Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secondaire Ali Zouaoui Dénombrement " Hajeb Laayoun "
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- Florentin Gobeil
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1 Série d'exercices *** 3 ème M Lycée Secodaire Ali Zouaoui Déombremet " Hajeb Laayou " I / -ulet : Défiitio : Soit E u esemble o vide et * ;O aelle -ulet d élémet de E toute écriture de la forme : a a a a où a Eour tout 1 i,,,, i U -ulet d élémets de E est ue liste ordoée de élémets de E, deux à deux disticts ou o Lorsque = 2, u 2-ulet est u coule Lorsque = 3, u 3-ulet est u trilet II /Arragemet : Défiitio : E est u esemble tel que card( E ) = et tel que 1 U arragemet de élémets d u esemble E est u -ulet d élémets deux à deux disticts de E U arragemet de élémets d u esemble de élémets est dit : arragemet de élémets à Nombre d arragemet : Théorème : Le ombre d arragemet de élémets d u esemble à élémets est : A 1 2 1!! III / Permutatios : Défiitio : Soit E u esemble tel que card ( E ) = O aelle Permutatio de E tout arragemet de élémets de E Théorème : Le ombre de ermutatios de élémets est : A b-mehdijimdocom IV / Combiaisos : Défiitio : Soit et 0 ; O aelle Combiaiso de élémets d u esemble E à élémets toute artie à élémets de E Nombre de combiaiso : Théorème : Le ombre de combiaisos de élémets d u esemble E à élémets A est : C Proriétés de C : 0 Pour tout o a : C 1 ; C 1 Pour tout * 1 1 o a : C C Pour tous etiers aturels et tels que 0 o a : C [1] C Pour tous etiers aturels et tels que 1 1 o a : C C C 1 1 1
2 b-mehdijimdocom V / Nombre d alicatios d u esemble fii das u esemble fii : Théorème : Le Nombre d alicatios d u esemble à élémets * das u esemble à élémets * est VI / Formule de biôme de Newto : Soiet a et b deux réels et u etier aturel o ul, o a : [2] k k k k0 a b C a b VII / Tableau récaitulatif : Soiet et deux etiers aturels O tire élémets d u esemble à élémets : Nature du tirage Tirage Tirage successivemet simultaémet avec remise U tirage ossible Ue combiaiso Ue alicatio U arragemet L ordre N iterviet as Iterviet Iterviet Nombre de tirage ossible Tirage successivemet sas remise C ; 0 A ; 0 VIII / Poit Méthode : Voici des déombremets qu il est imératif de savoir effectuer : Tirage de boules das ue ure coteat boules : Tirage ordoés (successif) avec remise Tirage ordoés sas remise : A Noter que le ricie multilicatif fourit le résultat das les deux cas : le recours aux formules est as ue obligatio Tirage o ordoés ( ou simultaés ) sas remise : C Ces tirages sot idetiques aux arties à élémets de l ure Echatillos de taille et comositio doées : Schéma : Ue ure cotiet a boules rouges et b boules oires Le ombre d échatillos comortat boules rouges a et q boules oires q b est C q a C b Et voici deux coseils : Le recours aux tirages das ue ure est qu u modèle : il est i obligatoire, i icotourable ( toutes les situatios e s y ramèet as ) Lorsqu u esemble à déombrer est défii à l aide de la locutio au mois,il est bie souvet lus simle de déombrer so comlémetaire Exercice N 01 : 1/ Ue ure cotiet 12 boules : 5 boules oires, 3 boules blaches et 4 boules rouges O tire simultaémet 5 boules a) Combie y a-t-il de tirages ossibles? b) Combie y a-t-il de tirages ossibles comortat 2 boules oires et 3 boules blaches? c) Combie y a-t-il de tirages ossibles comortat 1 boule oire,2 boules blaches et 2 boules rouges? 2/ Même questios lorsque les 5 boules sot tirées successivemet avec remise 3/ Même questios lorsque les 5 boules sot tirées successivemet sas remise
3 Exercice N 02 : Ue ure cotiet 10 jetos : 5 rouges ayat les uméros : blacs ayat les uméros : jaues ayat les uméros : 0 9 1/ O tire simultaémet 3 jetos de l ure, combie de tirage eut o former das chacu des cas suivats : a) Tirage quelcoques b) Avoir au mois u jetos ortat u uméro air c) Avoir 3 jetos de même couleur d) Avoir la somme des uméros marqués est aire 2/ O tire successivemet et avec remise 3 jetos a) Quel est le ombre de tirage ossible? b) Quel est le ombre de tirage sachat que les jetos sot : Tous rouges Tous ortats u uméro aire Tous ortats des uméros imairs c) Quel est le ombre de tirage sachat qu il y ait au mois u jetos rouge 3/ Même questios que 2/ lorsque les trois jetos sot tirées successivemet Exercice N 03 : U sac cotiet 15 boules dot 6 rouges et 4 vertes et 5 blaches 1/ U joueur tire simultaémet 4 boules du sac De combie de faços eut-o : a) Tirer exactemet ue boule rouge? b) Tirer au mois ue boule verte? c) Tirer 4 boules de même couleur? 