Seconde 4 Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre VECTEURS

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1 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 VETEURS EXERIE : Quadrilatères On donne (- ;0), ( ;) et (- ;). ) éterminer les coordonnées du point tel que soit un parallélogramme. ) alculer les distances, et. ) émontrer que est un carré. EXERIE : Triangle est un triangle rectangle isocèle en. Soit S le milieu du côté []. Le point M est défini par : M = S. La parallèle à la droite () passant par M coupe [] en P. La parallèle à la droite () passant par M coupe [] en Q. On se propose de démontrer que le point S est le milieu de [PQ]. On choisit comme repère ( ; ; ). ) Quelles sont les coordonnées des points,, et S? ) alculer les coordonnées du point M. ) Expliquer pourquoi l ordonnée du point P est égale à. ) Soit x l abscisse du point P. a) Exprimer les coordonnées de P en fonction de x. b) alculer x, ex exprimant la colinéarité des vecteurs ) a) Expliquer pourquoi l abscisse du point Q est égale à. P et. b) Soit y l ordonnée du point Q. alculer y en exprimant la colinéarité des vecteurs et. ) émontrer que le point S est le milieu de [PQ]. Q Exercice : alignement ans un repère, on donne les points : M(0 ; -) N( ;) P(-9 ;0) et Q(- ;-) ) alculer les coordonnées des points et tels que : a) N = MN b) M = MQ ) alculer les coordonnées des vecteurs P et P. ) émontrer que les points P, et sont alignés.

2 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 PROILITES EXERIE Un joueur lance deux fois de suite un dé bien équilibré à six faces numérotées de à. a) onstruire un arbre qui permette d obtenir toutes les issues de l expérience. b) On calcule le produit des numéros obtenus. Si le résultat est un nombre pair, le joueur perd la partie et si le résultat est un nombre impair, le joueur gagne. alculer la probabilité pour que le joueur : perde la partie, gagne la partie. EXERIE : Utiliser l intersection, la réunion On place dans un sac quatre jetons marqués,, et. On tire au hasard, l un après l autre sans les remettre, trois jetons du sac. ) L aide d un arbre écrire toutes les issues possibles. ) On s intéresse aux événements : E : «Le premier jeton tiré porte la lettre.» F : «Le jeton marqué n a pas été tiré.» éterminer la probabilité de chacun des événements E et F. ) a) Quelles sont les issues qui réalisent l événement E F? b) éterminer la probabilité de l événement E F. ) alculer la probabilité de l événement E F. EXERIE : Utiliser un événement contraire Fatia colorie au hasard chacune des faces du cube ci-dessous soit en rouge, soit en vert. a) Quel est le nombre total de coloriages possibles? b) On note U l événement : «Le cube est colorié des deux couleurs». éfinir l événement U et indiquer sa probabilité.

3 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 VRITIONS E FONTION Exercice 7 : carrés est un carré de côté ; E est un point du segment [] ; G est un point du segment [] tel que E=G. Les droites (EF) et (GH) sont respectivement parallèles à () et (). ) Il s agit de déterminer la position du point E pour que l aire de la partie coloriée soit minimale. a) On pose E = x. quel intervalle, que l on notera I dans la suite, x appartient-il? b) Soit S la fonction qui à tout x de I associe l aire de la partie coloriée. Montrer que pour tout x de I, S(x) = x² - 8x + c) Montrer pour tout x de I, S(x) = (x - )² + 8 d) Etudier les variations de la fonction S sur ]- ;] puis sur [ ;+ [. resser son tableau de variation. e) En déduire la valeur de x (puis la position de E) pour laquelle l aire de la partie coloriée est minimale et donner cette valeur minimale. ) On se propose de déterminer les positions du point E pour lesquelles l aire de la partie coloriée satisfait certaines conditions. a) Tracer la représentation graphique de S dans un repère orthogonal sur I (on utilisera un tableau de valeurs). a) éterminer algébriquement les valeurs de x pour lesquelles S(x) = 0 ; vérifier graphiquement. b) éterminer algébriquement les valeurs de x pour lesquelles S(x) >, ; vérifier graphiquement.

