TRIANGLES ET QUADRILATERES PARTICULIERS

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1 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 1 TRIANGLES ET QUADRILATERES PARTICULIERS I. Triangles : 2 A. Construction d un triangle connaissant ses 3 longueurs : 2 B. Trois sortes de triangles particuliers : 2 1. Triangle isocèle : 2 2. Triangle équilatéral : 4 3. Triangle rectangle : 5 II. Quadrilatères : 6 A. Trapèze : 6 B. Parallélogramme : 7 1. Définition : 7 2. Construction d un parallélogramme à partir des côtés : 7 3. Propriétés : 8 C. Rectangle : 9 1. Définition : 9 2. Construction d un rectangle à partir des côtés : 9 3. construction d un rectangle à partir d un côté et d une diagonale : 9 4. Propriétés : 10 D. Losange : Définition : Construction d un losange: Propriétés : 12 E. Carré : Définition : Conséquences de la définition : Construction d un carré à partir des côtés : 13 F. Récapitulatif : comment prouver qu un quadrilatère ABCD est : 14

2 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 2 I. TRIANGLES : Définition : Un triangle est un polygone à. côtés. A. Construction d un triangle connaissant ses 3 longueurs : Pour tracer un triangle quelconque au compas et à la règle graduée, il suffit de connaître ses trois longueurs, (2 voire 1 longueur seulement si le triangle est spécial). Méthode générale pour tracer une figure à partir d un énoncé : On fait d abord un petit croquis à main levée de la figure pour avoir une idée de la forme et on reporte sur ce petit croquis les informations données par l énoncé (longueurs, angles, codages etc) Puis, on suit le plan de construction, étape par étape, à la règle et au compas, pour construire proprement la figure. Attention aux notations! Tracez le triangle ABC sachant que AB = 8 cm, AC = 3 cm, BC = 6 cm. tracer le segment (le plus grand en général)... de longueur. cm. construire au compas le point. tel que : = cm et. = cm. B. Trois sortes de triangles particuliers : Comment rendre particulier un triangle quelconque comme celui que vous venez de construire? 1 En agissant sur les longueurs des côtés ou/et sur la position relative de deux côtés. 1. Triangle isocèle : L adjectif isocèle est formé à partir de 2 mots grecs : isos égal et skelos jambes. Définitions : Un triangle isocèle est un triangle qui a.. côtés de même Le sommet où le triangle est isocèle s appelle le sommet principal. Le côté opposé au sommet principal s appelle la base. Figure : D après le codage. =.. Donc le triangle ABC est isocèle en (il faut toujours préciser en quel sommet un triangle est isocèle!) Son sommet principal est Sa base est le segment.. C A B 1 Je suis sûr que vous vous posez cette question depuis le jour de votre naissance? Oui ou non?.

3 Cours de Mr Jules v1.1 Classe de Sixième Contrat 2 page 3 Construction : Pour tracer un triangle isocèle, il suffit de connaître 2 longueurs : celle de la base et celle d un côté. Tracer le triangle isocèle MOU de sommet principal M, tel que MO = 3 cm et OU = 5 cm. tracer la base de longueur. cm. construire le sommet principal tel que :. = et. = codage! Traduction mathématique de la définition des triangles isocèles : (faites un petit croquis) utiliser l égalité de 2 longueurs d un triangle isocèle : (1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle isocèle en A.. =. prouver qu un triangle est isocèle en un point (réciproque) : (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle AB = AC ABC est.. en.. Exercice Tracer le cercle. Sur ce cercle, placer A et B deux points figure ( O ; 3 ) distincts 2 non diamétralement opposés. Quelle est la nature du triangle BOA? Justifier évidemment! O 2 Des points distincts sont des points qu on peut distinguer : ils sont séparés, ils ne sont pas confondus. «Je veux vivre avec toi, je ne veux plus être distincte de toi!» disait Juliette à Roméo.

