Une Approche Globale D optimisation des Structures Métalliques avec les Algorithmes Génétiques

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1 Une Approche Globale D optmsaton des Structures Métallques avec les Algorthmes Génétques Nzar Bel Hadj Al LOCIE Unversté de Savoe, Savoe Technolac, Le Bourget du Lac cedex RESUME. En Constructon Métallque, les contrantes de temps et de ressources oblgent les concepteurs à lmter le nombre de confguratons à consdérer en phase précoce de concepton ce qu rend dffcle l optmsaton globale des coûts de réalsaton des structures. Nous proposons c une méthode d optmsaton pour la concepton globale des structures métallques. L objectf étant de mnmser leur coût global de producton. La méthode est basée sur l applcaton des Algorthmes Génétques. Les contrantes de concepton sont formulées à la base de la réglementaton Eurocode 3 et elles sont prses en compte dans l AG à travers une foncton de pénalsaton. Les varables de concepton sont consttuées par les caractérstques dmensonnelles des dfférents éléments, le type des assemblages et le type des appus. Des résultats d optmsaton seront présentés pour décrre la méthodologe proposée. MOTS-CLÉS : Concepton Globale, Optmsaton de Structures, Algorthmes Génétques. ABSTRACT. The overall desgn of steel structures related to the defnton of structural jonts, connectons and supports plays an mportant role n the analyss of steel structures and affects consderably ts whole producton cost. However, due to tme and resource constrants, structural desgners tend to lmt the range of alternatve confguratons consdered especally n early desgn. A genetc algorthm based optmsaton method s presented for the overall desgn of steel structures. In the objectve functon, the whole producton cost s mnmsed. The desgn constrants are formulated accordng to Eurocode3 and are handled through the concept of penalty functon. Three desgn varables are consdered: cross-sectonal sze of members, the type of beam-to-column connectons and the type of supports. Optmsaton results are shown to llustrate the proposed methodology and approprate conclusons are drawn. KEYWORDS : Overall Desgn, Structural Optmsaton, Genetc Algorthms. 1. INTRODUCTION Dans le cycle de ve d une structure métallque, la phase de concepton est souvent le leu de dscontnutés qu empêchent l optmsaton globale des coûts de producton. Durant cette phase, dfférents tratements technques ont leu pour vérfer la fasablté de l ouvrage, au regard de contrantes structurelles, de vosnage, de mse en œuvre, etc. Cependant, ces vérfcatons ont leu une fos que le concepteur a effectué les chox prncpaux sur la forme de l ouvrage, la dsposton des dfférents composants, le système porteur, le système de fondaton, etc. Ces chox nfluencent d une façon consdérable les caractérstques technques et économques du projet et la réalsaton de l ouvrage. En effet, on constate qu une part sgnfcatve (70-80 %) du coût total du projet est mse en jeu à cette étape du processus de producton en Constructon Métallque (Rafq, 2000). Il est donc nécessare de s assurer que les décsons prses au cours de cette phase soent cohérentes. Par contre, lorsque l ntégraton des contrantes technques en amont est nsuffsante, elle condut parfos à des ncohérences et nécesste la remse en queston des solutons proposées en amont. Ce qu peut être la source de coûts supplémentares et de retards dans la réalsaton. L approche tradtonnelle d optmsaton des structures métallques est basée sur la mnmsaton du pods de la structure. Cependant, les assemblages dépassent rarement les 5 % du pods total d une 199

2 ossature. Ce fable pourcentage cache en réalté un coût élevé pouvant aller jusqu'à 30 % du coût total de fabrcaton de la structure (Hamchaou, 1997). En effet, le prx d une ossature est consttué majortarement par le coût de la man d œuvre qu dépend essentellement de la complexté des assemblages. Une défnton optmsée de la structure, effectuée à la base du seul crtère pods, peut donc donner leu à des dspostons constructves lon d être optmales en termes de coût de réalsaton. D autre part, la modélsaton des assemblages peut affecter, de manère sensble, la répartton des efforts ntéreurs dans la structure et également les efforts à reprendre dans les fondatons. C est