4 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 Exercice 8 : O est un triangle rectangle en O tel que O = cm et O = cm. P est un point variable du segment [O]. M est le point du segment [] et Q le point du segment [O] tels que OPMQ soit un rectangle. Q M O x P Partie On note p la fonction qui à x = OP (en cm) associe le périmètre (en cm) du rectangle OPMQ.. Quel est l ensemble de définition de p?. a. Montrer que PM = ( x). b. En déduire l expression algébrique de p(x).. a. Quelle est la nature de la fonction p? b. En déduire les variations de p sur [0 ;]. Partie On note la fonction qui à x = OP (en cm) associe l aire (en cm²) du rectangle OPMQ.. onner l expression algébrique de (x).. l aide de la calculatrice : a. onjecturer les variations de sur [O ;].. b. ompléter le tableau de valeurs ci-dessous sur [0 ; ] avec un pas de 0, (arrondir les valeurs au dixième près). x (x). Tracer la courbe représentative de sur [O ;].. a. après le graphique, quel est le maximum de sur [0 ;]? pour quelle valeur de x estil obtenu? b. Montrer que (x) () = - (x - )² c. En déduire que () est bien le maximum de sur [0 ;].. a. Sur le graphique, à quoi correspondent les solutions de l inéquation (x) < 9? b. Résoudre graphiquement cette inéquation.

5 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 VETEURS EXERIE : Quadrilatères ) Si est un parallélogramme alors =. Soit (x ;y) (-) - 0 = x (-) y - = x + = y = x = et y = onc ( ;). Vérification graphique dans un repère : ) = (x x )² + (y y )² = ² + ² = 0 = (x x )² + (y y )² = (-)² + ² = 0 = (x x )² + (y y )² = (-)² + ² = 0 = ) ² = 0 et ² + ² = 0

6 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 onc ² = ² + ² onc selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en. Le parallélogramme ayant un angle droit est donc un rectangle. e plus = = 0, donc est aussi un losange. On en conclut que est un carré. EXERIE : Triangle ) ans le repère (, ; ), les coordonnées des points suivants sont : (0 ;0) ( ;0) (0 ;) S ; Justification pour S : S = S = + S = + = + ( + ) = + ) Soit M(x;y) M = S onc M ; x y = = ) (MP) // () donc M et P ont la même ordonnée.

7 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 ) a) P x - 0 b) Les points, P et étant alignés les vecteurs P et sont colinéaires. - P x On a donc : (-) - (x ) = 0 x = - x = ) a) (MQ) // () ; donc M et Q ont la même abscisse. b) Les points, Q et étant alignés les vecteurs Q et sont colinéaires. - Q y - 0 On a donc : - y + = 0 Y = ) P ; Q ; Soit I le milieu de [PQ]. I x P + x Q ; y P + y Q I ; On a donc I = S. onc S est bien le milieu du segment [PQ]. 7

8 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 Exercice : vecteurs ) a) x - = - 0 y - = + x = y = b) x - 0 = (--0) y + = (-+) x = - y = ) + 9 = P - 0 = P = - 0 = ) P = P Les vecteurs P et P sont colinéaires, donc les points P, et sont alignés. 8

9 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 PROILITES EXERIE a) * = * = * = * = * = * = * = * = * = * = 8 * =0 * = * = * = * = 9 * = * = * =8 * = * = 8 * = * = * = 0 * = * = * = 0 * = * = 0 * = * = 0 * = * = * =8 * = * = 0 * = 9

10 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 b) Le nombre d issues possibles est de =. Le nombre d issues donnant un produit pair est : = 7 La probabilité pour que le joueur perde la partie est donc : 7 =. La probabilité pour que le joueur gagne la partie est donc : - =. EXERIE : Utiliser l intersection, la réunion ) 0