4 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 4 2. Triangle équilatéral : L adjectif équilatéral est formé de deux mots latins : aequus égal et lateris côté. Définition : Un triangle équilatéral est un triangle qui a.. côtés de même Remarque : Un triangle équilatéral est isocèle en chacun de ses sommets! Construction : Pour tracer précisément un triangle équilatéral, il suffit de connaître 1 longueur : celle de n importe quel côté! Tracer un triangle équilatéral NUL tel que NU = 3 cm. tracer le côté... de longueur. cm. construire le sommet tel que :. = cm et. = cm tracer et codage! La construction donne une unique figure. Traduction mathématique de la définition des triangles équilatéraux : (faites un petit croquis) utiliser l égalité des 3 longueurs d un triangle équilatéral : (1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle équilatéral prouver qu un triangle est équilatéral (réciproque) :.. =. = (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle AB = AC = BC ABC est. Exercice : Sur la figure ci contre, MELO est un carré. Ajouter le codage manquant. D après le codage AME est un triangle.. Prouver que LO = AE. L E A O M

5 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 5 3. Triangle rectangle : L adjectif rectangle est formé à partir de deux mots latins : rectus droit et angulus angle. Définitions : Un triangle rectangle est un triangle qui a.. côtés Le plus grand côté, opposé à l angle droit, s appelle l hypoténuse. Pour tracer un triangle rectangle, il suffit de connaître 2 longueurs : celles de deux des 3 côtés. Construction : on vous donne les deux côtés de l angle droit. Tracer un triangle FOL rectangle en F tel que FO = 3 cm et FL = 5 cm. tracer le côté... de l angle droit de longueur. cm. tracer l autre côté.. de l angle droit perpendiculairement à.. tel que :. =.. cm tracer le dernier côté codage! Construction : on vous donne un côté de l angle droit et l hypoténuse. Tracer un triangle CIL rectangle en C tel que CI = 3 cm et IL = 5 cm. tracer le côté... de l angle droit de longueur. cm. tracer, la perpendiculaire à (CI) passant par C. tracer un troisième point. à 5 cm de I et sur. Tracer [LC]. codage! remarque : la figure construite n est pas unique. Traduction mathématique de la définition des triangles rectangles : (faites un petit croquis) utiliser la perpendicularité d un triangle rectangle : (1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle rectangle en A.. prouver qu un triangle est rectangle en un point (réciproque) : (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) ABC est un triangle... ABC est.. en.

6 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 6 Exercice : Sur la figure ci contre on sait que : (PO) // (d) ; (TO) (OP). 1) Placer les 3 points et le codage manquants. 2) Quelle est la nature de TOP? Justifier. (d) Exercice : Soit le triangle TOC vérifiant (TO) (CT) et TO = CT Sans faire de figure, quelle est la nature du triangle TOC? Justifier. II. QUADRILATERES : Définition : Un quadrilatère est un polygone à. côtés. Exercice : reproduisez exactement le quadrilatère ci dessous à droite. 2 côtés dits opposés 2 côtés dits adjacents ou consécutifs Question : Comment rendre particulier un quadrilatère quelconque comme celui que vous venez de reproduire? En agissant sur la position relative des côtés ou/et sur les longueurs des côtés bien sûr! Commençons par rendre deux côtés parallèles. A. Trapèze : 3 Définitions : Un trapèze est un quadrilatère non croisé qui a.. côtés opposés. Le petit côté parallèle s appelle la petite base. Le grand côté parallèle s appelle la.. base.

