Dénombrement. 3 ème Maths Mai I. Arrangements :

Transcription

1 Déomremet ème Mths Mi A. LAATAOUI I. Arrgemets : Activité rértoire : Seize équies de footll rticiet à u chmiot. hque équie recotre toutes les utres e deux mtches : u «Aller» u «RETOUR». omie de mtches u totl? ère méthode : O eut réseter le rolème e utilist le schém suivt, elé rre de choix : E E ( E, E ) E ( E, E ) ( mtches ) E 6 ( E, E 6 ) E E ( E, E ) E ( E, E ) ( mtches ) E 6 ( E, E 6 ) E 6 E ( E 6, E ) E ( E 6, E ) ( mtches ) E ( E 6, E ) Le omre de mtches u totl est : 6 x. ème méthode : hque «jourée de chmiot» il y 8 mtches uisque chque équie joue mtches : «Aller» et «Retour», il y «jourées de chmiot» doc 8 x. ommetire : Aelos A l esemle des seize équies A { E, E,.., E 6 }. U mtch est u coule d élémets de A deux à deux disticts ( E i, E j ) vec i j. U coule d élémets deux à deux disticts de A est u rrgemet de élémets de A. Défiitio : Soit A u esemle de élémets ( ). Soit. O elle rrgemet de élémets de A tout ulet d élémets deux à deux disticts de A. U ulet d élémets de A deux à deux disticts est ( x, x, x,., x ) vec x i x j i et j. Remrque : U rrgemet de élémets rmi est u ordre sur élémets choisis rmi élémets. Exercice : Détermier le omre de mots de qutre lettres différetes que l o eut former vec les lettres du mot ONFLIT. Le omre de mots de qutre lettres différetes rmi les set lettres du mot ONFLIT est égle u omre d rrgemets de lettres choisies rmi 7. est doc 7 x 6 x x 8. Déomremet. ème Mths 9.

2 Nottio : Le omre d rrgemets de élémets d u esemle de élémets est oté A. A ( )( )... ( ) c est u roduit de fcteurs turels décroissts à rtir de. Exemles : A 6 A Exercice : O reviet à l éocé de l exercice, comie de mots de qutre lettres différetes cotieet seulemet des cosoes? Le mot ONFLIT cotiet. cosoes sot :... oclusio : hoisir élémets ds u esemle de élémets ET leur imoser u ordre, c est friquer u rrgemet de élémets ris rmi. L ordre iterviet et il y s de réétitio d élémets. Exercices d lictios : - O doe oits disticts. lculer le omre de ioits o uls que l o eut former vec ces oits. - Quize chevux rticiet de out e out à ue course. Déomrer le omre de tiercés ds l ordre ( o suose qu il y s d ex-equo ). - Ue société comred ersoes. omie eut o former de ureux comret u résidet, u secrétire, u trésorier? - omie y - t- il de omres de trois chiffres écrits vec trois chiffres différets choisis rmi les ciq chiffres :,, 7,, 8. - O lce ds ue oîte, 6 iers ortt chcu le om d u élève de l clsse. ( O suose qu il y s des élèves yt même om ) O tire deux iers successivemet et ss remise ds l oîte. - Détermier le omre des tirges ossiles. - Déomrer les tirges our lesquels le om du ér ier est, ds l ordre lhétique, vt le om du ème ier. II. Permuttios : Exercice :. omie de clssemets eut o former vec les 6 élèves de l clsse? ( O suose qu il y s d ex equo ).. omie eut o former de mots vec toutes les lettres du mot ROI, chque lettre ser utilisée ue seule fois? ( les mots euvet voir u ses ou o ). Réoses :. U clssemet est u rrgemet de 6 élémets ris rmi les 6 élèves, doc le omre de clssemets 6 qu o eut former est A e omre est elé omre de ermuttios de 6 élémets.. Défiitio : A étt u esemle de élémets ( ), o elle ermuttio de élémets de A, tout rrgemet de élémets de A. Déomremet. ème Mths 9.