la rason pour laquelle l Eurocode 3 (à travers son Document d Applcaton Natonale) permet mantenant l utlsaton et la justfcaton des assemblages sem-rgdes. L objectf étant de s approcher, le plus possble, du comportement réel des assemblages. La prse en compte du comportement des nœuds lors de l analyse globale est un aspect novateur mas prometteur. Les mértes économques de cette approche ont fat l objet de dverses analyses comparatves (Colson et al, 1996). Sa mse en œuvre se trouve largement facltée par les logcels d analyse approprés déjà dsponbles sur le marché (Galea et al, 1998) et les dvers ades au calcul, permettant de caractérser les nœuds (Jaspart, 1994). L optmsaton du processus de concepton globale des structures métallques passe donc par l antcpaton des problèmes de constructon plus en amont dans les phases précoces de concepton. Pour cela nous avons élaboré une méthodologe d optmsaton basée sur la mnmsaton du coût global de réalsaton de la structure. Ce coût ntègre les coûts matère, fabrcaton et montage de la superstructure métallque ans que les coûts matère et réalsaton des systèmes de fondaton. Cette approche d optmsaton globale tent compte en plus des caractérstques dmensonnelles des éléments, de la nature des appus et de la concepton des assemblages. L optmsaton est basée sur l applcaton des Algorthmes Génétques. 2. FORMULATION DU PROBLEME DE CONCEPTION GLOBALE Le problème de la concepton globale des structures métallques peut être posé comme un problème d optmsaton qu consste à mnmser le coût global de la structure en respectant les contrantes de dmensonnement défnes par la réglementaton Eurocode 3 et formulées c-dessous : la résstance des sectons transversales : N sd, M sd, + γ M pour =1,, n où n : nombre d éléments ; N M R, R, [Eq.1] N sd : effort normal de calcul ; N R : effort normal résstant ; M sd : moment fléchssant de calcul ; M R : moment fléchssant résstant ; γ M : facteur partel de sécurté ; la stablté au flambement des éléments : N sd, k. M sd, + 1 pour =1,, np avec np : nombre de poteaux ; χ N M. R, R, χ : coeffcent de flambement ; k : coeffcent de moment ; [Eq.2] la lmtaton des déformatons des éléments fléchs : v v pour =1,, nb avec nb : nombre de poutres ; [Eq.3] lm, v : déformaton d un élément par rapport à la lgne de ses appus ; La lmtaton des déformatons horzontales d ossatures : 200

3 u u pour =1,, nn avec nn : nombre de nœuds ; [Eq.4] lm, u : déplacement horzontal en tête de poteau EVALUATION DU COUT DE PRODUCTION D UNE STRUCTURE METALLIQUE Le coût global de la structure est composé par deux enttés élémentares : le coût de la superstructure métallque et le coût des fondatons. Le coût de la superstructure nclut le coût des profls, des éléments d assemblage poutre-poteaux, des attaches en peds de poteaux, le coût de fabrcaton en ateler des dfférents composants ans que le coût de montage sur chanter. Le coût des fondatons est composé par le coût des terrassements, des matéraux et de la réalsaton des fondatons Le coût matère Le coût matère de la superstructure nclut le coût des profls et des assemblages. Le coût matère des assemblages est la somme des coûts élémentares des dfférents composants des assemblages et des éléments d attache en peds de poteaux (platnes, boulons, cornères, radsseurs, goujons, etc..) Le coût de fabrcaton et de montage Le coût de fabrcaton en ateler des dfférents éléments de la structure est obtenu par décomposton en coûts de revent élémentares d opératons d exécuton. Le chffrage des coûts untares s effectue à travers l estmaton des temps d opératon, pus par l applcaton d un coût horare global par opératon. La durée d une opératon de producton en ateler est la somme des temps untares d exécuton ntégrant la préparaton, la fabrcaton et la manutenton. Le coût horare global correspond au coût de man d œuvre et au coût d explotaton des machnes pour chacune des opératons de fabrcaton dans l ateler. L estmaton des durées d exécuton est basée sur le modèle d évaluaton économque proposé par Hamchaou (Hamchaou et al, 1998) et étable à la base de chronométrages en ateler des opératons élémentares de producton (scage, oxycoupage, usnage de trous, soudage, etc..). Ce modèle a été actualsé et complété pour être utlsé comme outl d évaluaton économque