COMBINATOIRE & DÉNOMBREMENT

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1 COMBINATOIRE & DÉNOMBREMENT Pour mieux aréheder ce chaitre, il est recommadé de lire celui sur la théorie de esembles. Das tout ce qui suit, ous oteros! le roduit 3..., ce roduit s'aelle "factorielle ". O coviet que! =. Exercice : démotrer que 6! 7! =! (sas calculer!) I) Pricies de base du déombremet ) Pricie de la somme Si des esembles A, A,..., A costituet ue artitio d'u esemble fii E, alors : Card(A ) + Card(A ) Card(A ) = Card(E) Exemle : Combie y a-t-il de carrés dot les côtés sot matérialisés sur la figure ci-cotre? Soit E l'esemble de tous les carrés. Notos A, A, A 3 et A 4 l'esemble de ces carrés ayat our côtés resectifs,, 3 et 4 carreaux. Les sous esembles A, A, A 3 et A 4 costituet ue artitio de E (uisqu'ils 'ot aucu élémet e commu et que leur réuio est E). D'arès le ricie de la somme, Card(E) = Card(A ) + Card(A ) + Card(A 3 ) + Card(A 4 ) = = 3. Il y a doc, au total 3 carrés dot les côtés sot matérialisés sur la figure ci-cotre. Coséqueces Si A et B sot deux arties d'u esemble fii E, alors : ) Card(A B) = Card(A) + Card(B) Card(A B) ) Si A et B sot disjoits alors : Card(A B) = Card(A) + Card(B) 3) Card( A ) = Card(E) Card(A) Démostratios : Démotros tout d'abord les oits ) et 3). ) Les esembles A et B costituet ue artitio de l'esemble A B. 3) Les esembles A et A costituet ue artitio de l'esemble E, doc Card(A) + Card( A ) = Card(E). ) Notos B \ A l'esemble des élémets de B qui e sot as das A et A \ B, l'esemble des élémets de A qui e sot as das B. Remarquos que B \ A = B \ (A B) (c'est-à-dire B \ A est le comlémetaire de A B das B), doc d'arès 3) Card(B \ A) = Card(B) Card(A B). De même, Card(A \ B) = Card(A) Card(A B). Efi, remarquos que B \ A, A \ B et A B costituet ue artitio de A B, doc Card(A B) = Card(B) Card(A B) + Card(A) Card(A B) + Card(A B) d'où ). Exercice : Das u cam de vacaces hébergeat 8 ersoes, 55 ersoes ratiquet la atatio, 33 le teis et 6 e ratiquet aucu de ces deux sorts. Combie de ersoes ratiquet à la fois le teis et la atatio? Notos E l'esemble des vacaciers de ce cam, T l'esemble des ersoes ratiquat le teis et N l'esemble des ersoes ratiquat la atatio. D'arès les doées, Card(E) = 8, Card(N) = 33, Card(T) = 55 et Card(E \ (T N)) = 6. Nous recherchos Card(T N). Or Card(E \ (T N)) = Card(E) Card(T N) = Card(E) Card(T) Card(N) + Card(T N) = 6 d'où : Card(T N) = 6 Card(E) + Card(T) + Card(N) = = 4. E coclusio, 4 ersoes ratiquet à la fois le teis et la atatio. Combiatoire et déombremet age G. COSTANTINI