3 Le omre de ermuttios de élémets est lors ( )... fctorielle Exemles :!! x! xx 6! xxx! xxxx. Pr covetio : O ose!. Exercice :. lculer : 7!! x 6!! 8!x!! 8x! o :!!!!! ( )!! ( )! ( )!!! vec (, ) et!. Motrer que our!. Simlifier les exressios :. Motrer que A A, ce omre est oté! et se lit III. omiisos : Exercice : omie l esemle A {,, c, d } t il de rties à élémets? à élémets? à élémet? Solutio : Les rties à élémets que l o eut former à rtir de l esemle {,, c, d } sot : {, } {, c } {, d } {, c } {, d } { c, d } Leur omre est 6. hcue des ires récédetes est dite ue comiiso de deux élémets de A. Leur omre se ote : o lors: 6 Les rties à élémets que l o eut former à rtir de l esemle A sot : {,, c } {,, d } {, c, d } {, c, d } hcu des sous esemles récédets est ue comiiso de trois élémets de A. Leur omre est égl à :. Il e est de même our les rties à élémet de A. est à dire. A A A Vérifier que :!!! Défiitio : Ue rtie à élémets d u esemle de élémets ( ) est elée comiiso de élémets ris rmi. Remrque : L ordre iterviet s et il y s de réétitio d élémets. Le omre de comiisos de élémets d u esemle de élémets ( ) est otée et il est A! égl à!! ( )! Exercice : Quize chevux rticiet de out e out à ue course. Déomrer le omre de tiercés ds le désordre. (O suose qu il y s d ex equo.) omrer u résultt de l exercice ge. Exercice :. Ue ssemlée de 6 ersoes veut désiger ue délégtio de ersoes rmi ses memres. Déomrer les délégtios ossiles.. O veut élire u comité de ersoes choisies rmi. - De comie de mières eut o former ce comité? - De comie de mières si Mosieur X refuse de siéger vec Mosieur Y? Exercice : Ue oîte cotiet oules rouges et oules lches idiscerles u toucher, o tire simultémet oules de cette oîte. Déomremet. ème Mths 9.

4 Déomremet. ème Mths 9. Quel est le omre de tous les tirges ossiles?. Quel est le omre de tirges de oules de même couleur?. Quel est le omre de tirges d ue oule lche et oules rouges?. Quel est le omre de tirges comortt u mois ue oule lche?. Quel est le omre de tirges comortt u lus ue oule lche? Proriétés :. Pour tout et o :. Pour tout o : et. Pour tout o : que tel Exercice :. Résoudre ds, 87.. lculer le lus simlemet ossile.. lculer l vleur du quotiet Trouver l limite de ce quotiet si ted vers l ifii. IV. Formule du iôme de Newto : Exercice : Soiet et deux réels. Déveloer.. Vérifier que Formule du iôme : (, ) IR Démostrtio : (r récurrece). oséquece : Exemles : Déveloer 6 6 et uis et Remrque : Pour oteir fcilemet des, our etit, le trigle de Pscl

5 e trigle est u résultt de l formule de Pscl :. Exercice :. Déveloer 6 6 x x et x x. Démotrer que :. lculer les sommes : ( ) V. Nomre de rties d u esemle fii : Soit A u esemle fii de élémets Ue rtie de élémets de A est ue de élémets choisis rmi les élémets de A. Le omre de rties de élémets de A est. Le omre de toutes les rties de A est : A étt u esemle cotet élémets Le omre de rties de A est L esemle des rties de A est oté Ρ(A). Exemle : Soit A {,,,,, 6}. Le omre de rties de A est. VI. Nomre d lictios d u esemle fii ds u esemle fii : Exercice : Soit A {,, } B {,} Trouver toutes les lictios de A vers B. Solutio : Pour chcu des élémets de A, il y choix ossiles. Le omre de toutes les lictios de A vers B est 8. A et B étt deux esemles fiis de omres d élémets resectifs et Le omre d lictios de A vers B est. Exercice :. omie de uméros de téléhoe à 6 chiffres eut o former vec les chiffres,,,,,, 6, 7, 8, 9.. D u jeu de crtes, o tire successivemet crtes. De comie de fços eut o fire ce tirge : Si l o remet l crte ds le jeu rès voir lu ce qui étit écrit. Si l o e remet s l crte ds le jeu? Résumé : O distigue trois tyes de tirges : Tyes de tirges Successif vec Successif ss remise Simulté Remise U résultt U ulet vec ossiilité de réétitio U ulet d élémets disticts à Ue rtie de élémets Ordre L ordre iterviet L ordre iterviet L ordre iterviet s Nomre de tirges de A élémets rmi Déomremet. ème Mths 9.