2/ U joueur tire successivemet et sas remise 4 boules De combie de faços eut-o : a) Avoir la remière boule tirée rouge? b) Tirer au mois ue boule verte? c) Tirer ue seule boule rouge? b-mehdijimdocom Exercice N 04 : U sac cotiet : * 5 boules rouges umérotées 0, 0, 1, 2, 2 * 3 boules blaches umérotées 0, 1, 2 * 2 boules jaues umérotées 0, 4 1/ O tire simultaémet 3 boules du sac Déombrer les tirages das chacu des cas suivats : a) Obteir 3 boules de même couleur b) Obteir ue seule boule jaue c) La somme des trois uméros iscrits sur les boules tirées est égale à 5 d) Le roduit des trois uméros iscrits sur les boules tirées est ul e) Obteir ue seule boule rouge et ue seul boule ortat le uméro 0 2/ O tire successivemet et sas remise 4 boule du sac : [3]
4 Déombrer les tirages das chacu des cas suivats : a) Obteir 2 boules blaches b) Obteir au mois ue boule jaue c) La somme des quatre uméros iscrits sur les boules tirées est égale à 3 d) La remière boule tirée est rouge et la deuxième orte le uméro 0 3/ O réartit les 10 boules das trois ures 1 ; 2 3 u u et u De combie de maières eut o les lacers das chacu des cas suivats : a) Les boules de même couleurs sot lacées das ue seule ure b) Ue seule ure est vide c) Aucue ure e reste vide Exercice N 05 : U mot de 3 lettres est tout assemblage ordoé de trois lettres de l alhabet, ue même lettre ouvat être utilisée lusieurs fois ( u mot a doc as écessairemet de ses ), E utilisat les lettres du mot «FALEH» 1/ Combie eut-o écrire de mots de trois lettres? 2/ Combie eut-o écrire de mots de trois lettres disticts? 3/ Combie eut-o écrire de mots de trois lettres disticts dot la deuxième lettre est la lettre H Exercice N 06 : O lace u dé arfait (o truqué) uméroté de 1 à 6, deux fois de suite Chaque résultat est u coule a, b où a est le uméro iscrit sur la face suérieur du dé au 1 er lacer et b celui du 2 ème lacer 1/ A l aide d u tableau doer tous les coules, a b ossibles Quel est le ombre de réalisatios ossibles? 2/ Combie y a-t-il de réalisatios où les deux lacers ot doé : a) Le même uméro? b) Le résultat du remier lacer est strictemet suérieur au résultat du secod? c) La somme des oits marqués est égale à 6? d) La somme des oits marqués est imaire? b-mehdijimdocom Exercice N 07 : 1/ Combie y a-t-il de ombres etiers écrits avec trois chiffres disticts ris das l esemble 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? 2/ E utilisat les chiffres de l esemble 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, combie y a-t-il de ombres etiers écrits avec trois chiffres das lesquels u chiffre est réété deux fois? 3/ E utilisat les chiffres de l esemble 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, combie y a-t-il de ombres etiers écrits avec quatre chiffres qui cotieet au mois u des chiffres 5 et 7? Exercice N 08 : 1/ Combie de ombres etiers de 8 chiffres disticts eut-o former avec les chiffres 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8? [4]
5 2/ Combie y a-t-il de ces ombres où les chiffres 5,6,7 sot toujours esemble das cet ordre? 3/ Combie y a-t-il de ces ombres où les chiffres 5,6,7 sot toujours esemble das u ordre quelcoque? Exercice N 09 : Aagramme : Lorsqu o ermute les lettres d u mot, o obtiet ue aagramme de ce mot 1/ Déombrer les aagrammes du mot «crayos» 2/ Déombrer les aagrammes du mot «crayos» : a) Commeçat et fiissat ar ue cosoe b) Commeçat et fiissat ar ue voyelle c) Commeçat ar ue voyelle et fiissat ar ue cosoe d) Commeçat ar ue cosoe et fiissat ar ue voyelle e) Que remarquez vous e sommat les réoses a), b), c) et d)? 3/ Déombrer les aagrammes du mot «dictée» : a) E teat comte de l accet b) E e teat as comte de l accet sur le «é» c'est-à-dire e e différeciat as «e» et «é» 4/ Déombrer les aagrammes du mot «élève» : a) E teat comte des accets b) E surimat les accets 5/ Déombrer les aagrammes du mot «disositio» Exercice N 10 : 1/a) Motrer que our tous etiers aturels et tels que 1 1 o a : C C C b) E déduire que : C C 1 C 2 C 3 C C 1 2/ Calculer S, Exercice N 11 : 1/ a) Motrer que our tous etiers aturels q et k tels que q k o a : C q C k C k C q q k b) Calculer 11 k de deux faços 1 2/ E déduire que : k k k k k k C C C C 1 1 C C 0 b-mehdijimdocom [5]
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