7 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 7 Figure : Construire un trapèze MATH tel que : [MA] soit la petite base et MA = 3 cm ; [TH] soit la grande base et TH = 4 cm ; AT = TH = cm. 2 tracer la grande base... de longueur. cm. placer un point A à 2 cm de T. tracer la petite base passant par A et. à la grande base [TH]. tracer [.] Remarque : cette construction ne donne pas un trapèze unique. Maintenant, si au lieu d avoir seulement 2 côtés parallèles dans notre trapèze, on en mettait 4? Génial! Essayez de dessiner à main levée un trapèze avec les côtés opposés parallèles 2 à 2 (et sans angles droits dans le cas général) B. Parallélogramme : 1. Définition : A quoi ressemble ce quadrilatère? Un parallélogramme est un trapèze qui a ses côtés opposés. deux à deux. Remarque : Puisqu un parallélogramme a ses côtés opposés 2 à 2, il a au moins deux côtés parallèles. Donc les parallélogrammes font partie de la famille des trapèzes. 2. Construction d un parallélogramme à partir des côtés : Pour tracer un parallélogramme, il suffit de connaître 2 longueurs : celles de deux côtés consécutifs. Tracer un parallélogramme CILS tel que CI = 3 cm et CS = 5 cm. (croquis d abord!) Méthode qui s appuie sur le parallélisme des côtés opposés d un parallélogramme : tracer... de longueur 5 cm. tracer de longueur. cm. tracer la parallèle à (CI) passant par S et la parallèle à (CS) passant par I. Appeler.. le point d intersection. Codage!

8 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 8 Méthode qui s appuie sur l égalité des longueurs des côtés opposés d un parallélogramme. tracer... de longueur 5 cm. tracer de longueur. cm. construire le point.. tel que :.. =.. cm et. =.. cm Tracer [ ] et [..]. 3. Propriétés : Codage! Traduction mathématique de la définition des parallélogrammes : (faites un petit croquis) utiliser le parallélisme dans un parallélogramme : (1 condition ou hypothèse) (2 résultats ou conclusions) ABCD est un parallélogramme (AB). (DC) (BC). (DA) Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère est un. ses côtés sont.. deux à deux. Utilité : cette propriété peut servir à prouver que des droites sont.. prouver qu un quadrilatère est un parallélogramme (réciproque) : (2 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion). // ABCD est un.... //... Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère a ses côtés parallèles 2 à 2, c est un. Utilité : cette propriété peut servir à prouver qu un qua. est un. Exercice : Voici deux parallélogrammes POUR et JURE. Placer les points. Comment sont (PO) et (JE)? Justifier évidemment! Maintenant, si au lieu d avoir seulement les côtés opposés parallèles 2 à 2 dans notre parallélogramme, on ajoutait un angle droit? Chiche? Essayez de dessiner à main levée un parallélogramme avec en plus un angle droit. A quoi cela ressemble-t-il?

9 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 9 C. Rectangle : 1. Définition : Un rectangle est un parallélogramme particulier avec un angle... Conséquence de la définition : Un rectangle vérifie tout ce que le parallélogramme vérifie : en particulier, les côtés opposés d un rectangle sont aussi.. 2 à Construction d un rectangle à partir des côtés : Pour tracer précisément un rectangle, il suffit de connaître 2 longueurs : celles de deux côtés consécutifs. Tracer le rectangle BOUC tel que BO = 3 cm et BC = 5 cm. Méthode qui s appuie sur le parallélisme des côtés opposés d un rectangle. (croquis d abord!) tracer [BC] de longueur. cm. tracer de longueur. cm, perpendiculairement à [BC]. tracer la parallèle à (BO) passant par C et la parallèle à (BC) passant par O. Appeler.. le point d intersection. Codage! Méthode qui s appuie sur l égalité des longueurs des côtés opposés d un rectangle. tracer [BC] de longueur. cm. tracer de longueur. cm, perpendiculairement à construire le point tel que :. = cm et. = cm tracer [.] et [..]. Codage! 3. construction d un rectangle à partir d un côté et d une diagonale : On peut aussi tracer un rectangle connaissant la longueur d un côté et la longueur des diagonales. Construire le rectangle EURP tel que PE = 4 cm et PU = 5 cm. Tracer. de longueur 4 cm. Tracer la perpendiculaire à [PE] passant par E. Au compas, construire U sur la perpendiculaire tel que : PU = 5 cm Tracer la perpendiculaire à [PE] passant par P. Tracer la perpendiculaire à [EU] passant par U. Ces 2 droites sont sécantes en.

