viet du obre de poits d iterpoltios ds les pquets : poit pproxitio de degré éthode des rectgles poits pproxitio de degré éthode des trpèzes poits pproxitio de degré éthode de SIMPSON poits pproxitio de degré éthode de NEWTON-CÔTES Pour chque éthode, il existe des costtes β i qui perettet d ppliquer l forule ( et ue jortio de l erreur que l o v clculer. i= Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Méthode des rectgles - p. 5/9 - p. 6/9 Les poits (y i i =,..., sot pris régulièreet espcés sur [, b] : y i = + i b Sur chque itervlle I i = [y i, y i+ ], l foctio f est pprochée pr l foctio costte g i tel que g i (t = f(y i. + g i (tdt = (y i+ y i f(y i = b f(y i y y = y y y y L pproxitio de pr l éthode des rectgles est doée pr : Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio I R = b f(y i i= - p. 7/9 - p. 8/9

2 (suite O pplique l forule d erreur de l iterpoltio de LAGRANGE : t [y i, y i + ] il existe η(t [y i, y i + ] tel que + f(t g i (t = f (η(t(t y i b + f(y i = f (η(t(t y i dt Soit M = sup t [,b] f (t + b f(y i M + (t y i dt M (y i+ y i (b M Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Fileet Rerques : I R M (b Pour trouver ue vleur pprochée de à ε près, il suffit de predre plus grd que M (b ε L pproxitio est excte si l dérivée f est ulle c est-à-dire si l foctio f est costte. Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio - p. 9/9 Méthode des trpèzes - p. /9 Clcul de l forule Les poits (y i i =,..., sot pris régulièreet espcés sur [, b] : y i = + i b. Sur chque itervlle I i = [y i, y i+ ], l foctio f est pprochée pr l foctio ffie g i coïcidt vec f e y i et y i+ soit : g i (t = f(y i + (t y i (y i+ y i (f(y i+ f(y i. Rerque : g i est l foctio ffie pr orceux relit les poits de coordoées (y i, f(y i. Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio + = + g i (tdt [ t + (f(y i+ f(y i (f(y i+ f(y + i +f(y i ]dt = + (+ (f(y i+ f(y i y i (f(y i+ f(y i + (y i+ y i f(y i = ++ (f(y i+ f(y i y i f(y i+ + y i+ f(y i = + (f(y i+ + f(y i = b (f(y i+ + f(y i Or = y + y y y y y Doc l pproxitio de pr l éthode des trpèzes est doée pr : Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio I T = b (f(y + f(y f(y + f(y - p. /9 - p. /9 O pplique l forule d erreur de l iterpoltio de LAGRANGE : t [y i, y i + ] il existe η(t [y i, y i + ] tel que Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite + b (f(y i+ + f(y i = f(t g i (t = f (η(t(t y i (t y i+ + f (η(t(t y i (t y i+ dt (fi (suite Explictio d où si M = sup t [,b] f (t + b (f(y i+ + f(y i M + (t y i (y i+ tdt - p. /9 (suite - p. 4/9 (fi Pour le clcul de + (t y i (y i+ tdt, o effectue u chgeet de vrible. Soit x = t y i (t = x + y i + (t y i (y i+ tdt = + x(y i+ y i xdx = + x + x(y i+ y i dx = (+ + (+ (y i+ y i = (+ 6 Doc + b (f(y i+ + f(y i M (+ (b I T M Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Fileet Rerques : (b I T M Pour trouver ue vleur pprochée de à ε près, il suffit de predre plus grd que M (b ε L pproxitio est excte si l dérivée secode f est ulle c est-à-dire si l foctio f est ffie. Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio - p. 5/9 - p. 6/9

