236 - Illustrer par des exemples quelques méthodes de calculs d'intégrales de fonctions d'une ou plusieurs variables réelles.

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1 36 - Illustrer pr des exemples quelques méthodes de clculs d'intégrles de fonctions d'une ou plusieurs vribles réelles. Clcul intégrl pour une fonction d'une vrible réelle. Clcul de primitives On xe [, b] un segment de R. Le théorème fondmentl suivnt est à l bse du clcul des intégrles de fonctions d'une vrible réelle : Théorème.. Soit f : [, b] R n une ppliction intégrble u sens de Lebesgue. Si F : [, b] R n est une primitive de f sur [, b], lors b f(t) dt = F (b) F () Proposition. (Primitives usuelles). Fonction x +x +x x x Primitive rg th x = ln +x rctn x rg sh x = ln ( x + + x ) rcsin x rg ch x = ln ( x + x ) x.. Intégrtion pr prties et chngement de vribles Proposition.3 (Intégrtion pr prties (IPP)). Si u, v : [, b] C sont deux pplictions de clsse C, lors b u(x)v (x) dx = u(b)v(b) u()v() b u (x)v(x) dx Exemple (Intégrles de Wllis, [Gou] ex. p. 6). Pour n N, on pose I n = π/ sin n x dx Une IPP permet d'étblir l formule de récurrence : (n + )I n+ = (n + )I n, pour n N, d'où, schnt que I = π/ et I = : I p = π (p )(p 3)... 3 p(p )... 4 et I p+ = p(p )... 4 (p + )(p )... 3 On en déduit l formule de Wllis lim p + p ( p(p )...4 (p )(p 3)...3) = π.

2 Exemple (Reltion fonctionnelle de l fonction Γ). Γ(x + ) = xγ(x), x >. Exemple (Primitive de l'élément simple, h N (x + ) h ). I h = (x + ) h = x (x + ) h + hi h h I h+ Le clcul de I étnt immédit, puisque (x + ) = rctn( x ) + cste. Exemple. xx dx. Proposition.4 (Chngement de vribles, CAS MESURABLE?????). Si φ : [, b] R est de clsse C et f : I R E est continue pr morceux et telle que φ([, b]) I, lors b f(φ(t))φ (t) dt = φ(b) φ() f(u) du Exemple (Intégrle de Dirichlet, [Gou] pb.3 p. 74). L formule de dupliction du sinus donne : I = π/ ln(sin x) dx = π ln + π/ ln(sin x π/ ) dx + ln(cos x ) dx Le chngement de vrible x = t dns les deux intgrles, suivi de u = π/ t dns l deuxième, étblit I = π ln + I, d'où I = π ln. Le même genre d'idées permet d'obtenir ([FGN], ex. p. 6) : π/4 ln( + tn x) dx = π 8 ln.. Clcul de primitives ([Gou] 3. p. 3) Frctions rtionnelles : décomposition en éléments simples. Polynômes en sin et cos : linéristion pr les formules d'euler et de De Moivre. Frctions rtionnelles en sin et cos : t = tn(x/) Règle de Bioche : Si R(sin x, cos x) dx est invrint pr x π x (resp. x x, x π + x), on pose t = sin x (resp. t = cos x, t = tn x). Frctions rtionnelles en e x : t = e x Frctions rtionelles en sh et ch : t = th (x/) ou t = e x procéder pr nlogie à l règle de Bioche. L règle de Bioche ppliquée à l'intégrle suivnte suggère de poser t = sh x ch x sh x + th x dx = + t dt 3t + t 4 dt = 3t + 3(t + 3) dt qui ce primitive en soit 3t + ( ) t 3 3 rctn + k 3 ch x sh x + th x dx = 3 sh x + ( ) sh x 3 3 rctn + k 3