2 ) Pricie du roduit (ou ricie multilicatif) Si ue situatio comorte étaes offrat resectivemet,,..., ossibilités alors le ombre total d'issues est :... C'est la règle utilisée lorsque ous dressos u arbre. Il e découle le cardial du roduit cartésie : Rael : Si E, E,..., E sot esembles, E E... E rerésete le roduit cartésie de E, E,..., E, c'est-à-dire l'esemble des -ulets (e, e,..., e ) où e E, e E,..., e E. Si E, E,..., E sot esembles de cardial fii, alors : Card(E E... E ) = Card(E ) Card(E )... Card(E ) Exemles : U code comorte deux lettres distictes suivies d'u chiffre o ul. Combie eut-o former de codes disticts? Les trois étaes : choix de la remière lettre, de la deuxième, uis du chiffre offret resectivemet 6, 5 et 9 ossibilités. Le ombre cherché est doc = 585 codes disticts. Nombre d'itiéraires disticts meat de A à C? Nombre d'itiéraires "aller retour" A-C-A 'emrutat que des chemis disticts? A B C Aller simle A-C : 4 3 = Aller retour A-C-A : = 7 Tous les ricies exosés ci-dessus état ituitivemet évidet, ous e réciseros as écessairemet, ar la suite, quad ous les utiliseros. II) Déombremet des -listes Défiitio Ue -liste (ou liste de logueur ) d'u esemble E est u -ulet d'élémets de E. C'est u élémet du roduit cartésie E P = E... E ( facteurs). Exemles : E = { ; ; ;... ; 99}. Ue 5-liste de E est ar exemle (,,, 5, 98). E = {a ; b ; c ;... ; z}. Le 6-ulet (a,, a,, a, s) est ue 6-liste de E. E ratique, et lorsque la situatio le ermet, ue -liste est tout simlemet otée aisi : a a a s. Combiatoire et déombremet age G. COSTANTINI

3 Remarques : O récise arfois -liste "avec réétitio" our les distiguer des arragemets qui serot évoqués au aragrahe suivat. O suose que la -liste existe, c'est la liste qui e comorte aucu élémet. Théorème Soit E u esemble de cardial fii. Le cardial de l'esemble E P des -listes de E est. La démostratio de ce théorème découle simlemet du ricie multilicatif. Alicatios : ) Au loto sortif, o coche l'ue des trois cases N our chacu des 3 matches sélectioés. Déombrer le ombre de grilles distictes. Il y e a autat que de 3-listes de l'esemble { ; N ; } soit 3 3 = ) Combie y a-t-il de uméro de téléhoe commeçat ar ? Les 6 uméros qui suivet sot des 6-listes de l'esemble { ; ;... ; 9}. Il y e a 6 =. 3) Nombre de codes ossibles our ue carte bleue? Il y e a autat que des 4-listes de { ; ;... ; 9}. Il y e a 4 =. 4) est le ombre d'alicatios d'u esemble de cardial das u esemble de cardial. (Pour chacu des élémets de l'esemble de déart, il y a choix d'image das l'esemble d'arrivée) III) Déombremet des Arragemets et des Permutatios Défiitio Soit E u esemble de cardial fii et u etier aturel tel que. U arragemet de élémets de E est ue -liste d'élémets disticts de E. Ue ermutatio de E est u arragemet des élémets de E. U arragemet est doc ue -liste das laquelle il 'y a as de réétitios. Exemles : E = {a ; b ; c ;... ; z}. Les listes suivates : b e a u, m a t i, h i v e r sot des arragemets de 4 et 5 élémets de E. Par cotre, a r r a g e m e t 'est as u arragemet de élémets de E car ses élémets e sot as disticts. Soit E = {s ; u ; c ; r ; e}. Les aagrammes du mot s u c r e sot des ermutatios de E. Remarques : ue ermutatio de E corresod à ue bijectio de E. Théorème Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel tel que. Le ombre d'arragemets de élémets de E est : A = ( )...( + ) =! ( )! Le ombre de ermutatios de E est : A =! Combiatoire et déombremet age 3 G. COSTANTINI