3 (suite O cosidère les + poits z i = + i b (i =,..., Sur chque itervlle I i = [z i, z i+ ], l foctio f est pprochée pr l prbole g i psst pr les poits Doc (z i, f(z i (z i+, f(z i+ (z i+, f(z i+ (t z i+ (t z i+ g i (t = f(z i. (z i z i+ (z i z i+ (t z i (t z i+ +f(z i+. (z i+ z i (z i+ z i+ (t z i (t z i+ +f(z i+. (z i+ z i (z i+ z i+ Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Ce qui doe, tout clcul fit : zi+ zi g i (tdt = b 6 (f(z i + 4f(z i+ + f(z i+ L pproxitio de l itégrle pr l éthode de SIMPSON est doc I S vec I S = b ( f(z + 4f(z + f(z + 4f(z + f(z f(z + 4f(z + f(z - p. 7/9 - p. 8/ Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio Soit M = x t [,b] f (4 (t Rerques : I S M(b Pour trouver ue vleur pprochée de à ε près, il suffit de predre plus grd que 4 M (b 5 88ε L pproxitio est excte si l dérivée f (4 est ulle c est-à-dire si l foctio f est u polyôe de degré iférieur ou égl à. Méthode des rectgles (suite Méthode des trpèzes Clcul de l forule (suite (fi (suite Explictio! L erreur est d ordre 4 lors que le polyôe est de degré - p. 9/9 Explictio - p. /9 O pourrit s ttedre à ce que l erreur de éthode de SIMPSON soit de l fore M(b 4 M = x t [,b] f( (t et K or o gge u fcteur (b. Preos le cs ou f est u polyôe de degré. f(t g i (t est doc u polyôe de degré, il s ule fois e z i, z i+ et z i+, doc f(t g i (t = α(t z i (t z i+ (t z i+, z i il est syétrique pr rpport u ilieu du seget [z i, z i+ ], doc zi+ f(t g zi i (t = Cel peut se géérliser ux éthodes de NEWTON-COTES A z i+ A z i+ Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. /9 - p. /9 Jusqu à préset le problèe toujours été posé de l fço suivte : O dispose de l vleur de f sur + poits : y, y,...,y et o cherche pprocher l itégrle de f pr l forule : = α i f(y i + E ( ou E est l erreur de l éthode O cherche à iiiser l erreur E. Chque éthode correspod à u choix de vleurs α i. Au ieux o rrive à obteir ue éthode d ordre + c est à dire dot le tere d erreur déped de x t b f (+ (t cel sigifie qu elle est excte si f est u polyôe de degré < à +. Si o est cpble de clculer f e iporte quel poit, o peut fire vrier les y i de ière à ce que l éthode soit d ordre supérieure. Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres Soit f ue foctio que l o peut clculer e iporte quel poit Soit le obre de poits de clcul Soiet y, y,..., y les poits et α, α,...,α les coefficiets Soit P k l eseble des polyôes de degré iférieur à k. O cherche les «eilleures vleurs» pour α i et y i fi de iiiser E ds l forule : = α i f(y i + E } {{ } I(f } {{ } J(f Il y degrés de liberté, o espère obteir ue éthode d ordre i.e. E = si f est u polyôe de degré iférieur à. Coet trouver les vleurs de α i et y i? Quelle est l erreur si f est ps u polyôe de P? Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. /9 - p. 4/9

4 Chgeet de vrible O cherche les «eilleures vleurs» pour α i et y i fi de iiiser E ds l forule : = α i f(y i + E Chgeet de vrible Nous étudiros ps ici l fço dot sot trouvées ces vleurs, il vous suffit de svoir que : Les poits d évlutios y, y,...,y sot les rcies d u polyôe fist prtie d ue fille de polyôes orthogoux. Chgeet de vrible Ces vleurs dépedet des bores de l itégrle et b o se rèe toujours à u êes bores grâce à u chgeet de vrible. Pr exeple, si, b IR, o peut toujours fire ue itégrtio sur l itervlle pr le chgeet de vrible t = b+ + b u = b f(udu E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres Il existe plusieurs filles de polyôes, chcue est ssociée à ue certie fore d itégrle. Pour clculer ue itégrle de l fore f(udu, il fut utiliser les rcies des polyôes de LEGENDRE, cel s ppelle l éthode de GAUSS-LEGENDRE O trouve les α i grâce à l résolutio d u systèe liéire qui déped des y i. E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. 