11 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 ) Le nombre total d issues est : = Le nombre d issues réalisant l événement E est : = (Les issues correspondantes sont : - ) onc p(e) = = Le nombre d issues réalisant l événement F est (Les issues correspondantes sont : ) onc p(f) = = ) a) Les issues qui réalisent l événement E F sont : et. b) p(e F) = = ) Les issues qui réalisent l événement E F sont :. onc p(e F) = 0 = utre méthode : On utilise la relation p(e F) = p(e) + p(f) p(e F). où : p(e F) = + - = - = EXERIE : Utiliser un événement contraire a) Il y a faces dans le cube. Pour chaque face, il y a deux couleurs possibles. Le nombre total de coloriages possibles est donc : =. b) U : Le cube est colorié avec une seule couleur. Il ya deux issues qui réalisent l événement U (RRRRRR et VVVVVV). onc p( U ) = = p(u) = p( U ) = =

12 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 VRITIONS E FONTION Exercice 7 : carrés ) a) E appartient au segment [] ; donc x est compris entre 0 et. I = [0 ;] b) ire coloriée = EIG + IHF EIG est un carré de côté x. IHF est un carré de côté (-x). S(x) = x² + ( x)² S(x) = x² + + x² - 8x S(x) = x² - 8x + c) (x )² + 8 = (x² - x + ) + 8 = x² - 8x = x² - 8x + = S(x) b) Soit x et x deux réels er cas : x < x <. x < x < 0 (x )² > (x )² car la fonction carrée est décroissante sur ]- ;0] (x )² > (x )² (x )² + 8 > (x )² + 8 S(x ) > S(x ) onc la fonction S est décroissante sur ]- ;] (x et x sont rangés dans un ordre différent que leurs images). ème cas : < x < x 0 < x - < x (x )² < (x )² car la fonction carrée est croissante sur [0 ;+- [ (x )² < (x )² (x )² + 8 < (x )² + 8 S(x ) < S(x ) onc la fonction S est croissante sur [ ;+ [ (x et x sont rangés dans le même ordre que leurs images). Tableau de variation de la fonction S : x S(x) + 8

13 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 e) Le minimum de S est atteint pour x = ce qui correspond au milieu du segment [] pour le point E. La valeur minimale correspond à une aire de 8. ) a) tableau de valeurs : x 0 0,,,, S(x ), 0 8, 8 8, 0, b) S(x) = 0 (x-)²+8=0 (x-)² = 0-8 (x-)² = x- = - ou x = x = ou x = S = { ;} Vérification graphique : La droite d équation y = 0 coupe la courbe en deux points d abscisse x = et x =. c) Les abscisses des points de la courbe qui ont une ordonnée supérieure à, appartiennent à l ensemble S = [0 ;0,[ ], ;[.

14 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 Exercice 8 O est un triangle rectangle en O tel que O = cm et O = cm. P est un point variable du segment [O]. M est le point du segment [] et Q le point du segment [O] tels que OPMQ soit un rectangle. Q M O Partie x P On note p la fonction qui à x = OP (en cm) associe le périmètre (en cm) du rectangle OPMQ.. Quel est l ensemble de définition de p? L ensemble de définition de la fonction p est [0 ;] car 0 OP O. a. Montrer que PM = ( x). b. En déduire l expression algébrique de p(x). Les droites (PM) et (O) étant parallèles, on peut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles MP et O : P O = PM O x = MP p(x) = (MP + OP) = ( x) + x p(x) = + x = 8 + x où : MP = ( x). a. Quelle est la nature de la fonction p? b. En déduire les variations de p sur [0 ;]. p est une fonction affine car p(x) est de la > 0 donc la fonction p est croissante sur forme ax + b. [0 ;]. Partie On note la fonction qui à x = OP (en cm) associe l aire (en cm²) du rectangle OPMQ.. onner l expression algébrique de (x).

15 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0 (x) = OP MP = x ( x). l aide de la calculatrice : a. onjecturer les variations de sur [O ;] en complétant le tableau ci-dessous. x (x) 0 0 b. ompléter le tableau de valeurs ci-dessous sur [0 ; ] avec un pas de 0, (arrondir les valeurs au dixième près). x 0 0,,,,,, (x) 0,8,, 0,,8,0 0. ans le repère ci-dessous, tracer la courbe représentative de sur [O ;].,8,, 0,,8 0 0,0 0

16 Seconde Exercices pour préparer la composition du deuxième trimestre 00-0