représentatf et fable dans cette étude (fgure 1). Elément 1 Plat Elément 2 Elément de structure (Assemblage Poutre-Poteau ) Programme d'exécuton de l'élément Estmaton de la durée de fabrcaton Base de Données Opératons de fabrcaton OPERATIONS DE FABRICATION Elément 1 Elément 2 Plat DEBIT - USINAGE Mse à longueur Mse à longueur Mse à longueur Usnage 6trous Usnage 6trous SOUDAGE Plat sur Elément 2 MONTAGE Boulonnage (6 boulons) Fgure 1 : Evaluaton du coût de fabrcaton d un élément de structure Le coût des fondatons Le coût des fondatons est composé de deux enttés élémentares : le coût des terrassements (foulles en rgole ou en puts) et le coût de réalsaton des fondatons qu comprend : la fabrcaton et le coulage du béton, le coffrage éventuel et le ferrallage. 201

4 2.2. LES VARIABLES D OPTIMISATION Les varables de concepton, permettant de générer les dfférentes solutons de concepton d une structure, sont de tros types : les caractérstques dmensonnelles des éléments, le type des assemblages entre ces derners (assemblages poutre-poteau, poutre-poutre, etc..) et le type des lasons entre les poteaux et les massfs de fondaton Les caractérstques dmensonnelles des éléments Les éléments de la structure seront choss dans des lstes de proflés standards. Dans cette étude, les poutres seront choses dans une lste de 18 éléments de poutrelles IPE avec une hauteur varant de 80 à 600 mm. Pour les poteaux, on va consdérer des poutrelles de type HEB avec une hauteur varant de 100 à 600 mm. Ce chox nous permettra par la sute de détermner faclement les caractérstques de flexon et de rgdté des assemblages Le type des appus Pour les appus de la structure, nous allons consdérer les deux confguratons suvantes : - 1 : ped de poteau artculé (poteau fxé par une platne d extrémté seule); - 2 : ped de poteau encastré (poteau fxé par une platne d extrémté rade); Le type des assemblages Pour les assemblages poutre-poteau on va consdérer les cnq types d assemblages de la fgure 2. Le nombre de confguratons a été délbérément lmté aux types d assemblages les plus utlsés en Europe. Les caractérstques prncpales de ces assemblages en termes de flexblté et de résstance sont détermnées à la base du modèle SPRINT (Jaspart, 1994). Assemblage par platne d extrémté débordante avec radsseurs (Lason rgde) Assemblage par platne d extrémté débordante (Lason sem-rgde) Assemblage par platne d extrémté non débordante (Lason sem-rgde) Assemblage par cornères d âme et de semelles (Lason sem-rgde) Assemblage par cornères d âme (Lason artculée) Fgure 2 : Les types d assemblages étudés. 3. OPTIMISATION GLOBALE DES STRUCTURES METALLIQUES Pour le problème de concepton globale, la non-lnéarté de la foncton objectf et des contrantes ans que le caractère dscret des varables de concepton nous oblgent à écarter d emblée les 202

5 méthodes de type : gradent ou de programmaton lnéare, dynamque ou non-lnéare. D autre part, la prse en compte smultanée de tros types de varables d optmsaton augmente consdérablement la talle de l espace de recherche. Les rasons ctées c-dessus, justfent le recours à des heurstques pour résoudre le problème de concepton globale. Ans nous proposons c une approche basée sur l applcaton des Algorthmes Génétques. Les AG s nsprent des mécansmes de l évoluton darwnenne et de la Génétque Moderne, ls sont utlsés comme outl d optmsaton ou de recherche combnatore. La premère formulaton rgoureuse des prncpes généraux des algorthmes génétques est due à John H. HOLLAND. On peut également consdérer avec beaucoup d ntérêt les travaux de Goldberg (1989) qu proposent les développements les plus récents METHODOLOGIE DE RECHERCHE DE LA CONCEPTION OPTIMALE PAR AG Les AG ont été utlsé récemment pour la résoluton de certans problèmes d optmsaton de structure où ls ont montré de nombreux avantages par rapport aux méthodes classques d optmsaton. Néanmons, ces algorthmes convennent meux, par défnton, aux problèmes d optmsaton sans contrantes. Pluseurs technques ont été utlsé pour la prse en compte des contrantes dans les AG (Hasançeb et al, 2000). Une soluton courante consste à ntégrer à la foncton d évaluaton des pénaltés pour les ndvdus qu ne respectent pas les contrantes. Ces pénaltés dépendent en général du nombre et/ou de «l mportance» des contrantes