5/9 - p. 6/9 E prtique Pour clculer ue itégrle de l fore : O utilise le chget de vrible t = b+ + b = O pproche l itégrle pr : u b f(udu α i f(y i Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres E prtique les vleurs des α i et des y i sot coues et tbulées. Pr exeple, e double précisio pour l éthode de GAUSS-LEGENDRE à poits : y = y = y = y 4 = y 5 = y 6 = y 7 = y 8 = y 9 = y = y = y = α = α = α = α 4 = α 5 = α 6 = α 7 = α 8 = α 9 = α = α = α = p. 7/9 L lgorithe - p. 8/9 Clcul de l erreur sur L lgorithe de clcul de e tet copte du chgeet de vrible pour se reer à est le suivt : Sur si l foctio f est ps u polyôe, is qu elle est C (s dérivée e est cotiue. Alors, o sit pr le développeet de TAYLOR que x Doées :, (y i i, (α i i, f,, b début so pour i = à fire t b y i + +b so so +α i f(t fi Résultt : so b Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres f(x = f( + x! f ( + + x (! f( ( + x (x s f ( (sds (! O peut otrer que l erreur E = α if(y i est de l fore ( E = α i f( (γ + (! Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres vec γ. - p. 9/9 Clcul de l erreur sur [,b] - p. /9 - I Sur [, b], O effectue le chgeet de vrible : ( b = f u + + b dt Doc cel doe ( ( + b E = α i f( (ε + (! vec ε [, b] L éthode est d ordre c est à dire qu elle est excte si f est u polyôe de degré <. Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres Soit f l foctio : E clcult l soe : Alors que f(x = + cos(x α i f(y i = = Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. /9 - p. /9

5 - II Autres filles orthogoles Soit f l foctio : f(x = x E clcult l soe : Alors que O α i f(y i = = L éthode est ps très efficce cr x est ps dérivble e. Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres Il est possible d utiliser cette éthode pour d utres fores d itégrles : w(t où [, b] est u itervlle quelcoque et w(x ue foctio positive sur [, b] ppelée poids. Pour chque fore d itégrle, il existe ue fille de polyôes orthogoux, doc des poits d iterpoltio et des coefficiets qui perettet de clculer l itégrle sur [, b] vec l forule : w(t α i f(y i Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. /9 - p. 4/9 L foctio de poids est w(x = x L itervlle cosidéré est ], [ Les polyôes orthogoux sot : T (x = T (x = x T (x = xt (x T (x = cos( rccos(x Cette éthode est dptée u clcul des itégrles de l fore f(t dt = t α i f(y i + E Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres L foctio de poids est w(x = exp( x L itervlle cosidéré est [, ] Les polyôes orthogoux sot : L (x = L (x = x L (x = x L (x L (x Cette éthode est dptée u clcul des itégrles de l fore exp( t = α i f(y i + E Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. 5/9 Accélértio de l éthode - p. 6/9 Cs des itégrles ipropres Il y deux éthodes pour obteir ue eilleure pproxitio : Augeter le obre de poits de GAUSS Mis cel est ps toujours efficce Diviser l itervlle d itégrtio e petits itervlles Soiet = < < < = b vec i+ i = b Alors = o clcule sépréet chque petite itégrle. l bore d erreur sur le clcul est : ( ( + b E < α i x + t b f ( (t Prfois o e peut ps utiliser directeet ces éthodes pour le clcul de l itégrle d ue foctio : Si l ue des bores de l itégrle est ifiie t dt Si l foctio est ps défiie sur l ue des bores Si l foctio est ps dérivble sur l ue des bores Alors, o sépre l itégrle e de petites itégrles : ou t dt = log(tdt = +(k+ k= +k k k= t dt k log(tdt log(tdt xdt O clcule chque petite itégrle sépréet et o s rrête qud le reste est égligeble Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. 7/9 - p. 8/9 Pour le clcul de l itégrle d ue foctio, o se rèe u clcul de l itégrle d u polyôe. Cr c est u eseble de foctios très siple. Il peret d pprocher presque toutes les foctios itégrbles. Mis cel e foctioe bie que sur les foctios très régulières. O peut couper l itervlle d itégrtio e petits orceux. Pour ccélérer l covergece Si l itégrle est ipropre Si l foctio est ps ssez régulière (o dérivble Chgeet de vrible E prtique L lgorithe Clcul de l erreur sur Clcul de l erreur sur[, b] - I - II Autres filles orthogoles Accélértio de l éthode Cs des itégrles ipropres - p. 9/9