10 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page Propriétés : Propriétés : (faites un petit croquis) utiliser la perpendicularité dans un rectangle : (1 condition ou hypothèse) (4 résultats ou conclusions) ABCD est un rectangle ABCD a... angles droits 3. Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère est un rectangle, il possède angles Utilité : cette propriété peut servir à prouver que deux droites sont. Reconnaître un rectangle grâce aux angles (réciproque) : (4 conditions ou hypothèses) (1 résultat ou conclusion) ABCD est un quadrilatère avec 3 angles droits ABCD est un rectangle. Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère a. angles droits, c est un.. Utilité : cette propriété sert à prouver qu un quadrilatère est un Exercice : On a construit la figure ci contre, sachant que : (AB) // (CD) (AB) (AC) (AB). (BD) On veut prouver que ABDC est un rectangle. Méthode a) : démontrer que (AC) (CD). En déduire que ABDC est un rectangle. Méthode b) : démontrer que (AC). (BD). Déduisez en que ABDC est un parallélogramme. Puis déduisez en que ABDC est un rectangle. A C B D Méthode a) Méthode b) 3 On retrouve la définition du rectangle donnée en primaire : un rectangle est un quadrilatère avec 4 angles droits.

11 Cours de Mr Jules v1.0 Classe de Sixième Contrat 2 page 11 Maintenant, si dans un parallélogramme, au lieu d ajouter un angle droit (ce qui a donné le rectangle), les 4 côtés avaient subitement la même longueur, comme par magie? Essayez de dessiner à main levée un parallélogramme avec en plus tous ses côtés de même longueur. A quoi cela ressemble-t-il? D. Losange : 1. Définition : Un losange est un parallélogramme particulier avec ses 4 côtés de même.. Conséquence de la définition : Un losange vérifie tout ce que le parallélogramme vérifie : en particulier, les côtés opposés d un losange sont aussi.. 2 à Construction d un losange: a) à partir des côtés : Pour tracer un losange quelconque, il suffit de connaître 1 longueur : celles d un des 4 côtés. Tracer un losange PUNK tel que PU = 3 cm. tracer le côté... de longueur 3 cm. tracer [PK] de longueur. cm. construire le point.. tel que :.. =.. cm et. =.. cm tracer [ ] et [ ]. Codage! Remarque : cette construction ne donne pas un losange unique! b) à partir d un côté et d une diagonale : Pour tracer un losange bien précis, il suffit de connaître la longueur d un côté et la longueur d une des 2 diagonales. Tracer un losange FUNK tel que FU = 3 cm et FN = 5 cm. (voir aussi ex. 2 p.153) tracer la diagonale... de longueur 5 cm. construire le point U tel que : FU =. cm et NU =. cm Tracer [...] et [UN]. construire le point.. tel que :.. =.. cm et. = cm Tracer [...] et [.]. Codage! Remarque : cette construction donne cette fois ci un losange unique.

12 Cours de Mr JULES Classe de Sixième Contrat 2 page Propriétés : Propriété : (faites un petit croquis) utiliser les égalités des longueurs dans un losange : (1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion) ABCD est un losange AB = BC = CD = DA Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère est un., ses 4 côtés sont de même. Utilité : cette propriété sert à montrer que des. sont égales. Réciproque : Reconnaître un losange grâce aux longueurs: (1 condition ou hypothèse) (1 résultat ou conclusion)... =... =. =... ABCD est un. Autrement dit : Lorsqu un quadrilatère a côtés de même c est un Utilité : cette propriété sert à prouver qu un quadrilatère est un.. Exercice : 1) Sur la figure ci contre, BAD est un triangle équilatéral. Placer le codage manquant. Compléter la phrase suivante : «D après le codage, AB. AC. BC. Donc ABC est un triangle» 2) Prouver que ADBC est un losange. D A B C Et pour finir, si on fusionnait un losange et un rectangle? Essayez de dessiner à main levée un rectangle qui soit en même temps un losange. Essayez de dessiner à main levée un losange qui soit en même temps un rectangle. Figure Figure A quoi ressemblent les deux figures?