3 . Intégrles à prmètres Les théorèmes de continuité et de dérivtion sous le signe intégrl, dont on ne rppelle ps les énoncés, permettent d'obtenir l vleur de certines intégrles. Exemple. Trnsformée de Fourier de l gussienne. Soit g : t e t / L. Alors s trnsformée de Fourier ĝ vérie ĝ (t) + tĝ = ; on en déduit que ĝ = πg. Exemple ([Gou p. 64]). + sin(xt) t e t dt = rctn x Exemple (Intégrle de Fresnel ([Gou] ex. 4 p. 64)). + e ix dx = e iπ/4 π.3 Clcul de résidus ([Cr], III.6 p. ) Théorème.5 (Formule des résidus). Soit Ω un ouvert de C, f une fonction méromorphe sur Ω et A l'ensemble de ses pôles. Si γ est un lcet continu, C pr morceux dns Ω \ A et homotope à un point dns Ω, lors f(z) dz = iπ Ind γ () Rés(f, ) A γ Exemple (Frction rtionnelle en sinus et cosinus). En prmétrnt le cercle unité pr γ : t [, π] e it, on, pour >, I = π + sin t dt = γ z + iz dz = π puisque f : z z +iz pour unique pôle z = i + i dns le disque unité et Rés(f, z ) = i. Exemple. Soit F R(X) telle que F (), deg F et F n' ucun pôle pprtennt à R +. Pour < α <, on note,..., p les pôles de z F (z)/z α, où z z α désigne l détermintion holomorphe de z α sur C \ R +, lors, en utilisnt le lcet Γ (PcMn!), on étblit ( e iπα ) En prticulier, pour n, + x α F (x) dx = iπ p Rés(f, i ) i= + dx x α (x + ) = π sin πα et + dx α(α + ) (α + n )π x α = (x + ) n (n )! sin πα Appliction (Formule des compléments). Γ(z) Γ( z) = π sin πz, pour < Re(z) < 3

4 Clcul intégrl pour une fonction de plusieurs vribles réelles. Chngement de vribles et théorèmes de Fubini ([BP],.3 et.) Théorème. (Fubini, [Cnd]). Soit f : R p R q R +. Si f est mesurble, lors les intégrles suivntes ont un sens (fonctions mesurbles) et sont égles : ( ) ( ) f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy R p R q R p R q R q R p Soit f : R p R q C. Si f est mesurble et intégrble pour l mesure produit, lors l fonction x f(x, y)dy < p.p. (idem en y), et les intégrles suivntes ont un sens R q (fonctions mesurbles) et sont égles : ( ) ( ) f(x, y) d(x, y) = f(x, y) dy dx = f(x, y) dx dy R p R q R p R q R q R p Théorème. (Formule de chngement de vribles). Soit ϕ un C -diéomorphisme entre deux ouverts et D de R d. Pour toute fonction borélienne f : D C, f est intégrble sur D si et seulement si (f ϕ) J ϕ est intégrble sur, uquel cs f(x) dx = f(ϕ(u)) J ϕ (u) du D Exemple (Intégrle de Guss). L'utilistion successive du théorème de Fubini et d'un pssge en coordonnées polires donne : ( + ) / π/ + e x dx = +y ) dx dy = e r r dr dθ = π 4 (R + ) e (x d'où + e x dx = π et + e x dx = π, pour > Exemple (Volume de l boule euclidienne unité de R d, [Cnd]). On procède pr récurrence sur d N. Pour d : [ ] v d = dx d dx d dx... dx d {x + +x R R d d (x d +x d )} {x d +x d } = dx d dx d ( (x {x d +x d } d + x d)) d/ v d = π d v d Ainsi v d = πd/ (d/)!, si d est pir, et v d = d π (d )/ ((d )/)! d!, si d est impir.. Intégrles curvilignes ([Gou], p. 336) Théorème.3 (Green-Riemnn). Soit K un compct à bord de R et P dx + Q dy une forme diérentielle de degré, de clsse C sur un ouvert contennt K, lors ( Q (P dx + Q dy) = K + K x P ) dx dy y 4

5 Appliction (Cclul d'ire). Si K est un compct à bord, on peut exprimer son ire A = dx dy comme K A = x dy = y dx = x dy y dx = r dθ K + K + K + K + Exemple (Aire de l boucle droite de l lemniscte de Bernoulli). Elle dmet pour éqution polire r = cos θ, π/4 θ π/4, vec >, insi A = π/4 π/4 cos θ dθ = Références [Gou] X. Gourdon, les mths en tête, nlyse, édition ellipses [RDO] E. Rmis, C. Deschmps, J. Odoux, Cours de mthémtiques, tome 3, édition Dunod [AM] É. Amr, É. Mtheron, Anlyse complexe, édition Cssini [Cnd] B. Cndelpergher Clcul intégrl [Cr] H. Crtn, Théorie élémentire des fonctions nlytiques, édition Hermnn [FGN] S. Frncinou, H. Ginell, S. Nicols, Orux X-ENS, nlyse, édition Cssini [BP] M. Brine, G. Pgès, Théorie de l'intégrtion, édition Vuibert [HH] H. Hruki, S. Hruki, Euler's integrls, The Americn Mthemticl Monthly, Vol. 9, No. 7 (Aug. - Sep., 983), pp [ZQ] Hervé Queélec, Clude Zuily, Anlyse pour l'grégtion, édition Dunod Développements Intégrle de Fresnel ([Gou], 8, 35, 36, 39, 4, 47) Clcul des résidus et formule des compléments ([Cr, AM], 36, 45, 47) 5