volées. Parm les dfférentes formes de pénalsaton, nous avons chos une forme smplfée qu consste à utlser une normalsaton des contrantes vsant à leur donner le même pods dans la foncton objectf. Une contrante s écrvant sous la forme : f I, X, X b [Eq.5] ( a n ) peut être transformée sous la forme normalsée suvante : f g ( I, X a, X n ) = 1 0 [Eq.6] b Avec I, X a, X n : les vecteurs des varables de concepton. Cette méthode de pénalsaton permet de mnmser sans contrantes la foncton F suvante : m F = C 1 + K P [Eq.7] = 1 où C est la foncton objectf coût du problème ntal, K est une constante à chosr selon le problème et P est la valeur de la pénalsaton évaluée de la façon suvante : g s g > 0 P = avec = 1,.., m : nombre total de contrantes. [Eq.8] 0 s g CODAGE DES STRUCTURES Chaque soluton de concepton possble est codée dans l AG par un chromosome consttué des tros partes correspondantes aux tros types de varables d optmsaton. Chacune de ces tros partes est consttué d autant de gènes que de varables de concepton dans une structure. La fgure 3 montre la structure d un chromosome destné au codage d un portque à deux étages. 203

6 Chromosome L2 3 L L1 4 L4 Barres Lasons Appus 1 6 A1 A2 Fgure 3 : Défnton d un chromosome DEROULEMENT DE L AG Les algorthmes génétques sont des algorthmes tératfs qu suvent le schéma classque des algorthmes évolutonnstes. Leur fonctonnement comprend les étapes suvantes : (1) Génératon de la populaton ntale : A l ntalsaton de l algorthme, une populaton de talle fxée est générée aléatorement. Elle est en général réparte unformément sur l espace de recherche. Chaque ndvdu est ensute évalué sur la base de la foncton objectf F qu consttue la foncton «ftness» du chromosome. (2) Sélecton : Pour la génératon k, une sélecton au hasard par roue de lotere nous permet de reprodure une parte de la populaton en foncton de la ftness de chaque ndvdu : plus la ftness d un ndvdu est élevée, plus l sera reprodut dans la nouvelle populaton. On a ajouté un prncpe d éltsme dans le processus de sélecton destné à conserver systématquement le melleur ndvdu de la populaton courante dans la génératon suvante. (3) Crosement : On chost des couples d ndvdus parents au hasard dans cette nouvelle populaton et on leur applque, avec une certane probablté (P c ), l opérateur de crosement. Durant cette opératon, un pont de crosement est chos aléatorement sur les deux chromosomes ; on ntervertt alors les partes des parents de part et d autre du pont de crosement pour former deux nouveaux ndvdus. Les enfants remplacent alors les parents dans la populaton de la génératon k+1. L opérateur de crosement est tradtonnellement l heurstque prépondérante d un Algorthme Génétque. (4) Mutaton : On applque ensute l opérateur de mutaton à chaque ndvdu avec la probablté P m, qu est en général chose avec un ordre de magntude plus fable que P c. L opérateur classque de mutaton chost aléatorement un locus sur le chromosome et remplace la valeur du gène chos par une autre du même domane. Les mutants remplacent alors leurs parents dans la nouvelle génératon k+1. (5) Les ndvdus qu n ont sub n crosement n mutaton sont recopés tels quels dans la nouvelle populaton. (6) On rétère ces opératons à partr de la 2 étape jusqu à ce qu un certan crtère d arrêt sot satsfat. Dfférents crtères d arrêt de l Algorthme Génétque peuvent être retenus : nombre de génératons fxé (temps constant), convergence de la populaton, populaton n évoluant plus suffsamment, 4. OPTIMISATION DE LA CONCEPTION D UN PORTIQUE A DEUX ETAGES La méthode d optmsaton présentée est utlsée pour rechercher la concepton optmale du portque à deux étages de la fgure 4. Les varables d optmsaton sont les tros groupes de barres (B1, B2 et B3), les deux groupes de lasons (L1et L2) et les tros appus de la structure (A1, A2 et A3). 204