4 Et ar covetio, le ombre d'arragemet de élémets d'u esemble E est A =. La démostratio de ce théorème découle simlemet du ricie multilicatif. Remarque : il y a doc! bijectios d'u esemble E de cardial das lui même. Exercice : démotrer que A =!. Alicatios : ) Le tiercé : ue course de chevaux comorte artats. Combie eut-il y avoir de résultats ossibles de tiercés das l'ordre? Soit E l'esemble des uméros des chevaux. O a Card(E) =. U tiercé corresod à u arragemet de 3 élémets de E, il y e a A 3 = 684. ) De combie de faços eut-o reartir 7 ersoes sur 7 chaises? Désigos ar,,..., 7 les 7 ersoes et osos E = { ; ;... ; 7 }. Ue réartitio eut se voir comme u arragemet des 7 élémets de E c'est-à-dire ue ermutatio de E, il y e a 7! = 54. 3) U orte mateau comorte 5 atères. De combie de faços eut-o y accrocher 3 mateaux différets? (Au lus u mateau ar atère) Notos P,..., P 5 les 5 atères. Chaque ragemet eut se voir comme u 3-arragemet de l'esemble {P,..., P 5 }. Par exemle, P P P 4 sigifie "mateau sur P, mateau sur P et mateau 3 sur P 4 ". Il y a doc A 5 3 = 6 ragemets ossibles. 5 4) Nombre de mots de 5 lettres distictes : A 6 5) Tirages ordoés : Ue ure cotiet boules umérotées,,...,. O e tire successivemet trois sas remise. Combie de tirages différets? A 3. 6) A est le ombre d'alicatios ijectives d'u esemble de cardial das u esemble de cardial. ( choix d'image our le remier élémet, choix our le secod, etc..., + choix our le derier). A =! est le ombre le ombre de bijectios d'u esemble de cardial sur lui même. IV) Déombremet des Combiaisos Défiitio 3 Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel tel que. Ue combiaiso de élémets de E est ue artie de E ayat élémets. Exemle : E = {a ; b ; c} et =. Les combiaisos de deux élémets de E sot les arties : {a ; b}, {a ; c} et {b ; c}. Il est essetiel de oter que : Das ue artie, les élémets sot deux à deux disticts. Deux arties qui cotieet les mêmes élémets sot égales. Aisi {a ; b} = {b ; a}. (L'ordre das lequel o écrit les élémets 'a as d'imortace) Combiatoire et déombremet age 4 G. COSTANTINI

5 Théorème 3 Soit E u esemble fii de cardial et u etier aturel tel que. Le ombre de combiaisos de élémets de E est : C = A! =!!( )! Les coefficiets C sot ecore aelés coefficiet biomiaux. (O verra ourquoi au aragrahe suivat) Remarque : bie que les coefficiets C soiet doés sous forme de fractio, ils sot bie des etiers : e effet l'etier A = ( )...( + ) est le roduit de etiers cosécutifs. Or, das etiers cosécutifs, o e trouve toujours u qui est divisible ar, u autre divisible ar etc... doc A est divisible ar!. Exercice : motrer que =!! est u etier air. Démostratio du théorème : déombros les arragemets de élémets d'u esemble fii E de cardial. U arragemet est caractérisé ar : Le choix d'ue artie de E à élémets ( C choix) La faço d'ordoer les élémets de la artie choisie (! faços) Le ricie multilicatif doe alors A = C! d'où le théorème. Iterrétatio imortate Alicatios C rerésete le ombre de faços de choisir objets armi (l'ordre 'imortat as). ) Le loto : O tire au hasard 6 boules armi 49. Combie de tirages ossibles (o e tiet as comte du uméro comlémetaire)? C'est le ombre de faços de choisir 6 objets armi 49, soit C 6 49 = ) Le Poker : Das u jeu de 3 cartes, o choisit 5 cartes au hasard (ces 5 cartes s'aellet ue "mai"). a) Nombre de mais total : C 5 3 = 376 b) Nombre de mais qui cotieet exactemet 3 as : le ombre de faços de choisir 3 as armi 4 est C 4 3, le ombre de faços de choisir cartes armi 8 "o as" est : C 8. O alique le ricie multilicatif, ce qui doe : C 3 4 C 8 = 5. c) Nombre de mais qui cotieet au mois 3 as : C 3 4 C 8 + C 4 4 C 8 = 54. 3) Nombre de domios (7 uméros) : C (doubles) = + 7 = 8. 4) Nombre de comités de 3 ersoes que l'o eut élire das ue assemblée de ersoes : C 3 = 4. 5) Tirages simultaés ou o ordoés : ue ure cotiet boules umérotées,,...,. O e tire simultaémet trois. Combie de tirages différets? C 3 =. Combiatoire et déombremet age 5 G. COSTANTINI

