SEMAINE DES MATHEMATIQUES MARS ENIGMES Enseignants tous cycles. Les réponses

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1 SEMAINE DES MATHEMATIQUES MARS 2012 ENIGMES Enseignants tous cycles Les réponses

2 LUNDI 12 mars Enigme 1 d après le rallye de Madagascar Fruits Rasoa possède des mangues et des pommes qu elle veut vendre en lots ; si elle fait des lots de 5 mangues et de 6 pommes, alors il lui reste 2 mangues et 1 pomme si elle fait des lots de 3 mangues et de 4 pommes, alors il lui reste 5 mangues et 1 pomme. Combien de mangues et de pommes possède Rasoa? Soit m le nombre de mangues Soit p le nombre de pommes. Soit x le nombre de lots pour la situation rouge, cela donne les deux équations : m 5x = 2 (1) p 6x = 1 (2) Soit y le nombre de lots pour la situation bleue, cela donne les deux équations : m 3y = 5 (3) p 4y = 1 (4) Maintenant faisons (1) - (3) cela donne : m 5x m +3y = 2 5 soit -5x + 3y = -3 (5) Maintenant faisons (2) - (4) cela donne : p- 6x p +4y = 0 soit -6x + 4y = 0 (6) On prend maintenant les 2 dernières équations pour faire : 4 x l équation (5) 3x l équation (6) pour éliminer les y et avoir la valeur de x cela donne donc : 4 ( -5x + 3y) 3 ( -6x + 4y) = -3x4-0x3 soit -20x +12y +18x -12y = -12 ou encore -2x = -12 soit x= 6 en remplaçant x par sa valeur 6 dans l équation (6) on obtient : -6 x 6 + 4y = 0 4y = 36 soit y = 9 Maintenant on sait que Rasoa fait 6 lots dans la situation rouge et 9 lots dans la situation bleue. On remplace x par 6 dans l équation (1) cela donne : m- 5x6 = 2 d où m = 32 On remplace x par 6 dans l equation (2) cela donne : p- 6x6 = 1 d où p = 37 Il y a donc 32 mangues et 37 pommes.

3 LUNDI 12 mars Enigme 2 d après le rallye de Madagascar L âge de Rakoto Toto voulait bien connaître la date de naissance de son grand-père Rakoto. Samedi 29 mars 2003, nous avons surpris cette conversation : Toto : «Quelle est ta date de naissance, papy? Rakoto, pour le taquiner, lui répond : «Si je divise mon année de naissance par le jour de ma naissance, j obtiens comme quotient mon âge et comme reste mon mois de naissance. Si j additionne 2001 au dividende et 23 au diviseur, j obtiens le même reste et le même quotient». Pouvez-vous aider Toto, en déterminant la date de naissance de Rakoto? On est en 2003, donc on peut penser que le grand-père est né en 19du. Le problème est un problème de division. L âge est égal à du = du = 103 du du est le nombre écrit avec les 2 chiffres d et u et non d x u 19du = j1j2 (103 du) + r 19du = (j1j2 + 23)(103- du) + r or r =r 3901+du = j1j2(103 du) +r + 23 x (103 du) du = 19du x du du = du x du 23 du = 368 d où du = 368/23 = 16 Alors 1916 = j1j2 x (103 16) + r = j1j2 x 87 je divise donc 1916 par 87 et j obtiens 1916 = 87 x Le grand père a 87 ans, il est né le 22 février 1916.