7 L analyse de la structure est fate moyennant le programme PEPMcro (Galea et al, 1994). Cette analyse nous permet de détermner les sollctatons agssants sur les dfférents éléments de la structure ans que les déplacements de ses nœuds. La détermnaton des caractérstques de rgdté et de résstance des lasons sem-rgdes est effectuée à la base du modèle smplfé «SPRINT» (Jaspart, 1994). 15 KN 30 KN/m 30 KN/m L 1 B 2 L 2 B 2 L 1 4 B1 B 3 B1 15 KN 30 KN/m 30 KN/m L 1 B 2 L 2 B 2 L 1 4 B1 B 3 B1 6 6 A1 A 2 A 3 Fgure 4 : Structure étudée et désgnatons des dfférentes varables de concepton. Dfférents tests, nous ont perms de défnr les paramètres de notre AG : la talle de la populaton (100), le nombre total de génératons (200), la probablté de crosement (0.8) et la probablté de mutaton (0.15) (Bel Hadj Al et al, 2002). Les résultats d optmsaton de la structure sont présentés au tableau 1. On compare c la soluton de concepton avec des assemblages classques (assemblages artculés ou encastrés) avec la soluton obtenue en adoptant une modélsaton sem-rgde des assemblages. On constate que la producton de la soluton S2 est plus chère d envron 16 %. La fgure 6 présente la répartton du gan réalsé dans les dfférents postes de producton de la structure. Tableau 1 : Comparason des résultats d optmsaton pour la structure étudée. Varables S1 : Soluton de concepton avec des assemblages sem-rgdes S2 : Soluton de concepton avec des assemblages classques Barres : B1-B2-B3 HEB 160 IPE 270 HEB 100 HEB 160 IPE 300 HEB 100 Appus : A1-A2-A3 Encastré Artculé Encastré Encastré Artculé Encastré Lasons : L1-L2 L1 : assemblage par cornères d âme et de semelles; L2 : assemblage par cornères d âme et de semelles; L1 : assemblage par platne d extrémté débordante avec radsseurs ((lason rgde); L2 : assemblage par platne d extrémté débordante avec radsseurs ((lason rgde); Coût total (Euros) Coût Assemblages / Coût total 16.5 % 22.9 % Coût Fondatons / Coût total 14.1 % 12.0 % Pods Assemblages / Pods total 4.6 % 6.2 % Pods total (KN) Soluton sem-rgde Soluton classque Matéraux Assemblages Montage Fondatons Cout Global Fgure 5 : Coûts relatfs des solutons de concepton dans dfférents postes de producton. 205

8 Cette comparason permet de montrer que l utlsaton d assemblages sem-rgdes permet d obtenr des gans sur le coût de réalsaton global de la structure. En effet, l utlsaton d assemblages classques entraîne une plus grande complexté des assemblages, donc des coûts de réalsaton plus élevés, sans apporter une optmsaton sgnfcatve au nveau de la talle des profls utlsés ou sur les efforts à transmettre aux fondatons. 5. CONCLUSION Les premers résultats d optmsaton présentés dans cet artcle, montrent que l utlsaton des AG pour la résoluton du problème de concepton globale des structures métallques est une approche très prometteuse. D autre part, nous avons pu mettre en évdence les avantages économques de notre approche d optmsaton du coût global des structures. Ces avantages provennent à la fos d un gan de pods et d une smplfcaton des assemblages. La méthodologe que nous venons de décrre dans cet artcle est actuellement utlsée en smulaton sur un certan nombre de structures types. Les résultats sont explotés en vue de la formulaton de règles de concepton globale des structures métallques en phase précoce de concepton. BIBLIOGRAPHIE Bel Hadj Al N., Mangn J.C., Cuttng-Decelle A.F., (2002) Optmsaton of the steel structures desgn wth genetc algorthms. Proc. of the 3 rd nternatonal conference n decson makng n urban and cvl engneerng. London, 6-8 November Colson A., Hotter J.M., Morcet A. (1996) Modèle smplfé d assemblages sem-rgdes Analyse économque comparatve. Revue de la Constructon Métallque, 4, Galea Y., Bureau A., (1998) PEPMcro - Analyse plastque au second ordre de structures planes à barres Manuel d utlsaton, CTICM, France. Goldberg D.E. (1989) Genetc Algorthms n Search, Optmzaton, and Learnng. Addsson Wesley. Hamchaou M., Mangn J.C., Cuttng-Decelle A.F. (1998) Un modèle de calcul du coût des assemblages en vue d une concepton économque en Constructon Métallque. Revue de la Constructon Métallque, 4, Hamchaou M. (1997) Concepton économque des assemblages en Constructon Métallque. Thèse de doctorat, Unversté de Savoe, France. Hasançeb O., Erbatur F. (2000) Constrant handlng n genetc algorthm ntegrated structural optmzaton, Acta mechanca, 139, Jaspart J.P. (1994) Steel moment connectons accordng to Eurocode3, Smple desgn ads for rgd and sem-rgd jonts. In: COST C1 Proceedngs of the second state of the art workshop, Prague, Rafq M. Y. (2000) A desgn support tool for optmum buldng concept generaton usng a structured genetc algorthm. Internatonal Journal of Computer Integrated Desgn and Constructon, Volume 2, N 2,