6 6) Le quadrillage ci-cotre (9 4), combie y a-t-il de chemis allat de A à B (o se délace uiquemet vers la Droite ou vers le Bas)? Idicatio : o ourra déombrer le ombre de mots de 3 lettres qui cotieet 9 fois la lettre D et 4 fois la lettre B. ( C 9 3 = 75) Combie de ces chemis asset ar le oit C? ( C 7 C 6 3 = 4) A C 7) Nombre de diagoales d'u olygoe à côtés? B Nombre de faços de relier sommets : C. Nombre de côtés : Nombre de diagoales : C =! = ( ) ( )!! Quel olygoe a autat de diagoales que de côtés? O résout l'équatio ( 3) = ( 3). = et o trouve = (imossible) ou = 5. Le etagoe a autat de diagoales que de côtés et c'est le seul olygoe jouissat de cette roriété. Quel olygoe a 35 diagoales? O résout l'équatio ( 3) 35 diagoales. = 35. O trouve = 53 ou = 5 (imossible). U 53-goe ossède doc 8) C rerésete le ombre d'alicatios strictemet croissates d'u esemble de cardial das u esemble de cardial. E effet, soiet X (res. Y) u esemble de cardial (res. ) et ƒ ue alicatio strictemet croissate de X das Y. Alors ƒ est écessairemet ijective (si deux élémets avaiet même image, ƒ e ourrait être strictemet croissate). Pour costruire ƒ, il faut doc se doer déjà ue telle ijectio ( A choix). Parmi toutes ces ijectios, u certai ombre ot la même image ƒ(x) : il y e! (c'est le ombre de faços de ermuter les élémets de ƒ(x). Or armi ces! ijectios de même image ƒ(x), ue seule est strictemet croissate. Le ombre d'alicatios strictemet croissates de X das Y est doc A! = C. Proriétés des coefficiets biomiaux Proriété Symétrie Pour tout etier et tout etier tel que, o a : C = C Démostratio : C rerésete le ombre arties de élémets d'u esemble E. Or, à chaque artie o eut associer de faço uique ue autre artie : so comlémetaire. Et le comlémetaire d'ue artie à élémet comorte élémets. Doc déombrer les arties à élémets reviet à déombrer les arties comlémetaires à élémets et il y e a C. Coséqueces : C = C = C = C = Exemle : le ombre de faços de choisir délégués armi 3 élèves est égal au ombre de faços de choisir 8 élèves o délégués armi 3 : C 3 = C 8 3. Combiatoire et déombremet age 6 G. COSTANTINI

7 Proriété Relatio de Pascal Pour tout etier et tout etier tel que, o a : C = C + C Démostratio esembliste : Soit E u esemble de cardial fii avec. Soit a u élémet fixé de E. Remarquos que les arties à élémets de E se artaget e deux catégories : celles e coteat as a (il y e a C : choix de élémets armi ) celles coteat a (au ombre de C : choix de élémets armi ) État e résece d'ue artitio, le ricie de la somme ous livre alors le résultat. Démostratio algébrique : C + C = ( )! +!( )! ( )! = ( )!( ) + ( )! = ( )!( )!!( )!!( )!! = C!( )! Triagle de Pascal () La relatio de Pascal ermet de calculer les coefficiet biomiaux de la faço suivate : our trouver u certai coefficiet, o additioe das le tableau suivat les coefficiets situés "juste au dessus" et "juste au dessus à gauche" etre eux : C C C V) Biôme de Newto Ce aragrahe utilise le symbole "somme" : valeur fiale valeur iitiale de l'idice quatité sommée. Par exemle, + x + x x x ourra être oté de faço lus codesée : x = ) Formule du biôme de Newto Théorème 4 Pour tous ombres comlexes a et b et tout etier aturel o ul : ( a + ) = C a b b = () Le tableau est aelé triagle de Pascal e hommage à ce derier qui écrivit e 654 so "traité du triagle arithmétique" das lequel il exose d'iombrables alicatios du triagle déjà cou de Tartaglia (556), Stiefel (543) et des Chiois (33). Combiatoire et déombremet age 7 G. COSTANTINI