13 Cours de Mr JULES Classe de Sixième Contrat 2 page 13 E. Carré : 1. Définition : Un carré est un parallélogramme particulier à la fois losange et rectangle. 2. Conséquences de la définition : Un carré vérifie tout ce que le parallélogramme, le losange et le rectangle vérifient. En particulier : Puisqu un carré fait partie de la famille des parallélogrammes, les côtés opposés d un carré sont aussi.. 2 à 2. Puisqu un carré fait partie de la famille des.., les 4 côtés d un carré sont aussi de même. Puisqu un carré fait partie de la famille des, les 4 angles d un carré sont aussi. 3. Construction d un carré à partir des côtés : Pour tracer précisément un carré, il suffit de connaître 1 longueur : celle d un des 4 côtés. Tracer le carré ROCK tel que RO = 3 cm. tracer... de longueur 3 cm. tracer [RK] de longueur. cm perpendiculairement à construire le point.. tel que :.. =.. cm et. =.. cm tracer [ ] et [ ].! Codage complet Cette construction est en fait exactement la même que celle de la méthode pour le rectangle (p.21), ce qui n est pas étonnant puisqu un carré est aussi un rectangle. La méthode pour le rectangle (p.20) marche aussi pour le carré mais elle est moins pratique.

14 Cours de Mr JULES Classe de Sixième Contrat 2 page 14 F. Récapitulatif : comment prouver qu un quadrilatère ABCD est : Un trapèze? Il faut prouver que ABCD a 2 côtés parallèles. Un parallélogramme? soit vous prouvez que ABCD a ses côtés opposés parallèles 2 à 2. soit vous prouvez que ABCD a ses côtés opposés de même longueur. Un rectangle? soit vous montrez que ABCD est un parallélogramme avec en plus un angle droit. soit vous montrez directement que ABCD a 3 angles droits. Un losange? soit vous prouvez que ABCD est un parallélogramme avec 2 côtés consécutifs de même longueur. soit vous prouvez directement que ABCD a 4 côtés de même longueur. Un carré? soit vous prouvez que ABCD est un losange avec en plus un angle droit. soit vous prouvez que ABCD est un rectangle avec en plus 2 côtés consécutifs de même longueur. Le mot de la fin sera un mot d humour : L'évolution de l'enseignement des maths : Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 10F. Il lui coûte les 4/5 du prix de vente. Quel est son profit? 1970 (maths modernes): Un paysan échange un ensemble P de pommes de terre contre un ensemble M de pièces de monnaie. Le cardinal de l'ensemble M est égal à 10 et chaque élément de M vaut 1F. Dessine dix gros points représentant les éléments de M. L'ensemble C des coûts de production est composé de deux gros points de moins que l'ensemble M. Représente l'ensemble C comme un sousensemble de l'ensemble M et donne la réponse à la question : quel est le cardinal de l'ensemble des profits? 1970s: Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 10F. Il lui coûte les 4/5 du prix de vente, c'est-à-dire 8F. Quel est son profit? 1980 : Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 10F. Ses coûts de production sont de 8F et son profit de 2F. Souligne les mots "pommes de terre" et discutes-en avec tes camarades de classe. 1990: Un paysan vend un sac de pommes de terre pour 10F. Ses coûts de production sont de 80% de son revenu. Sur ta calculatrice, trace la représentation graphique de ses coûts de production en fonction de ses revenus. Lance le programme POMDETER pour déterminer le profit. Discute des résultats en groupe de 4 élèves et rédige un compte-rendu qui analyse cet exemple dans le monde réel de l'économie. Adapté de The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 5, May 1994 (Reprinted by Stan Kelly-Bootle in Unix Review, Oct 94).