4 MARDI 13 mars Enigme 1 d après Tangente Hors Série n 42 Des sacs au souk Un cultivateur a ramassé sa récolte de blé en quatre-vingt-dix sacs. Pour les vendre au souk, distant de son terrain de 30km, il a loué une charrette qui ne peut prendre que 30 sacs par voyage, avec un salaire d un sac sur chaque kilomètre parcouru du terrain vers le souk. Quel est le nombre maximum de sacs vendus au souk? Cette énigme ne s inscrit pas dans un modèle mathématique. Pour le résoudre, il faut essayer différentes possibilités. La preuve vient de la rigueur de la recherche. Le paysan possède 90 sacs, à chaque voyage, il prend le maximun de sacs, c'est-à-dire 30 sacs. S il parcourt 30km alors il paie 30 sacs par voyage, il lui faut 3 voyages et il aura payé 3 x 30 sacs il ne lui restera plus rien. L idée est alors de ne pas parcourir toute la distance à chaque fois. S il fait 29km à chaque voyage, il donne 29 sacs et il lui en reste 1. Il le fait 3 fois, donc il reste alors au paysan 3 sacs et 1km à parcourir. Dans le 4 ème voyage, il transporte les 3 sacs, il en donne 1 en paiement et donc il vend 2 sacs au souk. S il fait 28km à chaque voyage, il donne 28 sacs et il lui en reste 2. Il le fait 3 fois, donc il reste alors au paysan 6 sacs et 2km à parcourir. Dans le 4 ème voyage, il transporte les 6 sacs, il en donne 2 en paiement et donc il vend 4 sacs au souk. Le nombre de sac au 4 ème voyage augmente ainsi que le nombre de sacs vendus, on essaie avec un 4 ème voyage à plein c'est-à-dire avec 30 sacs. Pour avoir 30 sacs au dernier voyage, il faut s arrêter à 10km de l arrivée. S il fait 20km à chaque voyage, il donne 20 sacs et il lui en reste 10. Il le fait 3 fois, donc il reste alors au paysan 30 sacs et 10km à parcourir. Dans le 4 ème voyage, il transporte les 30 sacs, il en donne 10 en paiement et donc il vend 20 sacs au souk. Avec 4 voyages, le maximum de sacs vendus est 20. On essaie alors avec 5 voyages, il faut pour vendre le maximun de sacs remplir le dernier voyage. Les derniers voyages doivent contenir 30 sacs donc il doit rester 60 sacs après les 3 premiers voyages. Il faut parcourir seulement 10km. Le paysan parcourt 10km avec 30 sacs, 3 fois. Il donne alors 3x10 = 30 sacs et il lui reste 60 sacs. Par un raisonnement analogue, d essais successifs, on cherche comment transporter 60 sacs sur 20km. Le cultivateur parcourt 15km de plus. Il donne 15 sacs, 2 fois. Il lui reste donc 30 sacs et 5km jusqu au souk. Lors du cinquième voyage, le cultivateur transporte les 30 derniers sacs, sur 5km, paie 5 sacs et donc vend 25 sacs.

5 MARDI 13 mars Enigme 2 d après le Championnat de la Fédération Française des jeux mathématiques Voisins non consécutifs Quel est le plus petit nombre de cinq chiffres tous différents tels que des chiffres écrits côte à côte ne soient jamais des chiffres consécutifs (comme 1 et 2 ou comme 8 et 7 par exemple)? Le plus petit nombre de 5 chiffres tous différents s écrit abcde ; Les chiffres sont des entiers compris entre 0 et 9. Il faut que les chiffres les plus à gauche soient les plus petits possibles. Procédons rang par rang, en partant de celui des dizaines de milliers, en utilisant le plus petit possible à chaque fois, parmi ceux non encore utilisés et n'étant pas consécutifs du précédent (ouf!) : 1 (car 0, c'est nul!) a = 1 alors b ne peut pas être égal à 0 ni à 2 car les chiffres ne doivent pas être consécutifs. D où b = 3. Alors c ne peut pas être 2, 3 ou 4 d où c = 0. d doit être différent de 4 ou 6 mais aussi de ceux déjà choisis 1, 0 et 3. Alors d = 2 fonctionne et e = 4 aussi. Le plus petit nombre qui remplit les conditions est alors