8 Exemles : À l'aide de cette formule et du triagle de Pascal, o retrouve des relatios très utiles : Avec = la formule doe : (a + b) = C a b + C a b + C a b = a + ab +b. Avec = 3 la formule doe : (a + b) 3 =... = a 3 + 3a b + 3ab + b 3 Avec = 4 la formule doe : (a + b) 4 =... = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4. Notos qu'il 'est as iutile de savoir substituer ( b) à b das la formule our obteir : = = ( a b ) = C a ( b) = ( ) C a b E ratique, les siges obteus e déveloat cette derière formule alteret ; ar exemle : (a b) 5 = a 5 5a 4 b + a 3 b a b 3 + 5ab 4 b 5. Il est aussi utile de savoir utiliser la formule avec des valeurs articulières de a et b : Lorsque a = b = : = C = C + C C C Lorsque a = et b = x : = = ( + x) = C x = + C x + C x C x C x + x. Lorsque a = et b = : = = C ( ) Démostratio de la formule du biôme : E déveloat le roduit (a + b) = (a + b)(a + b)... (a + b), o obtiet termes : e effet, das chacu des facteurs, o a deux choix ossibles our costituer chaque terme qui est ue -liste d'élémets de l'esemble {a ; b} (ous 'utilisos as ici la otatio uissace). O eut réartir tous ces termes e foctio du ombre de lettres b qu'ils cotieet ( ). Les termes coteat lettres b sot de la forme "a - b " et il y e a C. État e résece d'ue artitio, le ricie de la somme ous livre alors le résultat. Démostratio de la formule du biôme (ar récurrece) : la formule est évidemmet vraie our =. Hyothèse de récurrece : o suose la formule vraie à u certai rag. Démotros la formule au rag + e utilisat le fait qu'elle soit vraie au rag : ( a + ) b + i i i = C a b ( a + b) i ( + ) i i = C a b + C a b i i i+ ( a + b) + + ( + ) = C a b + C a b i i i + C a b i i i+ + C a b + ( a + b) + = a + ( + ) + C a b i i i i ( + ) i i + C a b + b + = ( a + ) + + = C a b b i + [ + ] + ce qui est la formule du biôme au rag +. i i i ( + ) C C a b + C a b ( + ) = C a b + i i i + Combiatoire et déombremet age 8 G. COSTANTINI

9 ) Alicatios ) Nombre de arties d'u esemble fii E de cardial : Notos E l'esemble des arties de E de cardial. Par défiitio, o a Card(E ) = C. E outre les esembles E, E,..., E,..., E costituet ue artitio de l'esemble (E). Doc, d'arès le ricie de la somme : Card( (E)) = C + C C C = (formule du biôme avec a = b = ) E coclusio, le ombre de arties d'u esemble de cardial est. ) Liéarisatio de liges trigoométriques (ceci facilitera leur itégratio). Exemle : ix si 3 x = e e i ix 3 3ix ix ix 3ix = e 3 e + 3 e e 8i = 4 e 3ix 3ix e i ) Calcul de cos(θ) et si(θ) e foctio de cos θ et si θ. (Formules de Moivre) 4) Ue relatio bie utile : C = C (la démostratio est laissée au soi du lecteur) e ix e i ix = 4 si(3x) si x 5) Soit k i k i *. Démotrer que C C k k +. = C (Das u esemble X de cardial +, cosidérer deux sous-esembles E et F disjoits de cardial resectifs et et déombrer de deux faços différetes le ombre de arties à k élémets de E F) 6) Démotrer que our tout : C + + ( + ) 4 C = C. 7) Soit * et ;. O cosidère la foctio ƒ, défiie sur [ ; ] ar : ƒ, (x) = C x ( x) Démotrer que : ƒ, sur [ ; ]. (Idicatio : cosidérer la somme : = ƒ, ( x) ) 8) Soit ƒ la foctio défiie sur ar ƒ(x) = x ( * ). Démotrer que ƒ est dérivable sur et que ƒ'(x) = x. 9) Existe-t-il trois coefficiets biomiaux successifs sur ue même lige qui soiet e rogressio arithmétique? Oui, ar exemle : C 4 4 = ; C 5 4 = ; C 6 4 = 33. Pour les détermier tous, étudier la coditio : C = C + C +. Motrer qu'elle s'écrit ecore : =. E déduire alors = solutios. ± + et que les coules du tye ( ; ) avec = λ (λ \ { ; ; }) sot Combiatoire et déombremet age 9 G. COSTANTINI