6 JEUDI 15 mars Enigme 1 d après le rallye sans frontières Midi-Pyrénées Holmes enquête Le célèbre détective interroge 4 suspects, il sait que le coupable est parmi eux. «C est Alain» dit Michel. «Non, c est Franck» dit Alain. «En tout cas, ce n est pas moi» dit Fernand. «Alain est un menteur, il ose dire que c est moi» dit enfin Franck. Sherlock Holmes sait qu un seul dit la vérité et il trouve le coupable. Qui est le coupable? Qui dit la vérité? La remarque d un collègue «D'abord, depuis quand Sherlock Holmes interroge-t-il des suspects prénommés Alain, Michel, Franck et Fernand? Ce n'est pas très "british" tout ça... Avec John, Jack, Jill et Jude, par exemple, ça serait un peu plus crédible. Ensuite, on aimerait bien savoir de quoi le coupable est accusé. Parce que si ça se trouve, c'est presque rien ; et alors, ça ne vaut vraiment pas le coup de faire appel à un détective aussi célèbre... En tout cas, moi j'aime bien savoir de quoi je parle. D'autre part, ce n'est pas bien de dénoncer ses petits camarades. Enfin, faudrait savoir : on cherche un coupable ou on cherche un menteur? Bref, c'est vraiment pas "élémentaire, mon cher Watson", cette énigme!» Un seul des suspects dit la vérité. Quand un suspect dit la vérité cela signifie alors que tous les autres mentent. On va étudier tous les cas possibles. Conjecture Raisonnement Conclusion 1. Michel dit la vérité 2. Alain dit la vérité 3. Fernand dit la vérité 4. Franck dit la vérité Alors c est Alain. Alain ment en affirmant que c est Franck. Mais Fernand dit aussi la vérité en disant que ce n est pas lui. Alors c est Franck. Mais Fernand dit alors aussi la vérité. Alors ce n est pas Fernand. Michel ment en affirmant que c est Alain. Alain ment en disant que c est Franck. Mais Franck dit la vérité en disant qu Alain ment. Alors Alain est menteur, ce n est pas Franck. Michel est menteur donc ce n est pas Alain. Franck dit la vérité donc ce n est pas lui. Fernand ment donc c est lui. On aboutit à une contradiction. Michel et Fernand ne peuvent pas dire la vérité en même temps donc la conjecture 1 n est pas bonne. Fernand et Alain ne peuvent pas dire vrai en même temps. Donc on rejette la conjecture 2. Fernand et Franck disent la vérité. Ce qui n est pas possible, on rejette donc la conjecture 3. Franck dit la vérité Le coupable est Fernand

7 JEUDI 15 mars Enigme 2 d après le manuel de la collection Euromaths Partage du gâteau Jean-Christophe est gourmand et impatient. Il a mordu un gâteau rectangulaire 4 x 9, puis il a rectifié le contour au couteau. Voici l état du gâteau. Désormais, il faut le partager en sept parts identiques à un retournement près. Aidez Jean-Christophe! Il s agit d un pavage. Le gâteau est constitué de 4 x 9 1 = 35 cases. Chaque part doit donc être composée de 5 carrés. On essaie les différents assemblages de pentaminos (5 carrés assemblés). Voici une solution, il en existe d autres (les retournements et rotations n'ont pas été tracés).

8 VENDREDI 16 mars Enigme 1 d après Le rallye de Champagne - Ardennes Le rouge et le noir Julien et Mathilde s amusent à empiler les uns sur les autres 5 jetons rouges et 5 jetons noirs et à comparer leur score à partir du barème suivant : un jeton situé entre deux jetons de même couleur rapporte 4 points ; un jeton situé entre deux jetons de couleurs différentes rapporte 2 points ; un jeton situé à côté d un seul jeton et de même couleur que lui rapporte 1 point ; un jeton situé à côté d un seul jeton de couleur différente ne rapporte pas de point. Quel est le meilleur score possible? On dispose de 10 jetons. On atteindra le score maximum si on arrive à trouver un arrangement pour que chaque jeton rapporte un maximum de points. Si un jeton est encadré par deux jetons de même couleur alors, il vaut 4 points. Dans R/N/R, le jeton noir vaut 4 points. On cherche alors la couleur du jeton suivant, il faut alterner les couleurs pour que cela rapporte plus de points.